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专题五 解析几何
第1 讲 直线与圆
【探究真题.明确方向】
1.(2025·天津，T12)已知l1：x-y+6=0 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D 两
点，|AB|=3|CD|，则r= .
2.(2024·全国甲卷，理T12)已知b 是a，c 的等差中项，直线ax+by+c=0 与圆x2+y2+4y-1=0 交于A，B 两点，
则|AB|的最小值为( )
A.1
B.2
C.4
D.2❑√5
3.(2023·新课标Ⅱ卷，T15)已知直线x-my+1=0 与☉C：(x-1)2+y2=4 交于A，B 两点，写出满足“△ABC 面积
为8
5”的m 的一个值为 .
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T6)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0 相切的两条直线的夹角为α，则sin α 等于( )
A.1
B.
❑√15
4
C.
❑√10
4
D.
❑√6
4
5.(2025·全国Ⅰ卷，T7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=❑√3x+2 的距离为1 的点有且仅有两个，则r 的取
值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(3，+∞)
D.(0，+∞)
6.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16 上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P 到直线AB 的距离小于10
B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当∠PBA 最小时，|PB|=3❑√2
D.当∠PBA 最大时，|PB|=3❑√2
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，
分值约为5~6 分.
【考向预测】一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解
以及几何性质的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或
范围，由弦长、半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和
公共弦等相关问题.
1.【答案】2
【解析】由题意得直线l1：x-y+6=0 与x 轴交于A(-6，0)，与y 轴交于B(0，6)，
所以|AB|=❑√6
2+6
2=6❑√2，则|CD|=2❑√2，
圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0 的距离为d=|−1−3+6|
❑√2
=❑√2，故|CD|=2
❑√r
2−d
2=2❑√r
2−(❑√2)
2=2❑√2，
解得r=2(负值舍去).
2.【答案】C
【解析】因为b 是a，c 的等差中项，
所以2b=a+c，c=2b-a，
代入直线方程ax+by+c=0 得ax+by+2b-a=0，
即a(x-1)+b(y+2)=0，
令{
x−1=0，
y +2=0，得{
x =1，
y =−2，
故直线恒过(1，-2)，设P(1，-2)，
圆化为标准方程得x2+(y+2)2=5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，
由图可知，当PC⊥AB 时，|AB|最小，
又|PC|=1，|AC|=❑√5，
此时|AB|=2|AP|=2❑√| AC |
2−| PC |
2
=2❑√5−1=4.
3.【答案】2(2，−2，1
2 ，−1
2 中任意一个皆可以)
【解析】设直线x-my+1=0 为直线l，点C 到直线l 的距离为d，由弦长公式得|AB|=2❑√4−d
2，
所以S△ABC=1
2×d×2❑√4−d
2=8
5，
解得d=4 ❑√5
5
或d=2❑√5
5
，
又d=|1+1|
❑√1+m
2=
2
❑√1+m
2，
所以
2
❑√1+m
2=4 ❑√5
5
或
2
❑√1+m
2=2❑√5
5
，
解得m=±1
2或m=±2.
4.【答案】B
【解析】如图，设A(0，-2)，两切点分别为B，C，
由x2+y2-4x-1=0 得(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=❑√5，
所以圆心到A(0，-2)的距离为❑√(2−0)
2+(0+2)
2=2❑√2，
由于圆心与A(0，-2)的连线平分∠BAC，
所以sin∠BAC
2
= r
2❑√2=
❑√5
2❑√2=
❑√10
4 ，
所以cos∠BAC=1-2sin2∠BAC
2
=-1
4 <0，
所以∠BAC 为钝角，且∠BAC+α=π，
所以sin α=sin∠BAC=❑√1−co s
2∠BAC=
❑√15
4 .
5.【答案】B
【解析】由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，
∵圆心E(0，-2)到直线y=❑√3x+2 的距离为d=|0×❑√3+(−2)×(−1)+2|
❑√(❑√3)
2+(−1)
2
=2，
故由图可知，
当r=1 时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1 个点(A 点)到直线y=❑√3x+2 的距离等于1；
当r=3 时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3 个点(B，C，D 点)到直线y=❑√3x+2 的距离等于1，
则当r 的取值范围为(1，3)时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2 个点到直线y=❑√3x+2 的距离等于1.
6.【答案】ACD
【解析】设圆(x-5)2+(y-5)2=16 的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB 的方程为x
4 + y
2 =1，即x+2y-4=0，则圆
心M 到直线AB 的距离d=|5+2×5−4|
❑√5
= 11
❑√5>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的
最大值为4+d=4+ 11
❑√5，4+ 11
❑√5<5+❑√
125
5 =10，故A 正确.
