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第03 讲 导数与函数的极值、最值
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳
型技巧
题
知识解构
知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值
知识点3 函数极值与最值的关系
题型破译 (含超链接）
题型
1 （导）
函数图象与极值
【方法技巧】导函数图象与原函数图象的关系
题型
2
求函数的极值（点）
【方法技巧】求函数的极值（点）的方法
题型
3
已知函数的极值（点）求参数
【方法技巧】已知极值（点）求参数的方法
题型
4
已知极值（点）个数求参数
【方法技巧】已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
题型
5
求不含参函数的最值
题型
6
导数在解决实际问题中的应用
题型
7
根据函数的最值求参数
题型
8
利用极值、最值解决函数的零点问题
【方法技巧】利用导数画图解决零点问题
题型
9 恒成立问题
【方法技巧】恒成立问题的处理方式
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
函数的极值
——
全国二卷T10（6 分）
全国二卷T13（5 分）
全国二卷T18（1）（4
分）
全国I 卷T10（6 分）
全国II 卷T11（6 分）
全国II 卷T16（2）（9
分）
全国甲卷（理）T21（1）
（5 分）
函数的最值
——
全国一卷T19（1）（4
分）
北京卷T19（1）（4 分）
全国甲卷（理）T21（2）
（7 分）
全国甲卷（文）T16（5
分）
天津卷T20（2）（6 分）
考情分析
近三年考情显示，导数与函数的极值、最值考查稳定，是高考数学核心必考内容。无
论试题如何变化，均以导数为工具，通过单调性分析极值、最值，借助图像直观呈现
本质。常以解答题压轴设问出现，难度中档偏上，侧重含参讨论、单调性衔接、极值
点判定与最值求解。最终落脚点仍是单调性与最值，突出转化、分类讨论与数形结合
思想。
复习目标
1．结合函数图像，理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。
2．能利用导数熟练求函数的极大值、极小值及极值点。
3．会求闭区间上函数的最大值与最小值。
4．能结合单调性、参数讨论，判定极值存在性并求解参数范围。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 极值点与极值
1．极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，且
,而
且在点
附近的左侧
,右侧
,就把
叫做函数
的极小值点,
叫做函数
的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，且
,而
且在点
附近的左侧
,右侧
，就把
叫做函数
的极大值点,
叫做函数
的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值．
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注意：函数
可以有多个极大值和极小值，例如：函数
在
上有无数
多个极大值和极小值．
2．函数极值的求法
解方程
,当
时:
（1）如果在
附近的左侧
;右侧
,那么
是极大值;
（2）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在
极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标．
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点．
3．导数与极值的关系
一般来说,"
"是“函数
在点
处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数
在点
处可导,且在点
处取得极值,那么
;后之若
,则
不一定是函数
的极值点．函数
在点
处取得极值的充要条件是
且
在
左、右两侧
的符号不同．
自主检测
1．函数
的极小值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【详解】可知
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，所以极小值为
.
知识点2 函数的最大(小)值
1．最值的存在性：一般地,如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线,那么它必
有最大值与最小值．
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间
上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．
②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点
处取得．
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最值与极值的联系：如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值
点,那么该极值点就是最值点,这里区间
可以是无穷区间
2．求函数
在区间
上的最值的步骤：
①
在区间
上的极值;②将函数
的各极值与端点处的函数值
比较,
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
自主检测
2．函数
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．1
【答案】D
【详解】因为
，由
，得
或
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
在
取到极小值，也是最小值，即
.
知识点3 函数极值与最值的关系
1．研究范围不同：极值是局部概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是整体概念，针对整个定
义区间来比较。
2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有多个，也可能不存在；而最大值、最小值最多
只有一个，也可能不存在。
3．位置不同：极值点不能出现在区间端点；最值点可以是区间端点。
4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在极值点或区间端点处。
自主检测
3．已知函数
定义域为
，且在该区间上连续，在
上函数
有唯一的极大值
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
有最大值
B．函数
有最大值，但不一定是
C．函数
的最小值也可能是
D．函数
不一定有最大值
【答案】D
【详解】函数
定义域为
，是开区间，
则当
趋近于
或
时，若
趋于正无穷大，
此时函数
没有最大值，故AB 错误，D 正确；
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因为函数
有唯一的极大值
，
所以在
附近，函数值小于
，
所以函数
的最小值不可能是
，故C 错误.
故选：D.
题●型●破●译
题型1 （导）函数图象与极值
例1-1（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数
的导函数为
，且
的图象如图所示，则
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】由图知当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，
当
时，
，此时
单调递减，
则
的极大值点为.
故选：C.
