文档文本内容
第03 讲 圆的方程
目录
01 常考题型过关练
题型01 圆的标准方程
题型02 圆的一般方程
题型03 判断点与圆的位置关系
题型04 圆的范围问题
题型05 圆上的点到定点的距离最值
题型06 圆的轨迹问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 圆的标准方程
1．已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设
中点为O，则
，即
，
设圆半径为r，则
，
则以
为直径的圆的方程为
.
故选：B.
2．圆心在直线
上，并且与
轴相切于点
的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解.
【详解】由题设可知圆为直线
与
的交点
，其半径为3，
故圆标准方程为
.
故答案为：
.
3．圆心为点
，且过点
的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程.
【详解】因为
，
，所以圆半径
，
所以圆的标准方程为
.
故答案为：
.
4．已知圆的一条直径的端点分别是
，则此圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】先求出线段中点得出圆心，再应用两点间距离计算得出直径，最后应用圆的标准方程即可求解.
【详解】因为
，所以线段
的中点坐标为
，
，
所以以
为直径的两个端点的圆的圆心坐标为
，半径为
，
所以以
为直径的两个端点的圆的标准方程是
．
故答案为：
．
02 圆的一般方程
5．若圆
关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论.
【详解】把圆
的方程化为标准方程为
，
所以圆
的圆心
的坐标为
，
因为圆
关于直线对称，则直线一定过圆心
.
故选：A.
6．圆心在直线
上，且经过点
，
的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆心在
，可设圆的一般方程为
，然后代点求解即可.
【详解】解析：设所求圆的方程为
，
因为该圆过点
，
，
所以
解得
，
所以该圆的方程为
.
故选：A.
7．“关于
的方程：
表示圆”是“
”的（ ）条件
A．必要不充分
B．充要
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先得的
表示圆时的
的取值范围，从而得到结论.
【详解】由题意有
，
所以
或
，
由于
为
或
的真子集，
故方程
表示圆是
的必要不充分条件，
故选：A.
8．设
.已知方程
表示的曲线是一个圆，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为
，变形得
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
03 判断点与圆的位置关系
9．已知圆
，则下列各点在圆
上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论.
【详解】将选项中的各点代入方程
，显然ABD 均不满足该方程，
只有C 选项
满足该方程.
故选：C
10．点
与圆
的位置关系是（ ）
A．
在
外
B．
在
上
C．
在
内
D．不确定，与
的取值有关
【答案】A
【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可.
【详解】由圆心
，
可得
，
所以
在
外.
故选：A
11．已知圆
，直线
，则直线与圆
的公共点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．与
有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【详解】由直线
恒过定点
，而
，
所以点
在圆
内，故直线恒与圆
相交，故有两个交点，
故选：C
12．（多选）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
在圆的内部
C．圆
与圆C 外切
D．当直线
平分圆C 的周长时，
【答案】ACD
【分析】根据圆
的半径为
，求得
的值，可判定A 正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判
定B 不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C 正确；根据
平分圆C 的周长时，得
到圆心
在直线上，求得
的值，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，由圆
的半径为
，
可得
，解得
，即
，所以A 正确；
对于B 中，由
，可得点
在圆外，所以B 不正确；
对于C 中，由圆
，可得圆心
，半径为
，
又由圆
的圆心
，半径为
，
可得
，
即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C 正确；
对于D 中，当直线
平分圆C 的周长时，圆心
在直线上，
可得
，解得
，所以D 正确．
故选：ACD.
04 圆的范围问题
13．已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由
得到点
的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为
所以点
在以
为直径的圆上，
圆的方程为
，
所以
的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即
.
故选：B.
14．设点
为圆
上一点，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】令
且
，应用向量数量积的坐标表示得
，即可得最小值.
【详解】由
，则
，如下图示，
令
且
，则
，
，
，
，
，
，
所以
，
当
时，
有最小值为
.
故选：D
15．（多选）已知点
，点
是圆
上任意一点，若
面积的最大值为
，
最小值为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线
的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值.
【详解】由题意知：
，
，
且圆心坐标为
，半径为1，
因为圆心到直线
的距离
．
所以
的最大值
，故A 错误，B 正确；
的最小值
，故C 正确，D 错误；
故选：BC.
16．已知实数
满足
，则
的最大值和最小值之和为 .
【答案】4
【分析】应用三角换元，令
，
，且
，结合三角恒等变换有
，即可求.
【详解】由题设，令
，
，且
，
所以
，且
，
所以
的最大、最小值分别为
、
，故它们的和为4.