易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d-4= 11
❑√5-4，11
❑√5-4<❑√
125
5 -4=1，故B 不正确.
过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点
P 与N 重合，|PB|=❑√| MB|
2−| MN |
2=❑√5
2+(5−2)
2−4
2=3❑√2，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB|=3
❑√2，故C，D 都正确.
考点一 直线、圆的方程
【典例】1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.已知直线x+y-a=0 与直线3x-ay+3=0 平行，则它们之间的距离是❑√2
B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0 与直线x-ay-2=0 互相垂直”的充要条件
C.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0 的距离最大时，m 的值为-1
D.已知直线l 过定点P(1，0)，且与以A(2，-3)，B(-3，-2)为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取
值范围是(-∞，-3]∪[
1
2 ，+∞)
【答案】ACD
【解析】对于A，直线x+y-a=0 与直线3x-ay+3=0 平行，则1×(-a)-3=0，解得a=-3，
直线3x+3y+3=0，即x+y+1=0，
则直线x+y+3=0 与直线x+y+1=0 的距离为|3−1|
❑√1+1 =❑√2，选项A 正确；
对于B，由两直线互相垂直得，a2×1+(-1)×(-a)=0，解得a=-1 或a=0，可知“a=-1”是两直线垂直的充分
不必要条件，选项B 错误；
对于C，将直线方程变形为m(x-2)+1-y=0，
由{
x−2=0，
1−y =0，得{
x =2，
y =1，
则直线mx-y+1-2m=0 过定点Q(2，1)，斜率为m，
当直线mx-y+1-2m=0 与PQ 垂直时，点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0 的距离最大，
因为kPQ=2−1
3−2=1，所以m=-1，选项C 正确；
对于D，如图，kPA=−3−0
2−1 =-3，
kPB=−2−0
−3−1=1
2，
由图可知，当k≥1
2或k≤-3 时，直线l 与线段AB 有交点，故选项D 正确.
(2)(多选)(2025·咸阳模拟)已知圆C 的方程为x2+y2-8x+12=0，点M(x0，y0)是圆C 上任意一点，O 为坐标
原点，则下列结论正确的是( )
A.圆C 的半径为2
B.满足|OM|=5.5 的点M 有两个
C.x0+2y0的最大值为4+2❑√5
D.若点P 在x 轴上，则使|OM|=2|PM|恒成立的点P 有两个
【答案】ABC
【解析】对于A，圆的方程可化为(x-4)2+y2=4，所以圆心C(4，0)，半径为2，故A 正确；
对于B，由于|OC|=4，所以圆C 上任意一点到原点的最大距离是4+2=6，
最小距离是4-2=2，因此满足|OM|=5.5 的点M 有两个，故B 正确；
对于C，令x0+2y0=t，则x0=t-2y0，所以M(t-2y0，y0)，
将点M(t-2y0，y0)代入圆C 的方程并整理，
得5y0
2+(16-4t)y0+(t2-8t+12)=0，
依题意有Δ=(16-4t)2-20(t2-8t+12)≥0，即t2-8t-4≤0，
解得4-2❑√5≤t≤4+2❑√5，
因此x0+2y0的最大值为4+2❑√5，故C 正确；
对于D，不妨设P(a，0)，由于|OM|=2|PM|，
所以
❑√x0
2+ y0
2=2
❑√( x0−a)
2+ y0
2，
整理得x0
2+y0
2-8a
3 x0+4 a
2
3 =0.
因为点M(x0，y0)在圆C 上，
所以x0
2+y0
2-8x0+12=0，
则(
8a
3 −8)x0+(12−4 a
2
3 )=0，
因为x0为点M 的横坐标，且点M 为圆C 上任意一点，
所以{
8a
3 −8=0，
12−4 a
2
3 =0，
解得a=3，所以符合要求的点P 是唯一的，故D 错误.
【考法归纳】
(1)解决直线方程问题的三个注意点
①利用A1B2-A2B1=0 后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
②要注意直线方程每种形式的局限性.