例1-2（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为
的函数
的导函数为
，且函数
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
有极小值
，极大值
B．
有极小值
，极大值
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C．
有极小值
，极大值
和
D．
有极小值
，极大值
【答案】B
【分析】详解】观察图象知，当
时，
或
且
，
当
时，
或
，
而当
时，
，当
时，
，因此当
或
时，
，
当
时，
，当且仅当
时取等号，
则
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，极大值
，A，C，D 不正确；B 正确.
故选：B
方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系
导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只
有导函数图像穿过x 轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。
【变式1-1】（2023·24 高三上·重庆·阶段检测）（多选）设函数
在
上可导，其导函数为
，且
函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
在
上为增函数
B．函数
在
上为增函数
C．函数
有极大值
和极小值
D．函数
有极大值
和极小值
【答案】AD
【分析】详解】由图可知当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数，在
上为减函数，
在
上为增函数，故A 正确，B 错误，
则
在
处取得极大值，
处取得极小值，
即函数
有极大值
和极小值
，故C 错误，D 正确.
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故选：AD
【变式1-2】（2024·25 高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数
，
的图象是一条连续不
断的曲线，设其导数为
，函数
的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取最大值
B．
是
的极大值点
C．
没有极小值点
D．
可能不是导函数
的极大值点
【答案】ACD
【分析】详解】当
时，
，
函数
单调递增，
同理可得：当
时，
，函数
单调递减，
所以
为函数
的极大值，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
函数
单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
从而
在
处取最大值，且没有极小值点，故A,C 正确，B 错误；
又
和
时，
，
，而
在
时等于0，所以
不一定等于0，
当
时，
是导函数
的极大值点，
当
时，
不是导函数
的极大值点，所以D 正确.
故选：ACD.
【变式1-3·变考法】（2024·25 高三上·山东滨州·期末）（多选）已知函数
与其导函数
的部分图
象如图所示，若函数
，则下列关于函数
的结论不正确的是（ ）
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A．在区间
上单调递减
B．在区间
上单调递增
C．当
时，函数
有极小值
D．当
时，函数
有极小值
【答案】ABD
【分析】详解】由
有
，
由图可知
的分布如图所示：
当
时，
，
，
，所以
，
所以
在
单调递增，故A 错误；
当
时，
，所以
，即
，
在
单调递减，故B 错
误；
当
时，
，所以
，由图可知当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，所以
时
的极小值点，故当
时，函数
有
极小值，故C 正确；
当
时，
，所以
，由图可知当
时，
，所以
，所以
，
所以
在
单调递增，所以当
时，函数
有极大值，故D 错误.
故选：ABD.
题型2 求函数的极值（点）
例2-1（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性，并求其极值；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的最小值：
(3)设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
【答案】(1)
时，
的极小值为
，
时，
的极大值为
；
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(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）
，令
，解得
，
所以
时，
，即
在
上单调递减，
时，
，即
在
上单调递增，
时，
，即
在
上单调递减，
所以
时，
的极小值为
，
时，
的极大值为
.
（2）对任意
，
恒成立等价于
恒成立，
令
，
，所以
，
，令
，解得
（负根舍去），
所以
时，
，即
在
上单调递增，
时，
，即
在
上单调递减，
所以
在
时取得最大值，
，
所以实数
的最小值为
.
（3）由
，
，
为两个不相等的正数，
两边同时取自然对数得
，即
，令
，
，
所以
，因为
，
所以
时，
，即
在
上单调递增，
时，
，即
在
上单调递减，所以
的极大值为h(2)=2(ln2 1)
−
，
时
，
时
，故
一个在
内，另一个在
内，不妨设
，
等价于b<4
a ，因为
，所以
，而
在
上单调递减，所以证明h(b)>h(4
a )即
可，也即h(a)>h(4
a )，
令φ(a)=h(a) h(
−
4
a )=2lna−a
2ln(
−
4
a )+4
a ，即φ(a)=4lna−a+4
a
2ln4
−
，
，
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φ
′(a)=4
a
1
−
−4
a
2 =−a
2+4a
4
−
a
2
=−(a
2)
−
2
a
2
<0，
即
在
上单调递减，所以φ(a)>φ(2)，φ(2)=4ln2
2
−
−，
所以
，即h(a)>h(4
a )，所以h(b)>h(4
a )，即b<4
a ⇒ab<4，得证.
例2-2（2026·福建泉州·模拟预测）“函数
在区间
内存在最小值”的充分不必要条
件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】由题意
，令
，解得
或
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的极小值为
，
因为
区间
内存在最小值，所以极小值点0 在区间
内，
则
，解得
，
令
，解得
，或
，
所以
，解得
，
综上，函数
在区间
内存在最小值时
，
要满足“函数
在区间
内存在最小值”的充分不必要条件，
即所求为
的真子集，
分析选项可得，只有
符合题意.
方法技巧 求函数的极值（点）的方法
先确定函数定义域，求导并令
，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两
侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。
【变式2-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数
的所有极值点之和为__________．
【答案】
【详解】令
，解得
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
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当
时，
，
在
上单调递减，
所以
为
的极小值点，无极大值点，
所以函数
的所有极值点之和为
.
