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专题05 含参数不等式的分类讨论与不等式恒成立、能成立
问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 含参一元二次不等式的分类讨论
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
(2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨
论需从如下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜
0).
③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
1．（2026 高三·全国·专题练习）解不等式
．
【答案】当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，不等式的解集为
【分析】分
、
及
进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得.
【详解】原不等式可化为
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式可化为
，
则当
时，不等式可化为
，解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
则不等式的解集为
．
综上可得：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
．
2．（2026 高三·天津东丽·阶段检测）已知关于x 的不等式
的解集为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解；
（2）原不等式可变形为
，分类讨论：
、
、
、
，解出对
应不等式的解集即可.
【详解】（1）由题意知，
，即
.
因为不等式
的解集为
，
所以
是方程
的两个实根，
有
，解得
,
此时不等式为
，符合题意，
所以
；
（2）由（1）知，
，
则不等式
可变形为
，
若
，则
，解得
，
此时原不等式的解集为
；
若
，则方程
的解为
或
，
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
.
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设
.
(1)若不等式
对于一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分
、
两种情况，结合一元二次函数的性质可求；
（2）因式分解，根据
、
、
以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求.
【详解】（1）不等式
对于一切实数
恒成立等价于
对于一切实数
恒成立，
当
时，不等式可化为
，不满足题意；
当
时，
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
（2）不等式
等价于
，即
，
当
时，不等式可化为
，所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，此时
，
所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
或
；
③当
时，
，不等式的解集为
.
综上可得：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
或
，
当
时，不等式的解集为
.
4．（2026 高三·河北衡水·阶段检测）设
；
.若
是
的充分条件，则
实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据充分条件，判断两个解集之间的包含关系，进而求出参数范围.
【详解】由
可得
，
由
可得
，
当
时，解得
，符合题意；
当
时，解得
，
若
是
的充分条件，可知
，
所以
，即
，
成立，
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（2026 高三·山东青岛·期中）若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则
的范围是______；
【答案】
【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案.
【详解】当
时，显然不合题意；
当
时，原不等式可化为
，即
，所以
，
因为解集中恰有两个整数，所以
，即
；
当
时，原不等式可化为
，即
，
所以若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
，不合题意.
综上可得，
；
故答案为：
题型02 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R 恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜
0(≤0)对于x∈R 恒成立的条件是
(2)在解关于x 的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需
研究二次项系数为0 时是否满足题意．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由命题“
”为真命题，利用判别式，即可确定实数
的取值范围．
【详解】由命题“
”为真命题，
，
解得：
，
7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题意说明
：“
，
恒成立”是真命题，然后对
分类讨论可得.
【详解】命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则命题
：“
，
恒成立”是真命题，
时，不等式为
恒成立，满足题意，
时，则
，解得
，
综上，
的范围是
.
8．（2026 高三·浙江衢州·期中）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
9．（2026·上海宝山·模拟预测）已知
是实数，不等式
．
(1)若
，求上述关于
的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
看作整体，然后由二次不等式解法可得答案；
（2）由题可得
，然后由基本不等式求得
最小值可得答案.
【详解】（1）原不等式等价于
或
，
又
，
或
，
则不等式解集为：
；
（2）由题设可得
恒成立，即
，
注意到
，当且仅当
时取等号，从而
.
10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
，
，利用基本不等式推得
，再由
恒成立得
，求解即得.
【详解】因为
，
且满足
，
，
即
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立，
又因为
恒成立，所以
，即
，
即
，解得
.
11．（2026·湖南·模拟预测）若对任意的正实数x、y 满足
，不等式
恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【详解】因为不等式
恒成立，
所以
.
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
，所以
，所以
，
所以实数m 的取值范围是
．
12．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】BC
【分析】首先根据绝对值三角不等式求
的最小值，再根据不等式恒成立，转化为
，
即可求解.
【详解】不等式
，
由不等式
恒成立，可知
，
即
，解得：
，
选项中满足条件的只有BC.