③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
(2)解决圆的方程问题一般有两种方法
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
【变式训练】1 (1)(多选)已知直线l：y=kx+2k-3，则下列说法正确的是( )
A.直线l 恒过定点(-2，-3)
B.若直线l 在x 轴上的截距为1，则k=1
C.若直线l 与直线2x+y-1=0 垂直，则k=-1
2
D.若k≥❑√3，则直线l 的倾斜角的取值范围为[
π
3 ，π)
【答案】AB
【解析】直线l：y=kx+2k-3=k(x+2)-3，令x+2=0，即x=-2，得y=-3，
所以直线l 恒过定点(-2，-3)，故A 正确；
若直线l 在x 轴上的截距为1，则直线l 过点(1，0)，代入直线l 的方程得0=k+2k-3，
解得k=1，故B 正确；
若直线l 与直线2x+y-1=0 垂直，则k×(-2)=-1，解得k=1
2，故C 错误；
设直线l 的倾斜角为θ，则k=tan θ≥❑√3，
又θ∈[0，π)，所以由正切函数的单调性可知θ∈[
π
3 ，π
2)，故D 错误.
(2)(2025·江西四月适应性联考)与直线y=
❑√3
3 x 和直线y=❑√3x 都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距
离为❑√2的圆的方程为 .
【答案】(x-1)2+(y-1)2=2−❑√3
2
【解析】设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由于所求圆与直线y=
❑√3
3 x 和直线y=❑√3x 都相切，
故|❑√3a−3 b|
❑√3+9
=|❑√3a−b|
❑√3+1
，
化简得a2=b2，而a>0，b>0，则a=b，
又圆心到原点的距离为❑√2，即a2+b2=2，
解得a=b=1，即圆心坐标为(1，1)，
则半径为|❑√3a−b|
❑√3+1
=
❑√3−1
2
，
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2−❑√3
2
.
考点二 直线、圆的位置关系
考向1 直线与圆的位置关系
【典例】2 (多选)(2025·石家庄模拟)已知直线l：x+ay-3=0 与圆C：x2+y2-8x+6y+16=0，则下列说法正
确的是( )
A.当a=2 时，直线l 与圆C 相交
B.若直线l 与圆C 相切，则a=4
3
C.圆C 上一点P 到直线l 的最大距离为❑√10+3
D.若圆C 上恰好有三个点到直线l 的距离为2，则a=3
4
【答案】AC
【解析】当a=2 时，直线l：x+2y-3=0，圆C 的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=9，
所以圆心C(4，-3)，半径r=3，
则圆心C 到直线l 的距离d=|4+2×(−3)−3|
❑√1
2+2
2
=❑√5<3，
所以直线l 与圆C 相交，故A 正确；
因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d=|4−3a−3|
❑√1+a
2
=3，解得a=-4
3 ，故B 错误；
因为直线l 恒过定点(3，0)，
所以圆心C 到直线l 的最大距离为❑√(3−4)
2+(0+3)
2=❑√10，
则圆C 上一点P 到直线l 的最大距离为❑√10+r=❑√10+3，故C 正确；
因为圆C 上恰好有三个点到直线l 的距离为2，
所以圆心C 到直线l 的距离d=|4−3a−3|
❑√1+a
2
=1，解得a=0 或a=3
4 ，故D 错误.
考向2 圆与圆的位置关系
【典例】3 (多选)(2025·铜仁模拟)已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆C2：x2+y2-4y+a=0，则下列说法正确的是
( )
A.a<4
B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1 个公共点
C.若圆C1与圆C2的公共弦长为4，则a=-16
D.当a=-32 时，若动圆M 与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M 的轨迹方程为x
2
4 + y
2
16=1
【答案】ABC
【解析】对于圆C2：x2+y2-4y+a=0，
转化为标准方程x2+(y-2)2=4-a，
因为半径为❑√4−a>0，所以a<4，A 正确；
若a=0，圆C1：x2+(y+2)2=4，
圆心C1(0，-2)，半径r1=2，
圆C2：x2+(y-2)2=4，
圆心C2(0，2)，半径r2=2，
两圆心间的距离|C1C2|=|−2−2|=4=r1+r2，则两圆外切，
所以两圆有且仅有1 个公共点，B 正确；
若圆C1与圆C2的公共弦长为4，因为圆C1的直径为4，
所以公共弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆C1的圆心(0，-2)，
由{
x
2+( y +2)
2= 4，
x
2+ y
2−4 y +a=0，两式相减可得8y-a=0，
将(0，-2)代入8y-a=0 得a=-16，C 正确；
当a=-32 时，圆C2：x2+(y-2)2=36，
圆心C2(0，2)，半径r2=6，
圆C1：x2+(y+2)2=4，圆心C1(0，-2)，半径r1=2.