【变式2-2·变角度】（2026·河北保定·二模）已知等比数列
的各项均为正数；
是函数
的两个极值点，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．1014
D．1013
【答案】D
【分析】详解】
，
令
，解得
或
，
所以函数
的单调递增区间为
和
，
令
，解得
，所以函数
的单调递减区间为
，
因此
是函数
的两个极值点，因此
，
【变式2-3·变考法】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数
有3 个极值点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】详解】由题意知
有三个变号零点，
且三个零点为
，不妨设
，
，
因为
，
所以函数
关于
对称，
又
，所以
，
所以
.
故选：D.
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题型3 已知函数的极值（点）求参数
例3-1（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
在
处取得极
值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】详解】解：f
′(x)=3x
2+6λx+μ
6
−λ，又
在
处取得极值
，
，解得
或
，
经检验
符合题意，
时，
单调递增无极值，故舍去，
则logλ+1(μ+2)=log28=3．
例3-2（2026·四川宜宾·一模）已知函数
.
(1)是否存在实数
，使得
为函数
的极小值点.若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
(2)若
图象上总存在关于点
对称的两点，求a 的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)
.
【详解】（1）不存在，理由如下：
由
知
的定义域为
，且
，
假设存在实数
，使得
为函数
的极小值点，
则
，即
，解得
，
此时
，
所以
是减函数，与
为函数
的极小值点矛盾，
所以假设不成立，即不存在实数
，使得
为函数
的极小值点；
（2）若
图象上总存在关于点
对称的两点，
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则
在
上有解，
即
在
上有解，
整理得
，
令
，得
，
问题可转化为
在
上有解，
令
，则
；
①当
时，
，
是减函数，
又
，所以
，
所以
在
上无零点，不符合题意；
②当
时，
，
是增函数，
又
，所以
，
所以
在
上无零点，不符合题意；
③当
时，在
上，
，
单调递减；
在
上，
，
单调递增，
所以
的最小值为
，
又
时，
，
根据函数零点存在定理可知
在
上必存在零点，符合题意；
综上，
的取值范围是
.
方法技巧 已知极值（点）求参数的方法
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为
0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
【变式3-1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
且
时，
有极值，则
_____．
【答案】2
【分析】详解】因为
，则
，
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由题意可得
，解得
，
则函数
，
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
在
处取到极大值，即
，
符合题意，
所以
.
【变式3-2】（2026·河南·三模）已知函数
.
(1)若
是
的极小值点，求
的值；
(2)若
有两个零点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【详解】（1）由
，求导得
，
因
恒成立，故
的符号由
决定，
由
是
的极小值点，得
，即
，解得
，
当
时，
，
时
，
单调递减；
时
，
单调递增，故
为极小值点，符合题意，
因此，
；
（2）(i)由
得
，变形为
，
令
，则
的零点等价于
与
的图象交点，
求导得
，令
，得
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
，且
时
，
时
，
因此，
的取值范围为
；
(ii) 由
是
的零点，得
，
由
单调性可知
，令
，
，
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则
，
，且
，
，代入得
，
设
，则
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
构造函数
，
，
，
由
，则
，故
，
在
上单调递减，
则
，即
在
恒成立，
因
，故
， 结合
，得
，
又
，
，
在
上单调递增，
因此
，即
， 故
.
【变式3-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数
在
处取得极小值
.
(1)求
的值;
(2)证明：
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题知
，则
，又因为
，所以
.
检验：若
， 则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
为
的极小值点，符合题意.
所以：
.
（2）由（1）知
，
证
，即证
，
即证
，即证
.
设
，则
，
令
，得
或
，
当
时，
单调递增；
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当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
又
，所以
.
所以当
时，
.
题型4 已知极值（点）个数求参数
例4-1（2026·湖北·模拟预测）已知定义在
上的奇函数
存在2 个极值点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】定义域为
的奇函数满足
对任意
恒成立，
所以
，
则
，
，即
.
对于A 选项：由
得
，
不确定，故
不一定为1，A 错误；
对于B 选项： 化简得
（
），求导得
，
若
有2 个极值点，则
有两个不相等实根，二次方程判别式
，即
，B 正确；
对于C 选项：已得
，若
，则
，
，
为一次函数，不存在2 个极值点，C 错误；
对于D 选项：由前分析知
，D 错误；
例4-2（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
．
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)设
有且仅有一个极值点，求a 的取值范围；
(3)若函数
存在2 个极值点
，且满足
，求证：
．
【答案】(1)2x＋y－2＝0
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，
，且
，
故
在
处的切线方程为
，即2x＋y－2＝0，
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（2）
，
，
由
＝0 可得
，令
，x>0，
则
令
，
在
上单调递减，且
，
则当
时，
，则
，即
在
上单调递增，
时，
，
，即
在
上单调递减，
且又
时，
，
时，
，
由题得，
有且只有一个变号根，故
（3）由
，可得
，
令
，则
，由
得
，由
，得
.