故答案为：4.
17．已知实数x，y 满足方程
，
的最大值和最小值分别为 和 ．
【答案】
【分析】
表示圆上的一点与原点距离的平方，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最
小值，继而即可求解.
【详解】已知实数x，y 满足方程
，即
，
如图所示，
表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
圆心
到原点的距离为
，
所以
的最大值是
，
的最小值是
．
故答案为：
；
.
05 圆上的点到定点的距离最值
18．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B 的距离的比值为定值
（
）的点的轨迹
是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B 间
的距离为2，动点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
的中点为原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设
，
，
，
由
，可得点
的轨迹方程为
，数形结合得解.
【详解】以
的中点为原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取
，
．
设
，则
，整理得
，
所以点
的轨迹方程为
．
则
可看作圆
上的点
到原点
的距离的平方，
所以
，所以
，
即
的最大值为
，
故选：A.
19．已知复数
满足
， 则
的最小值是
【答案】
【分析】根据复数的模长公式及两点之间的距离公式，将
的最小值转化为圆上一点到定点距离的
最小值，再依据圆上一点到定点距离最小值的求法求解即可.
【详解】设复数
，依题意
，即
，
其表示复数
在复平面内对应的点
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，
，
其表示复数
在复平面内对应的点
到点
的距离，
可得
的最小值是以
为圆心，为半径的圆上一点到定点
距离的最小值，
且圆上一点到定点距离最小值的公式为
（
为圆心到定点距离），
因此，
的最小值是
.
故答案为：
.
20．已知点
在椭圆
上，点
在圆
上，
，则
的最大值为
.
【答案】
【分析】将点
在圆上的距离
的最大值转化为圆心到
的距离加半径，根据椭圆的定义得
，再由三角不等式
，即可求解.
【详解】椭圆
的两个焦点为
，
，长半轴
，
圆的标准方程为
，所以圆心为
，半径为1，
因为点
在圆上，所以
，
因为点
在椭圆上，所以
，
所以
，
又
，
，所以
.
故答案为：
21．已知点
是双曲线
的上焦点，
是
下支上的一点，点
是圆
上
一点，则
的最小值是 .
【答案】6
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【详解】由圆
可化为
，则
，半径为1，
设
是
的下焦点，则
，由双曲线定义可得
，如图：
所以
，又
，
当且仅当
四点共线时，取得最小值，即
的最小值是
.
故答案为：6
06 圆的轨迹问题
22．已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设
，
，由
为
的中点，则
，即
，
由点
在圆
上，则
，即
，
化简可得
.
故选：D.
23．（多选）如图，在平面直角坐标系
中，已知圆
上恰有3 个点到直线
的距离为
．设点
，
，
，点Q 是圆O 上的任意一点，过点B 作
于M，则
下列说法正确的是（ ）．
A．
B．点M 的轨迹方程为
C．
的最小值为
D．圆O 上存在唯一点Q，使得
取到最小值
【答案】ABC
【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得
，即可得到点M 的轨迹方程；
对于C，设
，则
，在
中，根据余弦定理得
，再由
即可得到；对于D，设
，得到点
，利用几何
意义可判断；
【详解】对于A，因为圆心
到直线的距离
，
又圆
上恰有3 个点到直线
的距离为
，
所以
，即
，故A 正确 ；
对于B，由题知
，所以
在以
为直径的圆上，
所以点M 的轨迹方程为
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
在
中，
，
即
，
又
，
当
，即
时取等，故C 正确；
对于D，设在
轴上一点C
，使
，
所以
，整理得
，
又点
在圆
上，
所以
，解得
，
则
，当
三点共线时取等，
又
，原点到直线
的距离
，
所以，如图符合题意的点
有两个，故D 错误；
故选：ABC.
24．（多选）已知
，点
满足
，设点
的轨迹为曲线
，
为坐标原点，
则下列说法正确的是（ ）
A．过点
作曲线
的切线，切线长为
B．当
三点不共线时，
C．在
上存在点
，使得
D．
的最小值为
【答案】AB
【分析】设动点坐标，根据
可求得动点轨迹方程，A 选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B
选项可知
是
内角
的角平分线， 即可得出结论；C 选项，可以求得动点
的轨迹，判断两
曲线的位置关系来判断是否存在；D 选项，三点共线时和最小可以求解.
【详解】设P 点坐标为
，由
，则
，化简得
，所以动点轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
A 选项，过点
作曲线
的切线，切线长为
，A 选项正确.
B 选项，当
三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，
是
内角
的角平分线，
所以
.故B 选项正确.