设动圆M 的半径为R，因为动圆M 与圆C1外切，同时与圆C2内切，
则|M C1|=R+2，|M C2|=6-R，
所以|M C1|+|M C2|=8>|C1C2|=4，
根据椭圆的定义可知点M 的轨迹是以C1(0，-2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，且2a=8，2c=4，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=16-4=12，
故其轨迹方程为y
2
16+ x
2
12=1(y≠-4)，D 错误.
【考法归纳】
(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l
2，构成直角三
角形的三边，利用其关系来处理.
(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.
【变式训练】2 (1)(2025·湖南名校联合体模拟)已知直线l：y=kx(k<0)与圆C：x2+y2-2x+4y+1=0 相交于
M，N 两点，其中点C 为圆心，若0<∠MCN≤2π
3 ，则k 的取值范围为( )
A.[
2−❑√6
2
，0)
B.[−3
4 ，0)
C.(−∞，2−❑√6
2 ]
D.(−∞，−3
4]
【答案】B
【解析】x2+y2-2x+4y+1=0 化为(x-1)2+(y+2)2=4，
所以圆心C(1，-2)，半径为2.
0<∠MCN≤2π
3 ⇔1≤d<2，
其中d 为圆心C 到直线l 的距离.
因为d= |k +2|
❑√k
2+1
，
所以1≤|k +2|
❑√k
2+1
<2，
因为k<0，所以-3
4 ≤k<0.
(2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=1 和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则
m 的最大值为 .
【答案】6
【解析】以AB 为直径的圆O 的方程为x2+y2=m2，圆心为原点，半径为r1=m，
圆C：(x-4)2+(y-3)2=1 的圆心为(4，3)，半径为r2=1.
要使圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则圆O 与圆C 有公共点，
所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|，
即|m-1|≤❑√4
2+3
2≤|m+1|，
所以{
|m −1|≤5，
|m +1|≥5，
m>0，
解得4≤m≤6，
所以m 的最大值为6.
考点三 隐圆
【典例】4 (1)已知点A(-3，0)，B(3，0)，若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1 上存在点M 满足⃗MA·⃗MB=-5，则实
数a 的值不可能为( )
A.2
B.1
C.0
D.-2
【答案】A
【解析】设M(x，y)，因为⃗MA·⃗MB=-5，⃗MA=(-3-x，-y)，⃗MB=(3-x，-y)，
所以⃗MA·⃗MB=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2-9+y2=-5，即x2+y2=4，
所以点M 的轨迹是圆，方程为x2+y2=4.
由题意知，圆x2+y2=4 与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1 有公共点，
所以2-1≤❑√(a−1)
2+(a+2)
2≤2+1，解得-2≤a≤1，故A 不满足题意.
(2)(多选)已知动点M 与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为1
2，动点M 的轨迹为曲线C，则( )
A.动点M 的轨迹方程为(x+1)2+y2=4
B.直线x-y+2=0 与曲线C 交于A，B 两点，则|AB|的长为
❑√14
2
C.曲线C 与曲线D：(x-1)2+y2=4 的公切线有2 条
D.已知点E(-1，1)，点N 为曲线C 上任意一点，则2|NO|-|NE|的最大值为❑√17
【答案】ACD
【解析】设M(x，y)，由|MO|
|MP|=1
2可得
❑√x
2+ y
2
❑√( x−3)
2+ y
2=1
2，
化简得x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4.
故动点M 的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，A 正确；
(x+1)2+y2=4 的圆心为(-1，0)，半径为r=2，
所以圆心到直线x-y+2=0 的距离d=|−1−0+2|
❑√2
=
❑√2
2 ，
所以|AB|=2❑√r
2−d
2=2❑√4−1
2=❑√14，B 错误；
曲线D 的圆心为(1，0)，半径为2，
因为两圆心间的距离为❑√(1+1)
2+0
2=2，大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线有
2 条，C 正确；
由题意得动点N 与点O(0，0)，点P(3，0)的距离的比为1
2，所以2|NO|-|NE|=|NP|-|NE|≤|PE|=❑√17，D
正确.
【考法归纳】发现隐圆的主要方法
(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).
(2)由两定点A，B，动点P 满足⃗PA·⃗PB=λ(λ 是常数)，求出点P 的轨迹方程确定圆.
(3)由两定点A，B，动点P 满足|PA|2+|PB|2是定值确定圆.
(4)由两定点A，B，动点P 满足| PA |
| PB| =λ(λ>0 且λ≠1)确定圆(阿波罗尼斯圆).