故
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，当
时，
，
因
，对于
，有
，
，故
，
，
则由
，又
，故
，
令
，则
，
因
，则
，故
在
上单调递增，
又
，
则
在
上存在唯一解
，∴
又
，
，
则有
，故可得
．
方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
（1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。
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（2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。
（3）转化问题：极值点n 个
在定义域内有n 个不同变号零点。
（4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。
【变式4-1·变题型】（2024·河南·一模）若函数
在区间
只有个极值点，
则曲线
在点
处切线的方程为__________．
【答案】
【分析】详解】解：因为
，所以
，设
，
因为函数
在区间
只有个极值点，
所以函数
在区间
只有个变号零点，所以
，即
，
解得
，又
，所以
，所以
，
所以
，
，则所求切线方程为
.
故答案为：
【变式4-2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
恰有1 个极值点，则实数
的
取值范围为___________．
【答案】
【分析】详解】函数
的定义域为
.
.
由函数
恰有1 个极值点，得
恰有一个变号实数根.
即方程
恰有一个变号实数根.
令
，则直线
与函数
的图象恰有一个交点.
.
当
时，
，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，
，函数
单调递减.
所以当
时，
取得极大值，即最大值为
.
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又当
时，
，所以
；
，
所以函数
的图象如下：
所以
或
.
当
时，
.
令
，则
，在
上单调递减.
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减.
所以当
时，
取得极大值，即最大值为
，即
恒成立.
所以
是减函数，无极值点.
所以实数
的取值范围为
.
【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)若
有3 个极值点，求a 的取值范围；
(2)若
，
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由
有3 个极值点，
可得到
具有3 个变号零点，
当
时不是
的零点，
则可得
在
有3 个交点，
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构造函数
，
，
则
，令
，解得
，
所以当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
所以
，
而当
时，
，当
时，
，当
时，
,
所以
,
则
的取值范围为
.
（2）构造函数
则
，且
，
构造函数
，则
，
再令
，则
，
因为
时，则
，
在
单调递增，
而
，所以
在
单调递增，
所以
，所以
在
单调递增，
故
，即
.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值的个数一般转化为导函数的零点个数进行求解，进行求解函数的值域
求解参数的范围，而对于不等式的证明，一般构造函数，利用函数的单调性证明.
题型5 求不含参函数的最值
例5-1（2026·江苏扬州·三模）函数
在区间
上的最大值为_________．
【答案】2
【详解】∵
，
，
∴ 对
求导得
.
令
，解得
，
，均属于区间
.
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分别计算
在区间端点和极值点处的函数值：
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
比较上述函数值大小：
，
∴ 函数
在区间
上的最大值为
.
例5-2（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，
，
在
单调递减，注意到
，
∴当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
；
（2）
，
在
单调递减，
注意到
且
时，
时，
，
∴存在唯一
，使
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
注意到
且
及
时，
，
∴ 要使
有两个零点，只需
，
∵
，则
，
代入上式得
，化简得
，
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设
，则
在
上单调递增，注意到
，
∴当
时，
，
设
，则
在
单调增，故
，
，
∴若
有两个零点，则实数
的取值范围是
【变式5-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆柱的体积为
，则圆柱的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则
，可得
，
所以圆柱的表面积S=2πr
2+2πrh=2π(r
2+16
r )，
所以
；
令
，得
；
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，S 取得最小值，为
．
【变式5-2·变载体】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值；
(2)当
时，证明：
在
上单调递增；
(3)证明：
，
，使得
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，
求导得
．
因为
，所以令
，得
；令
，得
．
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
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所以
在
上的最大值为f(
π
3 )=sinπ
3
+
sin2π
3
2
=3❑√3
4
．
（2）证明：函数f(x)=sinx+sin2x
2
+
+
⋅⋅⋅sinnx
n
，
求导得f
′(x)=cosx+cos2x+
+c
⋅
⋅
⋅nx．
由sin(ix+x
2) sin
−
(ix−x
2)=2cosixsinx
2 ，得cosix=
sin(ix+x
2) sin
−
(ix−x
2)
2sinx
2
，
所以∑
i=1
n
cosix=
sin3
2 x
sin
−
x
2
2sinx
2
+
sin5
2 x
sin
−
3
2 x
2sinx
2
+
+