13．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数
，
，不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴
与端点
的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得.
【详解】令
，即
，
由题意可知
在R 上恒成立，
①若
，即
时，
要满足题意需
，
整理得
，解得
或（
舍去），
故得
；
②若
，即
时，
要满足题意需
，
整理得
，
解得
或
，与前提矛盾舍去；
③若
，即
时，
要满足题意需
，
整理得
，解得
或（
，舍去），
故得
；
综上所述
或
故
题型03 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
方法1：分离参数法（优先推荐，减少分类）
1.把参数单独放一侧，化为
或
；
2.恒成立最值转化口诀：
；
；
；
。
3.求区间内函数最值（二次函数看对称轴、对勾函数、基本不等式）。
方法2：二次函数区间最值法（不分离参数）
设
，区间
1.
在
恒成立
；
2.
在
恒成立
；
3.求区间最值三步：
①求对称轴
；
②判断对称轴在区间左侧、内部、右侧；
③分别计算端点/顶点函数值，确定最大、最小值。
方法3：区间全包含法（简单二次不等式）
若不等式解集为
，要求区间
全部落在解集内，则：
区间左端点
解集右边界或区间右端点
解集左边界。
14．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值.
【详解】不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
设
，
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，所以
.
的最小值为
.
15．（2027 高三·全国·专题练习）“
，
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出原命题恒成立时
的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件．
【详解】若
，
恒成立，则
，故
，
解得
．
要求充分不必要条件，即求
的真子集，
观察选项可知，C 选项满足题意．
故选：C．
16．（2026 高三·江苏南通·期中）
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为
对于
恒成立，进而由
结合基本不
等式求解即可.
【详解】由
，且
，得
，
则问题转化为
对于
恒成立，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：D.
17．（2026·天津河东·模拟预测）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据
的范围分类讨论，结合对于任意
，都有
成立，解不等式即可求解．
【详解】因为
是一个区间，所以
，
二次函数
的对称轴为直线
，
①当
时，即
，函数
在
上单调递增，
所以
，
要使对于任意
，都有
成立，则
，
所以
，解得
；
②当
时，即
时，
函数
在
处取得最小值，
，
则
，不等式无解；
③当
时，即
，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
，不等式无解；
综上所述，
的取值范围是
．
18．（2026 高三·陕西渭南·期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范
围是________.
【答案】
【分析】不等式
在
上恒成立，则需区间
都落在解集
内，这
等价于要求
与开区间
没有交集，从而得出
的取值范围.
【详解】由
化简得：
，
不等式
等价于
，
解得
要使此不等式对任意
恒成立，
则区间
必须完全包含在解集
中，
等价于
与开区间
的交集为空集，
区间
在
左侧，即
，解得
，
区间
在
右侧，即
，解得
，
当
，则
与
必有交集，不满足条件，
综上，实数
的取值范围是
或
，
故答案为：
19．（2026 高三·四川眉山·期末）函数
对
恒成立，则实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用参数分离得出
，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解.
【详解】函数
对
恒成立，
则
，即
设
，
，则
，
当
时，
，
则实数
的取值范围
.
故选：A.
题型04 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题
1.核心判断规则：谁给了取值范围，谁做主元；求范围的量做参数。
2.一次函数区间恒成立结论：
一次函数
在
上恒大于0
；
恒小于0
。
3.适用场景：式子含双变量，其中一个变量给出有限区间，换主元后降为一次函数，大幅简化计算。
20．（2026 高三·云南红河·阶段检测）当
时，不等式
恒成立，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】因为当
时，不等式
恒成立，
所以
恒成立，整理得
恒成立，
令
，则
，
解得
，则
的取值范围为
，故C 正确.
故选：C
21．（2026 高三·湖北随州·期中）若不等式
对任意
恒成立，则x 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先不等式看成关于
的不等式，再根据定义域，列式求解.
【详解】不等式整理为关于
的一元一次不等式
，
恒成立，
，
，得
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
22．（2026 高三·黑龙江哈尔滨·期中）若
，使得关于
的不等式
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为
，结合函数单调性求出
在
的最大值大于等于
即可
求解.