【变式训练】3 (多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P 满足|PA|=
❑√2|PB|，则( )
A.点P 的轨迹方程为(x-3)2+y2=8
B.当△PAB 面积最大时，|PA|=2❑√6
C.当∠PAB 最大时，|PA|=2❑√6
D.点P 到直线AC 距离的最小值为4 ❑√2
5
【答案】ABD
【解析】设P(x，y)，
由|PA|=❑√2|PB|得|PA|2=2|PB|2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
化简得(x-3)2+y2=8，
即点P 的轨迹方程为(x-3)2+y2=8，A 正确；
∵直线AB 过圆(x-3)2+y2=8 的圆心，
∴点P 到直线AB 的距离的最大值为圆(x-3)2+y2=8 的半径r，即为2❑√2，
∵|AB|=2，
∴△PAB 的面积最大为1
2×2×2❑√2=2❑√2，
此时P(3，±2❑√2)，
∴|PA|=❑√(3+1)
2+(2❑√2)
2=2❑√6，B 正确；
当∠PAB 最大时，
则PA 为圆(x-3)2+y2=8 的切线，
∴|PA|=❑√(3+1)
2−8=2❑√2，C 错误；
直线AC 的方程为7x-y+7=0，
则圆心(3，0)到直线AC 的距离为|7×3−0+7|
❑√7
2+1
=14 ❑√2
5
，
∴点P 到直线AC 距离的最小值为14 ❑√2
5
-2❑√2=4 ❑√2
5
，D 正确.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·乌鲁木齐适应性检测)直线l：2x+3y-1=0 的一个方向向量为( )
A.(3，2)
B.(3，-2)
C.(2，3)
D.(2，-3)
【答案】B
【解析】由直线方程为2x+3y-1=0，则(3，-2)是直线的一个方向向量.
2.(2025·新余模拟)已知直线(m+1)x+3y+1=0 与直线4x+my+1=0 平行，则m 的值为( )
A.3
B.-4
C.3 或-4
D.3 或4
【答案】B
【解析】由题意得m(m+1)-12=m2+m-12=(m+4)(m-3)=0，可得m=-4 或m=3，
当m=-4 时，直线3x-3y-1=0 与直线4x-4y+1=0 平行，符合题意；
当m=3 时，直线4x+3y+1=0 与直线4x+3y+1=0 重合，不符合题意；
∴m=-4.
3.(2025·绍兴模拟)直线x=2 被圆(x-1)2+(y-2)2=5 截得的弦长为( )
A.2
B.4
C.2❑√3
D.2❑√5
【答案】B
【解析】圆(x-1)2+(y-2)2=5 的圆心为(1，2)，半径r=❑√5，
又圆心(1，2)到直线x=2 的距离d=|2−1|=1，
所以弦长为2❑√r
2−d
2=2❑√(❑√5)
2−1
2=4.
4.(2025·佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：|x|
4 +|y|
3 =1 的周长为( )
A.12
B.14
C.16
D.20
【答案】D
【解析】曲线C：|x|
4 +|y|
3 =1 等价于
{
x ≥0，
y ≥0，
x
4 + y
3 =1
或{
x ≥0，
y ≤0，
x
4 −y
3 =1
或{
x ≤0，
y ≥0，
−x
4 + y
3 =1
或{
x ≤0，
y ≤0，
−x
4 −y
3 =1.
其中{
x ≥0，
y ≥0，
x
4 + y
3 =1
表示以(4，0)和(0，3)为端点的线段，
其长度为❑√4
2+3
2=5，同理可得，其他线段的长度均为5，
所以曲线C：|x|
4 +|y|
3 =1 的周长为4×5=20.
5.(2025·包头模拟)若(x+2)2+(y+1)2=2，则x + y +1
x
的最小值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
【解析】令P(x，y)，又x + y +1
x
= y +1
x
+1，
令y +1
x
=k，整理得kx-y-1=0，
由题意可得|−2k +1−1|
❑√1+ k
2
≤❑√2，整理得k2-1≤0，解得-1≤k≤1，
所以0≤x + y +1
x
≤2，故x + y +1
x
的最小值为0.
6.(2025·宁波模拟)已知点M(a，0)，N(2，3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2 条，则a
的取值范围为( )
A.(-2，0)
B.(-2，6)
C.(0，6)
D.(2，6)
【答案】B
【解析】以M(a，0)为圆心，2 为半径的圆为(x-a)2+y2=4，
以N(2，3)为圆心，3 为半径的圆为(x-2)2+(y-3)2=9，
若符合题意的直线恰有2 条，则上述两圆相交，
而|MN|=❑√(2−a)
2+9，
所以1<|MN|<5，即1<❑√(2−a)
2+9<5，
可得1<(2-a)2+9<25，
所以-4<2-a<4，解得-2<a<6.