⋅⋅⋅
sin(nx+x
2) sin
−
(nx−x
2)
2sinx
2
=
sin(nx+x
2) sin
−
x
2
2sinx
2
=1
2sinx
2
2cos
⋅
[(nx+x
2)+x
2
2
)sin[(nx+x
2)−x
2
2
)
．
当
且x∈(0,π
n+1)时，0<nx
2
<nπ
2(n+1) <π
2
，0<(n+1)x
2
<π
2
，
所以
，sinnx
2
>0，
，
因此f
′(x)=∑
i=1
n
cosix>0，所以当
时，
在
上单调递增．
（3）证明：令h(x)=sinx−2
π x，
，则
，
，
h
′(x)=cosx−2
π ，令cosx1=2
π ，
，
当
时，
，当
时，
，
所以h(x)=sinx−2
π x在
上单调递增，在
上单调递减，
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所以当
时，h(x)=sinx−2
π x≥0，sinx≥2
π x，
同理可证，当
时，sinx≥2−2
π x．
当
时，由（2）知
在
上单调递增，取x0=π
n+1 ．
当
时，
，
，
满足题意．
当
时，当
时，iπ
n+1 ≤π
2
，则siniπ
n+1
i
≥1
i ⋅2
π ⋅iπ
n+1 =2
n+1
；
当
时，π
2
<iπ
n+1 <π，此时siniπ
n+1
i
≥1
i(2−2
π ⋅iπ
n+1)=2
i −2
n+1
．
若n 为奇数，令
，由0<nx0=nπ
n+1 <π，得
，
f(x0)≥∑
i=1
n0 2
n+1 + ∑
i=n0+1
n
sinix0
i
>2n0
n+1 +0=n+1
2
⋅2
n+1 =1；
若n 为偶数，令
，
则f(x0)≥∑
i=1
n0 2
n+1 + ∑
i=n0+1
n
(
2
i −2
n+1)=2n0
n+1 −2(n−n0)
n+1
+2 ∑
i=n0+1
n
1
i
．
综上，
，∃x0=π
n+1 ，使得
．
【变式5-3·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数
，其导函数为
.
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，则
.
令
，则
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，且
.
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所以
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
所以
，所以
的值域为
.
（2）当
时，
，则
恒成立，所以
.
当
时，由
，得
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，则
.
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，故
在
上单调递减，
又
，所以
，故
在
上单调递减.
因为
，
所以存在
，使得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
由于
，于是当
时，
，此时
，
所以
在
上单调递增，
在
上的最大值为
，
所以
，
综上，实数
的取值范围是
.
题型6 导数在解决实际问题中的应用
例6-1（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3 的球面上，当该圆锥的侧面积最大
时，它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】详解】如图，圆锥顶点为
，底面圆心为
，底面圆周与顶点均在球心为
的球面上.
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先设参数确定圆锥侧面积，记
，
，
，由
，圆锥侧面积为
，
由直角三角形
和直角三角形
可得
，
，
于是
，
令
，
.
求导
，令
，解得
（舍去），
，所以
在
上单调递增；
在
上单调递减.
所以
时，
取得最大值，即圆锥的侧面积最大，
此时
，所以圆锥体积
.
例6-2（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1 千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若
公园主办方计划在弧
上选取一点
，在扇形
内保留游乐景观，并修建三条观光道
、
和
（其中
，
）．若观光道每千米可带来收益3 万元，扇形
的游乐景观每平方千米需投
入维护成本1 万元，则当扇形
区域为公园产生的净收益取得最大值时，
_____________度．
（结果精确到0.1 度）
【答案】
【分析】详解】由题意，设
，由于扇形的半径为1，
，
则
，
，
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所以公园产生的净收益为
，
则
，
令
，得
，而
，
则
（近似值），即
此时函数
单调递增；
令
，得
，而
，
则
（近似值），即
，此时函数
单调递减，
则扇形
区域为公园产生的净收益取得最大值时，
.
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同
的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简
易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度
为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】设帐篷高度为
，
则底面正三角形的外接圆半径
，
易知底面边长
，
底面面积为
，
帐篷容积
，
则
，
令
得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
在
时取得最大值.
故选：C.
【变式6-2·变情境】（2025·重庆·模拟预测）在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程
科学常用抗弯截面系数
来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面
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系数
；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为
，则抗弯截面系数
；若梁的
截面形状是长方形，且长方形截面的长为
，宽为
，则抗弯截面系数
.若上述三种截
面形状的梁的截面周长相同，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】详解】记这三种截面的周长为C，则
，从而
，
，
.
由
，得
.
令
，
，则
，
显然
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
因为
，
，所以
.
因为
，所以
.