【详解】将不等式
变形为：
，令
，所以
是关
于
的函数；
当
时，
满足条件；
当
时，
满足条件；
当
时，即
时，
在
上单调递减，
若
，使得关于
的不等式
成立，则
，解得：
或
，
由于
，则
；
当
时，即
或
时，
在
上单调递增，
若
，使得关于
的不等式
成立，则
，解得：
或
，
由于
或
，则
或
；
综上，实数
的取值范围为：
或
；
故选：A
23．（2026 高三·天津南开·期中）已知关于
的不等式
.
(1)是否存在实数
，使不等式对任意
恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
使不等式成立，求
的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）分
和
讨论，当
时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案；
（2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可；
（3）分离参数得
，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案.
【详解】（1）当
时，
不恒成立；
当
时，若不等式对于任意实数
恒成立，
则需
且
，无解，所以不存在实数
，使不等式恒成立．
（2）设
，当
时，
恒成立．
当且仅当
，即
，解得
或
，
所以
的取值范围是
．
（3）因为
，所以
．
设
，
所以
．
设
，显然
在
上为增函数，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
．
题型05 一元二次不等式在某区间上有解问题
等价转化口诀（与恒成立对比记忆）
设
，函数
在区间值域
1.
有解
；
2.
有解
；
3.
有解
；
4.
有解
。
两种通用解法
1.分离参数法：同恒成立，分离后找另一侧函数最值，套上面口诀；
2.补集思想（反面求解）
“
”
“
”
存在使不等式成立的反面是任意都不成立，先求无解时参数范围，再取补集，适合复杂分类。
24．（2026 高三·山西太原·期中）若存在
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】当
，则
，在
上显然不成立，
当
，则
或
，得
或
，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：D
25．（2026 高三·湖北孝感·期中）当
时，关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意参变分离得
，再根据对勾函数求最值即可．
【详解】由
时，
有解，
所以
，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
时，
，
时，
所以
．
故选：C．
26．（2026 高三·天津南开·阶段检测）设
，若关于
的不等式
在
上有解，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过分离参数，得到
，由对勾函数单调性求得
最大值即可求解.
【详解】由
，
得到
，
由题意
，
令
，由对勾函数单调性可知
在
上单调递增，
即最大值为
，
所以
，
故选：C
27．（2026 高三·福建·期中）已知存在
，使得
成立，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为
，结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】依题意，令
，
则
，其图象开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又
，
，
则
，
因为存在
，使得
成立，
所以
，即
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
28．（2026 高三·黑龙江大庆·期末）若存在
，使不等式
成立，则a 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为
的形式，只需
即可.
【详解】因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
，
设
，其中
，则
.
设
，则
转化为
，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以存在
，使不等式
成立时，只需
，
故
的取值范围是
，
故答案为：
.
29．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范
围是______．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】不等式
在区间
内有解，即
在区间
内有解，
那么
，设
.
根据二次函数的性质可知
，所以
.
故答案为：
.
30．（2026 高三·江苏无锡·期中）已知存在
是不等式
一个解．若
，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对参数
进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解.
【详解】当
时，抛物线
开口向下，对称轴为
，
在区间
上函数
单调递减，且当
时，
，
由连续性知，必存在
使得
，故
满足条件；
当
时，不等式化简为
，解得
，故
满足条件；
当
时，抛物线开口向上，需满足以下条件：
判别式
，即
，所以对称轴
；
所以最小值
，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间
内，
故存在
使得
，即
满足条件.
综上，
的取值范围为
.
故选：B.
31．（2026 高三·河南南阳·阶段检测）已知函数
(1)当
时，解不等式
，
(2)若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分情况讨论二次不等式解的情况；
（2）分离参数，结合对勾函数单调性可得取值范围.