7.(2025·安庆模拟)已知点P 在圆(x−5
2)
2
+y2=9
4 上，A(-2，0)，M(1，1)，则1
3|PA|+|PM|的最小值为( )
A.1
B.❑√2
C.2❑√2
D.❑√10
【答案】B
【解析】设P(x，y)，B(a，0)，1
3|PA|=|PB|，
则1
3
❑√( x +2)
2+ y
2=❑√( x−a)
2+ y
2，
整理得x2+y2-9a+2
4
x+9a
2−4
8
=0，
已知点P 的轨迹方程展开整理得x2+y2-5x+4=0，
则{
9a+2
4
=5，
9a
2−4
8
= 4，
解得a=2，所以B(2，0).
所以1
3|PA|+|PM|=|PB|+|PM|≥|MB|=❑√(2−1)
2+(0−1)
2=❑√2，
当P 在线段BM 上时等号成立，所以1
3|PA|+|PM|的最小值为❑√2.
8.(2025·沈阳模拟)函数f(x)=
❑√2
2 x+❑√x
2−8 x +25(0≤x≤4)的最小值为( )
A.4
B.7 ❑√3
3
C.7 ❑√2
2
D.5
【答案】C
【解析】因为f(x)=
❑√2
2 x+❑√( x−4)
2+(3−0)
2，
当x=0 时，f(0)=5；
当0<x≤4 时，如图所示.
设P(x，3)，C(0，3)，A(4，0)，∠PCB=45°，PB⊥CB 于点B，
则f(x)=|PC|sin∠PCB+|PA|=|PB|+|PA|，
由图可知，|PB|+ |PA|的最小值为点A 到直线BC 的距离d.
易知直线BC 的方程为y=x+3，
即x-y+3=0，
所以d=
|4−0+3|
❑√1
2+(−1)
2=7 ❑√2
2
<5，
故f(x)的最小值为7 ❑√2
2
.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·潍坊模拟)已知点P(2，2)，圆C：x2+y2=18，则( )
A.点P 在圆C 内
B.点P 与圆C 上的点之间的最大距离为6❑√2
C.以点P 为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0
D.过点P 的直线被圆C 截得弦长的最小值为❑√10
【答案】AC
【解析】对于A，因为22+22=8<18，所以点P 在圆C 内，故A 正确；
对于B，由|PC|=❑√2
2+2
2=2❑√2，圆C 的半径r=3❑√2，
知点P 与圆C 上的点之间的最大距离为2❑√2+3❑√2=5❑√2，故B 错误；
对于C，由kPC=2−0
2−0=1，
可知以点P 为中点的弦所在直线的斜率为k=-1，故以点P 为中点的弦所在直线的方程为y-2=-(x-2)，即
x+y-4=0，故C 正确；
对于D，由圆的性质可知，当PC 与过点P 的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为2❑√r
2−| PC |
2=2
❑√18−8=2❑√10，故D 错误.
10.下列说法错误的是( )
A.“a=-1”是“直线x-ay+3=0 与直线ax-y+1=0 互相垂直”的充要条件
B.直线xcos α-y+3=0 的倾斜角θ 的取值范围是[0，π
4]∪[
3 π
4 ，π)
C.若圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0 与圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0 有且只有一个公共点，则a=34
D.若直线l 过点M(-2，3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x+y=1
【答案】ACD
【解析】对于A，当a=-1 时，直线x+y+3=0 与直线-x-y+1=0 互相平行，
即“a=-1”不是“直线x-ay+3=0 与直线ax-y+1=0 互相垂直”的充要条件，所以A 错误；
对于B， 由直线xcos α-y+3=0 的倾斜角θ 满足tan θ=cos α∈[-1，1]，
因为θ∈[0，π)，可得0≤θ≤π
4 或3 π
4 ≤θ<π，所以θ∈[0，π
4]∪[
3 π
4 ，π)，所以B 正确；
对于C，圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0 的圆心为C1(3，-2)，半径r=1，
圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0 的圆心为C2(7，1)，半径R=❑√50−a(a<50)，
因为两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则❑√(3−7)
2+(−2−1)
2=5=1+❑√50−a 或❑√(3−7)
2+(−2−1)
2=5=|1-❑√50−a|，
解得a=34 或a=14，所以C 错误；
对于D，由直线l 过点M(-2，3)，
当直线l 在两坐标轴上的截距相等，且不为0 时，设直线l 的方程为x
a+ y
a =1，
可得−2
a +3
a=1，解得a=1，此时直线方程为x+y=1；
当直线l 过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l 的方程为y=-3
2x，所以D 错误.