故选:D
【变式6-3】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB 为
千米，AD 长4 千米，地块
的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC 是以A 为顶点，以AD 所在直线为对称轴的抛物线的
一部分．现要经过曲线AC 上某一点
（异于A，C 两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边
AB，BC 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P 到边AD 的距离为t（单位：千米），
的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的
的面积S 的最大值为______平方千米．
【答案】
【分析】详解】如图建立平面直角坐标系，
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则
，
由题意设抛物线方程为
，代入点
，得
，解得
，
所以抛物线方程为
，
由题意知直线MN 为抛物线的切线，
因为点P 到边AD 的距离为
，所以切点P 的坐标为
，
由
，得
，所以直线MN 的斜率为
，
所以直线MN 的方程为
，即
，
令
，得
，所以
，
令
，得
，所以
，
所以
，
则
，
因为
，所以当
对，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
平方千米．
故答案为:
.
题型7 根据函数的最值求参数
例7-1（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是__________.
【答案】1
【分析】详解】由
，求导可得
，
当
时，令
，可得
，
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由
可得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，解得
；
当
时，
，显然函数
在
上单调递减，故不合题意；
当
时，
，函数
在
上单调递减，故不合题意.
故答案为：
例7-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上
单调递增
(2)
【详解】（1）函数
的定义域为
，
当
时，
在
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
，得
，
所以
在
上单调递减；在
上单调递增
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由题意得
，解得
，符合
，所以
.
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当
时，
在
上单调递减，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去.
综上可得，实数
的值为
.
【变式7-1】（2024·25 高三下·广东·开学考试）已知函数
的最小值是
，则
___________.
【答案】
【分析】详解】由题意可得
.
设
，则
，所以
是偶函数.
当
时，
.
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增.
因为
是偶函数，所以
在
上单调递减，
所以
，
由
.
故答案为：
【变式7-2·变载体】（2026·湖北随州·三模）已知
，函数
的最大值为0，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】详解】依题意可得函数
的定义域为
，
由函数
的最大值为0，
即
在
上恒成立，
即
的图象在
的下方，
结合图象可得，当函数
的图象过原点，且
与
相切时，
取得最小值，
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根据对称性，不妨只考虑
的情况，
即当
与
相切时，
取得最小值，
即
在
上恒成立，
令
，即
时，
取得最小值，
则
，令
，则
，
又
时，
，即
在
上单调递增；
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，解得
．
故选：A
【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数
.
(1)当
，
时，求
的极值；
(2)若
，
有最大值且
的最大值小于
，求a 的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，极小值为
(2)
【详解】（1）当a =4,b=3
2 时，则
，
其定义域为
，且
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
1
0
0
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单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数
的极大值为
，极小值为
.
（2）若
，则
的定义域为
，且
，
当
时，则
，可知函数
在
上单调递增，
所以函数
无最大值，不合题意；
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
的最大值为
，
因为
的最大值小于
，即
，可得
，
设
，
，可知
在
上单调递增，
且
，由不等式
可得
，
所以
的取值范围为
.
题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题
例8-1（2026·山东·模拟预测）若函数
有且只有一个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】
定义域为
，则
有且只有一个零点，
等价于方程
在
有且只有一个根，
即函数
，
图象与直线
有且只有一个交点.
，
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
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则
在
时取得极大值
，
又
时，
，
，
；
时，
，
，
远远大于
，
.
据此可得
大致图象如下：
则由图可得为使函数
，
图象与直线
有且只有一个交点，
例8-2（2026·广东广州·二模）若函数
有且仅有两个零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】详解】函数
的定义域为R，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在R 上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当
时，由
，得
；由
，得
或
，
令
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取得极大值
，
当
时，函数
取得极小值
，
而当
时，
，当
时，
，
由函数
有且仅有两个零点，得
，即
，或
，即
，
则
，令
，则
，令函数
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以
的最小值为
.
方法技巧 利用导数画图解决零点问题
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（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从
直观上判断函数图象与
轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了
方便．
（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
【变式8-1·变载体】（2026·河南许昌·三模）已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】详解】当
时，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
是
的极小值点，即为最小值点，
，
且
；
当
时，
，
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
故函数
的图象如下：
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已知函数
有3 个零点，由图象可知，
当
时，
有3 个交点；
当
时，
有3 个交点；
综上，实数a 的取值范围是
．
【变式8-2·变考法】（2026·湖南·三模）当函数
的零点个数最多时，
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】令
，则
，
则
的零点个数为
根的个数，
即为
与
的交点个数，
若
的零点个数最多，则
与
的交点最多，
令
，
令
，则
或
，
令
，则
，
令
，则
，
得到
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
的极小值为
，
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当
时，
，当
时，
，
所以
，故A 正确.
【变式8-3】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）已知函数
，
则（ ）
A．当
时，
有2 个零点
B．当
时，
有3 个零点
C．当
时，
只有1 个零点
D．当
时，
有2 个零点
【答案】BC
【详解】对于A，
时，
有1 个零点，
时，
，
当
时，
时，
时，
，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
时，
，所以
时，
没有零点，A 错误；
对于B，当
时，
在
时，有2 个零点，B
正确；
对于C，由
得，
时，
时，
，
令
，则
对
，且
时，
，所以
在
上单调递增，
在
上单调递增，且
时，
，
所以
只有1 个零点，C 正确；
对于D，当
时，
在
上单调递增，
时，
无解；
时，
的极小值为
有1 个零点，D 错误.
