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第03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
题型02 利用不等式的性质判断命题真假
题型03 利用不等式的性质证明不等式
题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型05 不等式的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
1．（多选）若
，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a 元/瓶，第二次b 元/瓶，有以下两种方案买水（假设
十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．
则下列说法正确的是（ ）
A．用两种买水方案买水的花费一样
B．用“方案二”买水比较划算
C．用“方案一”买水比较划算
D．用哪种方案买水比较划算与a，b 的大小有关
3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更
经济呢？（ ）
A．加固定金额的方式
B．加固定体积的方式C．两种方案一样D．要视具体价格
而定
4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合
（
，
且
）
中任取2 个元素并求和，剩下2 个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2 个元素能够保
证先取者必胜（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．若
，求证：
．
02 利用不等式的性质判断命题真假
6．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
，
，为非零实数，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列命题是假命题的为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
9．（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
03 利用不等式的性质证明不等式
11．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
12．（1）已知
，
，
，求证：
；
（2）证明：
．
13．已知
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
14．设
，
，
，证明：
．
15．已知
，且
，求证：
16．已知
糖水中有
糖（
），往糖水中加入
糖（
），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在
中a、b、c 分别为角A、B、C 所对的边长，则
”
04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
17．若
，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选）已知
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．若实数x，y 满足
，则
的取值范围是 ；若实数x，y 满足
，则
的取值范围是 ．
05 不等式的综合
21．
（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22．
设集合
，若
，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
23．
（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意
，总存在
，使得
，则的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知实数
满足
．
(1)求
和
的取值范围；
(2)证明：
．
25．求证：
．
1．（多选）已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建三明·三模）已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．已知
，
，则
D．已知
，若
，
，则
5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的
点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多
B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少
D．第二象限点比第四象限点少
6．设
，则M 与N 的大小关系是 ．
7．（多选）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
9．求证：
．
1．（2018·全国III 卷·高考真题）设
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2016·全国I 卷·高考真题）若
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．（2015·浙江·高考真题）设
，
是实数，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