C 选项，因为
，设
，则
，化简得轨迹为
，所以动点
的轨迹为圆心
，半径为
的圆，圆心距
，所以两圆位置关系为内含，所以在
上不存在点
，使得
，故C 错误.
D 选项，因为
，所以
，
故D 错误.
故选：AB.
25．已知过点
的直线与圆
交于
两点，则弦
的中点
的轨迹方程为
.
【答案】
【分析】设点
，当
不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当
重合时，代入检验即可.
【详解】由直线过点
，圆
可知，圆心
为
，
设点
，
由题意可知，当点
与点
不重合时，
，则
，整理得
，即
，
此时点
的轨迹为圆
但不包括点
.
当点
与点
重合时，其坐标满足方程
.
综上，点
的轨迹方程为
.
故答案为：
1．
过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由圆切线的性质及已知求得
，再由二倍角正切公式求值.
【详解】化
为
，圆心为
，半径为2
所以点
到圆心的距离为
，则切线长为
，
所以
，则
.
故选：D
2．两个圆
：
与
：
恰有三条公切线，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【分析】由题意得两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得
的最小值．
【详解】圆
：
化为标准方程
；
圆
：
化为标准方程
，
由于圆
与圆
恰有三条公切线，
两圆外切，
，得
，
当且仅当
时等号成立，
，
，
，
的最小值为
，当且仅当
时取最小值.
故选：B．
3．已知圆
的面积被直线
平分，圆
，
则圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
【答案】B
【分析】由题意可得圆心
位于直线
上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，
可得答案.
【详解】
圆
关于直线
对称，
圆心
在直线
上，
，
，
圆
，即
，圆心为
，半径为
．
圆
的标准方程是
，圆心
，半径
，
所以
，
所以圆
与圆
的位置关系是相交．
故选：B.
4．
过双曲线
的右支上一点
，分别向
和
作
切线，切点分别为
，则
的最小值为（ ）
A．28
B．30
C．31
D．32
【答案】B
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接
，应用勾
股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.
【详解】由双曲线方程
可知：
可知双曲线方程的左、右焦点分别为
，
圆
的圆心为
（即
），半径为
；
圆
的圆心为
（即
），半径为
．
连接
，则
可得
，
当且仅当
为双曲线的右顶点时，取得等号，即
的最小值为30．
故选：B．
5．（多选）
已知
，
，动点
满足
，记
的轨迹为
，若过点
的直
线与
交于
，
两点，直线
与
的另外一个交点为
，则（ ）
A．
的面积的最大值为12
B．
，
关于
轴对称
C．当
时，
D．直线
的斜率的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用给定定义得到
的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性
判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围
判断D 即可.
【详解】设
，由
可得，
，即
，
所以
的轨迹
是以
为圆心，3 为半径的圆，记圆
的圆心为，半径为．
对于A 选项，
，选项A 正确；
对于B 选项，如图，圆
关于
轴对称，
，
在
轴上，
直线
与圆
交于
，
两点，直线
与圆
交于
，
两点，
由题可知
，
，
由角分线定理逆定理得
，故
，
又根据圆的对称性可知，
，
关于
轴对称，选项B 正确；
对于C 选项，当
时，
，
而
，则
为等腰三角形，
过作
于
，则
，
则
，由垂径定理可得
，选项C 错误；
对于D 选项，当直线
与圆
相切时，连接
，
得到
，此时
，
，由勾股定理得
，
由锐角三角函数的定义得
，
由斜率的几何意义得此时直线
的斜率为
，根据圆的对称性可知，
得到直线
斜率的取值范围为
，选项D 正确．
故选：ABD．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有
2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
3．（北京·高考真题）若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选：A．
4．（湖南·高考真题）圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是
（ ）
A．36
B．18
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：因为圆
，即
，
所以圆心坐标为
，半径
，
因为圆心到直线
的距离
，
所以直线
与圆
相离，
所以圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差为
，
故选：D.
5．（上海·高考真题）已知圆
和圆外一点
，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正
切值是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图，易知圆
和
轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、
二倍角公式进行求解.
【详解】易知圆
的圆心为
，半径
，
且该圆和
轴相切，切点为原点
，连接
，设
，
则两条切线的夹角为
，
，
，
即两条切线夹角的正切值是
.
故答案为：
.
6．（全国乙卷·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】
或
或
或
．
【分析】方法一：设圆的方程为
，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
7．（全国甲卷·高考真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方程为
．
【答案】
【分析】设出点M 的坐标，利用
和
均在
上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