【详解】（1）由已知
，即
，
因为
，所以不等式化简可得
，
当
时，
，则不等式的解集为
；
当
时，
，则不等式的解集为
；
当
时，
，则不等式的解集为
；
（2）由已知不等式
在
上有解，
化简可得
，
设
，则
，
又函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
，
即
的取值范围是
.
题型06 两个函数乘积的恒成立问题
形式：
对
恒成立
1. 核心逻辑：两个因式在定义域内全程同号，或至少一个恒为0；
2. 零点匹配关键结论：
若两二次/一次乘积恒非负，二者零点必须重合；若零点不重合，则区间内必出现一正一负，不满足恒
成立；
3. 解题步骤：
① 分别求出两个因式的零点；
② 令零点完全相等，建立参数方程；
③ 验证开口方向，保证零点两侧因式符号一致；
4. 特殊简化模型：
若其中一个因式零点为
≤
，且乘积恒0，则另一因式必有相同零点，且开口与前者相反。
32．（2026 高三·江苏苏州·阶段检测）若命题“
”是真命题，则实数a 的取值
集合为_______．
【答案】
【分析】先将全称命题“
恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数
化简，再根据参数
与
的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可.
【详解】因为命题“
”为真，
则意味着对所有
，
恒成立；
当
时，则表达式变为
，
当
时，
，不满足恒成立，故
；
当
时，当
时，
，需
对所有
恒成立，
但
是开口向上的二次函数，当
时，
，
无法满足恒小于等于0，故
不成立；
当
时，令
，得
（
），
将
代入
，得
，
要使
对所有
恒成立，
需
是
的根（即两个因式在
时同号或同时为0），
因此
，即
，所以
（负根舍去），
验证：当
时，
，
，
解方程
，解得
或
（舍去）
而
，故两因式的正零点重合于
；
当
时，
，
，故
；
当
时，
，且
，故
；
当
时，
，且
，故
；
满足对所有
，
，
综上所述，实数
的取值集合为
.
故答案为：
.
33．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对
，关于
的不等式
恒成
立，则实数
的取值范围为_____.
【答案】
【分析】将已知等式变形为
，可得出
，
令
，
，
，分析可知
，可得出
，即可得出
，利用导数和基本不等式求解即可.
【详解】对
，有
，所以
，
所以不等式左右两侧同时除以
，
所以
，
转化为关于
的一元二次不等式，所以
，
令
，
，
，
，当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
所以
；
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
，
因为
，故对任意的
，则
，
故当
时，
，
，
由
可得
，
故
，故
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
34．（2026 高三·上海·期中）设
，若对任意
，都有
，则
_____．
【答案】
【分析】先根据已知不等式构造函数
，
，分析得出
，再利用二次函数性
质得出
在
和
上的符号，结合已知条件得出
在相应区间上的符号，最
后利用一次函数的性质列不等式组得出
的关系，结合
求出
，从而求解
．
【详解】设
，
，
当
时，
，但
不可能在
时恒成立（如
），
不满足对任意
，都有
，
，
时，
；
时，
；
若对任意
，都有
，则
在
时，
；在
时，
，
为一次函数，则
，
解得
，
，则
，
．
故答案为：
．
35．【多选】（2026 高三·浙江温州·期中）对任意
，不等式
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】分析可知，关于
的方程有一个根1，另外一个根小于等于0，进而计算可得结论.
【详解】当
时，
，由
，可得
，
当
时，
，由
，可得
，
所以
时，
，即1 是方程
的一个根，
则题意可得
还有一个根小于等于0，
所以
，解得
，故A 正确；B 错误；
又
开口向下，所以
，
所以
，故C 正确，D 错误.
故选：AC.
36．（2026 高三·江苏盐城·期中）若不等式
对
恒成立，则
______.
【答案】
【分析】分析当
时，函数
的零点及函数值的变化情况，由不等式
对
恒成立，可得二次函数
的零点，建立关于
的方程，
求解即可．
【详解】当
时，函数
的零点为
和
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
不等式
对
恒成立，
则函数
满足
，有
，
解得
，所以
.
故答案为：