【变式8-4】（2026·河南·二模）已知函数
．
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(1)当
时，判断
在区间
有无零点，并说明理由；
(2)若
在区间
单调递增，求正整数
的最小值；
(3)当
取（2）中的最小值时，已知存在
，且
，使
，证明：
．
【答案】(1)存在零点，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）解法一：当
时，由
，
，
则
，
时，
，
又
，所以
，
则
在区间
上单调递减，
又
，
又当
时，
，且函数
在
连续，
所以
在区间
一定存在零点．
解法二：当
时，由
，
由解法一知
在区间
上单调递减，
又
，
取
得
，
因为
，故
，
又函数
在
连续，所以
在区间
一定存在零点．
（2）因为
，
又
在区间
单调递增，故
在区间
恒成立，
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即a≥xcosx恒成立，即
是大于等于
在
上的最大值的最小正整数，
设
，
，则
．
当
时，
，
，所以
，
则
在区间
单调递减，
令
，
则
，
当
时，
，
，
因此
在区间
单调递减，即
在区间
单调递减，
又
，
，
，
，
故存在
使
，
所以
时，
，函数
在区间
单调递增，
时，
，函数
在区间
单调递减，
所以
，
的最大值为
，
又因为cosx0−x0sinx0=0，所以
，
因为
的导函数
在区间
恒成立，
所以
在区间
单调递增，
又
，所以
，
故大于
的最小正整数为，所以正整数
的最小值为．
（3）由（2）知此时
，
，
，
由题意知1
x1
cos
−
x1=1
x2
cos
−
x2，
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即1
x1
−1
x2
=cosx1
cos
−
x2⇒x2−x1
x1x2
=cosx1
cos
−
x2，
即
，
因为
，不妨设
，得
，
，
所以
，整理得
，
因此
，
，则lnx1x2>0，
又sinx1≤1，sinx2≤1，则2 sin
−
x1
sin
−
x2≥0．
，
得
．
题型9 恒成立问题
例9-1（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式
恒成立，则
的最小值为
__________．
【答案】
/
【分析】详解】设
，
，原不等式恒成立，等价于
，
则
，
若
，则
，
在
上单调递减，
当
时，
，不满足
，舍去；
若
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因此，
在
处取得最小值：
，
所以
，即
，则
，
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当
时，
，
;
当
时，两边同乘
，可得
，此时
，无最小值；
当
时，两边同乘
，可得
，
设
，
，则
，
当
时，
，
，
综上可得，
的最小值为
.
例9-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
．
(1)若
在
处取得极值，求a 的值；
(2)若当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得
．
因为
在
处取得极值，所以
，解得
．
经验证，当
时，
在
处取得极小值，符合题意，故
．
（2）由（1）知
．
①若
，则当
时，
，即
恒成立，
所以
在
上单调递增，
，
由a
1≥
−
−
a，得
，故
．
②若
，令
，得
或
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
，
由
，可得
，解得e
1
−
2
≤a≤e
3
2 ，故1
2 <a≤e
3
2 ．
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综上，实数
的取值范围是
．
方法技巧 恒成立问题的处理方式
将f ( x)≥0或f ( x)≤0恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数
范围，注意分类讨论与端点取值。
【变式9-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）若
恒成立，则实数a 的
取值范围为______．
【答案】
【分析】详解】易知
，
令
，则
，
所以
．当
时，
，
当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
由
，得函数
的最小值为
，
因为
，所以
．
所以实数a 的取值范围为
.
【变式9-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
，
，
为
的导函数.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于x 的不等式f (x+1)≥2f
′(x)在
上恒成立，求实数b 的取值范围.
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值；
(2)
.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，求导得：
，
令
，解得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此
仅有极小值，无极大值，极小值为：
.
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（2）由
，代入
和
的表达式得：
整理得：
，
由于
，即
，不等式变形为：
要使不等式恒成立，只需
，其中
，
令
，则
，因为
，
所以
的单调性与
相反，
的最大值对应
的最小值，
，令
，得
：
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因此
在
处取得最小值：
进而可得
的最大值：
因此
，即实数
的取值范围是
.
【变式9-3】（2026·安徽芜湖·二模）已知
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
有极值点，求
的取值范围；
(3)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，
故当
时，
在
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
，
由
，可得
，
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令
，其中
，则
，
故函数
在
上为增函数，则
，
故当
时，直线
与函数
的图象有交点，设其交点横坐标为
，如下图所示：
由图可知，当
时，
，
当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
在
处取得极小值，所以，实数
的取值范围是
.