11.(2025·渭南质检)设直线系M：xcos θ+(y-2)sin θ=3(0≤θ<2π)，则下列四个命题为真命题的是( )
A.M 中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D.对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
【答案】BD
【解析】对于A，令{
x =3cosθ，
y =2+3sinθ，
消去θ 可得x2+(y-2)2=9，圆心(0，2)到直线系M 中每条直线的距离d=
3
❑√co s
2θ+ sin
2θ =3=r，
故直线系M 表示圆x2+(y-2)2=9 的切线的集合，故A 错误；
对于B，对任意θ，存在定点(0，2)不在直线系M 中的任一条直线上，故B 正确；
对于C，直线系M 中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边
△ABC 和等边△ADE，故C 错误；
对于D，由于圆x2+(y-2)2=9 的外切正n 边形(n≥3)，其所有边均在直线系M 中的直线上，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·安徽A10 联盟质检)已知圆C：x2+y2-mx-4=0 上存在两点关于直线x-y-3=0 对称，则圆C 的半径为
.
【答案】❑√13
【解析】因为圆上存在两点关于直线x-y-3=0 对称，所以直线x-y-3=0 过圆心(
m
2 ，0)，
从而m
2 -3=0，解得m=6，
则圆C 的方程为(x-3)2+y2=13，
故圆C 的半径为❑√13.
13.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线l：mx+ny=3(m>0，n>0)，若直线l 被圆x2+y2-
2x-2y=0 所截得的弦长为2❑√2，则mn 的最大值为 .
【答案】9
4
【解析】因为圆(x-1)2+(y-1)2=2 的半径r=❑√2，
圆心(1，1)，直线l 被圆所截得的弦长为2❑√2，
所以圆心(1，1)在直线mx+ny=3 上，即m+n=3，
又因为mn≤(
m+n
2 )
2
=9
4 ，
当且仅当m=n=3
2时，等号成立.
所以mn 的最大值为9
4 .
14.(2025·齐鲁名校联考)已知三个正数r1，r2，r3构成公比为q(q>1)的等比数列，圆Ci：( x−ri)
2+y2=ri
2
(i=1，2，3)，过圆C3上一点P 分别作圆C1，C2的切线，切点分别为Q，R，若|PR|
|PQ|=
❑√3
2 ，则q= .
【答案】3
【解析】不妨设r1=1，r2=q，r3=q2，
则三个圆心分别为C1(1，0)，C2(q，0)，C3(q2，0)，
根据勾股定理得|PQ|
2=|PC1|
2-1，|PR|
2=|PC2|
2-q2，
所以|PR|
2
|PQ|
2=|PC2|
2−q
2
|PC1|
2−1
=3
4 ，
因为点P 在圆( x−q
2)
2+y2 =q4上，
故可设点P(q2cos θ+q2，q2sin θ)，其中θ≠π，
则(q
2cosθ+q
2−q)
2+(q
2sinθ)
2−q
2
(q
2cosθ+q
2−1)
2+(q
2sinθ)
2−1 =3
4 ，
整理得2q
3(q−1)(1+cosθ)
2q
2(q
2−1)(1+cosθ)=3
4 ，
即q
q+1=3
4 ，解得q=3.