（3）当
时，
时，
，不符合题意；
当
时，
，满足题意；
当
时，由
，可得
，
构造函数
，其中
，则
，
令
，其中
，则
，
所以函数
在
上为减函数，且
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
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【变式9-4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增
(2)1
(3)
【详解】（1）由题可知
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，若
，
，若
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
，
，因为当
时，
和
单调递增，所以函数
单调递增，
又
，所以当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以函数
的最小值为
.
（3）当
时，不等式
恒成立，
即
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，
设
，
，
，
令
，
，
，
所以
在
上单调递增.
由于
，
，
由零点存在定理，存在
，使得
，即
，
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所以当
时，
，
，当
时，
，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
因为
，所以
，
令
，
，
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，所以F(x)min=e
x0−lnx0
x0
−1
x0
=1
x0
−−x0
x0
−1
x0
=1，
所以
，即实数
的取值范围为
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
上单调递增，
在
上单调递减，
故
的极大值为
，极小值为
，
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若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
3．（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【答案】
【详解】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
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所以
.
故答案为：
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为______．
【答案】
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终
点距离水平面的垂直高度为4 米，游客每走一米消耗的体能为
，要使游客从斜坡底走到斜坡
顶端所消耗的总体能最少，则
______．
【答案】
【分析】
【详解】方法1：依题意，斜坡长度
，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力
，
求导得
，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
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于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，人上坡消耗的总体力
最小.
方法2：依题意，斜坡长度
，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力
，
由
，得
，即
，其中锐角
由
确定，
显然
，而
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
此时
，即
，
所以当
时，人上坡消耗的总体力
最小.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】
【详解】（1）由于
，故
.
所以
，
，所以所求的切线经过
，且斜率为，故其方程为
.
（2）设
，则
，从而当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增，这就说明
，即
，且等号成立当且仅当
.
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设
，则
.
当
时，
的取值范围是
，所以命题等价于对任意
，都有
.
一方面，若对任意
，都有
，则对
有
，
取
，得
，故
.
再取
，得
，所以
.
另一方面，若
，则对任意
都有
，满足条件.
综合以上两个方面，知
的值是2.
（3）先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
由
，可知当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，结论
成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
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由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以
在
上存在零点
，再结合
单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对
都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和
的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立.
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【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3 小问中，需要结合
的单调性进行分类讨论.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
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则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
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.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，
该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
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当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，
则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
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假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．求下列函数的极值：
（1）
（2）
；
（3）
（4）
【答案】（1）极小值
，无极大值；（2）极大值
，极小值
；（3）极大值
，极小值
；
（4）极小值
，极大值
.
【详解】（1）
，则
，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
∴
有极小值
，无极大值.
（2）
，则
有
，
∴
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
∴
极大值
，极小值
.
（3）
，则
有
，
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∴
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
∴
极大值
，极小值
.
（4）
，则
有
，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
∴
极小值
，极大值
.
2．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1）
，
（2）
，
（3）
，
（4）
，
【答案】（1）最大值为，最小值为
；（2）最大值为
，最小值为
；（3）最大值为
，最小
值为
；（4）最大值为
，最小值为
.
【详解】（1）
，则
，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
∴
在
上的极小值为
，而
，
，
∴
在
上最大值为，最小值为
.
（2）
，则
时有
，
∴
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
∴
在
上的极大值为
，极小值为
，而
，
，
综上，
在
上最大值为
，最小值为
.
（3）
，则
时有
，
∴
时，
，
单调递减；
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∴
在
上最大值为
，最小值为
.
（4）
，则
时有
，
∴
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
∴
在
上的极大值为
，而
，
，
∴
在
上最大值为
，最小值为
.
3．将一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度
分别是多少？
【答案】两段铁丝的长度均为
.
【详解】设一个正方形的边长为
，则另一个正方形的边长为
，
∴两个正方形的面积和
，则
，
∴
时
，
故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
∴当
时，
的极小值也是最小值为
，此时另一个正方形的边长也为
.
综上，当两段铁丝的长度都为
时，它们的面积和最小.
4．已知某商品进价为a 元/件，根据以往经验，当售价是b
元/件时，可卖出c 件.市场调查表明，
当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【答案】
【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，
则
，
求导得
，令
，
解得
，由
知，
，
当
时，
，函数单增；
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当
时，
，函数单减；
因此
是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为
元/件时，可获得最大利润.
5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1）
，
；
（2）
，
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
【详解】（1）由题意，
等价于
，令
，
∴
，而
，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
故
在
上恒成立，即
，
∴
，
得证.
（2）由题设，
等价于
，
等价于
，
令
，则
，而
，
∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
故
在
上恒成立，即
，
∴
在
上恒成立，
令
，则
，而
，
∴
时，
，
单调递增，
故
在
上恒成立，即
，
∴
在
上恒成立，
综上，
，
上恒成立.
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