【拓展训练】(每小题6 分，共12 分)
15.(多选)(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1 与x 轴分别交
于A，B 两点，P 为☉O 上的动点，以AP 为直径的☉E 的位置随P 点位置的变化而变化，当P 点逆时针转
过一周时，☉E 扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是( )
A.若∠PAB=π
6 ，则☉E 与x 轴公共点的坐标为(-1，0)和(
1
2 ，0)
B.图乙中M 内的点到y 轴距离的最大值为1.25
C.若以O 为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为
❑√
❑√2+2❑√5
2
D.图乙中M 与y 轴的公共部分上的点到x 轴距离的最大值为
❑√2+2❑√5
2
【答案】ABD
【解析】对于A，设☉E 与x 轴交于A，A'，连接PA'，PB，
∵AP 为☉E 的直径，∴PA'⊥x 轴，
由题意可知|AB|=2，∠PAB=π
6 ，∴|AP|=❑√3，
∴|AA'|=3
2，∴☉E 与x 轴公共点的坐标为A(-1，0)和A'(
1
2 ，0)，故A 正确；
对于B，设∠PAB=θ，θ∈[0，π
2)，
如图，过E 作CD⊥y 轴于点D，延长DE 交☉E 于点C，过点E 作EF⊥x 轴于点F，
∵∠APB=π
2 ，|AB|=2，∴|AP|=2cos θ，
∴|CE|=|AE|=1
2|AP|=cos θ，∴|AF|=cos2θ，
∴|ED|=|FO|=1-|AF|=1-cos2θ，
∴|CD|=1-cos2θ+cos θ，
令cos θ=t∈(0，1]，
∴|CD|=-t2+t+1=-(t −1
2)
2
+5
4 ，
∴|CD|max=5
4 =1.25，即M 内的点到y 轴距离的最大值为1.25，故B 正确；
对于C，如图，连接OE 并延长交☉E 于点G，
由垂径定理得OG⊥AP，G 就是☉E 上到原点O 距离最远的点，
下面我们求|OG|的最大值：
设∠PAB=θ，θ∈[0，π
2)，
∵|GE|=1
2|AP|=cos θ，|OE|=sin θ，
∴|OG|=|GE|+|OE|=cos θ+sin θ=❑√2sin(θ+ π
4)，∴当θ=π
4 时，|OG|取得最大值❑√2，即满足条件的圆的半径
最小为❑√2，故C 错误；
对于D，如图，
设☉E 与y 轴交于Q 点(图中为上方的点)，连接QA，则QA⊥QP，
反面想，对于y 轴正半轴上一点Q 作l⊥QA，若l 与☉O 有公共点即为P 点，当Q 离x 轴最远时，l 与☉O
有且仅有一个公共点P.设Q(0，y0)(y0>0)，
则lAQ：y=y0x+y0，l：y=- 1
y0
x+y0，
原点到l 的距离为|−y0
2|
❑√1+ y0
2=1，
解得y0=
❑√2+2❑√5
2
，
即M 与y 轴的公共部分上的点到x 轴距离的最大值为
❑√2+2❑√5
2
，故D 正确.
16.(多选)(2025·大庆模拟)过点P(-1，0)向曲线Cn：x2-2nx+y2=0(n∈N*)引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为
Pn(xn，yn)，则下列结论正确的是( )
A.
2025
Σ
i=1
ln xi=-ln 2 026
B.yn=2n ❑√n+1
n+1
C.x1·x3·x5·…·x2n-1<❑√
1−xn
1+ xn
D. xn
yn
>sin❑√
1−xn
1+ xn
【答案】ACD
【解析】由题意，得直线ln：y=kn(x+1)，kn>0，
联立方程{
y =kn( x +1)，
x
2−2nx + y
2=0，
可得(1+kn
2)x2+(2kn
2-2n)x+kn
2=0，
则Δ=(2kn
2−2n)
2-4kn
2(1+kn
2)=0，
解得kn=
n
❑√2n+1(负值舍去)，
所以2xn=2n−2kn
2
1+kn
2
，xn= n
n+1，yn=kn(xn+1)=n ❑√2n+1
n+1
，故B 错误；
所以
2025
Σ
i=1
ln xi=
2025
Σ
i=1
ln i
i+1=ln1
2+ln2
3+…+ln2 025
2 026=ln
1
2 026=-ln 2 026，故A 正确；
因为❑√
1−xn
1+ xn
=❑
√
1−
n
n+1
1+
n
n+1
=❑√
1
2n+1，
又因为4n2>4n2-1，
则2n−1
4 n
2 < 2n−1
4 n
2−1=
1
2n+1，
即(2n−1)
2
4 n
2
<2n−1
2n+1 ，所以2n−1
2n
<❑√
2n−1
2n+1 ，
则x1·x3·x5·…·x2n-1=1
2×3
4 ×…×2n−1
2n
<❑√
1
3 × 3
5 ×…× 2n−1
2n+1 =❑√
1
2n+1=❑√
1−xn
1+ xn
，故C 正确；
因为
xn
yn
= n
n+1×
n+1
n ❑√2n+1=❑√
1
2n+1，
所以
xn
yn
=❑√
1−xn
1+ xn
，且0<❑√
1
2n+1<1，
令t= xn
yn
，设函数f(t)=t-sin t，t∈(0，1)，
则f'(t)=1-cos t>0，所以函数f(t)在(0，1)上单调递增，则f(t)>f(0)=0，即t>sin t，
所以
xn
yn
>sin❑√
1−xn
1+ xn
，故D 正确.
