专题五 解析几何
第2 练 圆锥曲线的方程与性质专项训练
一、单选题：
1.(2025·福建省福州市·模拟)设椭圆C ：x
2
49 + y
2
24 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在
椭圆上，A为∠F1 P F2
的平分线与x轴的交点.若⃗P F1⋅⃗P F2=0，则| PA |=( )
A. 24
7
B. 24
√2
7
C. 32
7
D. 32
√2
7
【答案】B
【解析】解：由题意可得：a=7，b=2
√6，c =5，
则| P F1|+| P F2|=14，| F1 F2|=10，①
又⃗P F1⋅⃗P F2=0，
则P F1⊥P F2，
则| P F1|
2+| P F2|
2=| F1 F2|
2，②
联立①②可得：| P F1|| P F2|= 48，
又S△AP F1+ S△AP F2= S△P F1F2
，
则1
2 ×
√2
2 | PA |·(| P F1|+|P F2|)= 1
2 | P F1|| P F2|，
即| PA |= 24
√2
7
．故选：B．
2.(2025·重庆市·模拟)已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，准线为l , P为C上位于第一象限的
点，PQ垂直l于点Q , ΔPQF为等边三角形，过PQ的中点M作直线MR //QF，交x轴于
R点，则直线MR的方程为( )
A. x +
√3 y −14 =0
B. x +
√3 y −10=0
C. √3 x + y −6
√3=0
D. √3 x + y −2
√3=0
【答案】C
【解析】解：设抛物线C的准线l与x轴的焦点为E，此时E(−2,0)，
因为抛物线C的焦点F(2,0),△PQF为等边三角形，
所以PQ// x轴，所以∠PQF =∠EFQ =60
∘，
因为| EF |= 4，所以|QF |=8,|QE|= 4
√3，
所以| PQ|=| PF |=8，则点P的x p=8−2=6，
带入抛物线C方程中得y p= 4
√3，
所以P(6,4
√3),Q(−2,4
√3)，
又因为点M是PQ中点，
所以M (2,4
√3)，
因为MR //QF，所以∠ERM =∠EFQ =60
∘,
∴直线MR的倾斜角为120
∘，
所以k MR= tan120
∘=−
√3，
可得直线MR的方程为y −4
√3=−
√3( x−2)，
即 √3 x + y −6
√3=0．
故选：C．
3.(2025·甘肃省白银市·模拟)设F1，F2分别是双曲线y
2−x
2
3 =1的上、下焦点，双曲线上的
点P满足3|P F1|=5|P F2|，则△P F1 F2
的面积等于( )
A. 12
√3
B. 12
C. 6
√3
D. 6
【答案】D
【解析】解：由题意得，| F1 F2|=2c = 4，| P F1|−| P F2|=2a=2，且
3|P F1|=5|P F2|，
则| P F1|=5，| P F2|=3，
所以| P F1|
2−| P F2|
2=| F1 F2|
2，
所以△P F1 F2为直角三角形，所以S△P F1 F2= 1
2 ×3×4 =6．
故选D．
二、多选题：
4．（25-26 高三上·云南昆明·期中）已知曲线
的图象可由以坐标原点为
中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线
绕原点旋
转得到曲线
，则（ ）
A．直线
是曲线
的一条渐近线
B．
的实轴长为
C．
的离心率为2
D．当
时，直线
与
有两个交点
【答案】AD
【详解】曲线
的两条渐近线为：
和
，故A 选项正确；
易知两条渐近线夹角为
，故曲线
的一个对称轴为
，
联立方程
得
，
，
故曲线
的两个顶点为：
，
，
易得曲线
的实轴长为
，故B 选项错误；
由B 选项知：两条渐近线夹角为
，
易知将
顺时针旋转
得到
，
此时的渐近线倾斜角为
，由渐近线方程得：
，
而离心率
，故C 选项错误；
由
，
，
可得：
，
，
故双曲线
的方程为：
.
联立直线与曲线
消去
得：
，
若使直线
与
有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可，
即判别式大于零：
，
解得：
或
，
故当
时，直线
与
有两个交点，故D 正确.
故选：AD.
5.(2025·福建省·模拟)已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于
A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，则下列说法一定正确的是( )
A. | AB|≥8
B. x1 x2= 4 , y1 y2=−16
C. 以AF为直径的圆与直线x =−2相切
D. 若点P(−2,0)，则有k AP+ k BP=0
【答案】ABD
【解析】解：对于A，由抛物线的性质，可知当AB⊥x轴时，焦点弦| AB|最短，
把x = p
2 =2代入y
2=8 x，解得y =± 4，
此时| AB|=8，所以| AB|≥8，故A 正确；
对于B，设直线l: x =my +2，代入y
2=8 x中，整理得：y
2−8my −16=0，
则Δ>0，且y1+ y2=8m, y1 y2=−16，
则x1 x2= y1
2
8 ⋅y2
2
8 = (−16)
2
64
= 4，故B 正确；
对于C，取AF的中点为E，分别过点A , E作准线的垂线，垂足分别为A1, E1，
设准线交x轴于点P，则可得直角梯形FP A1 A，E E1为其中位线，
则
，
即以AF为直径的圆与准线x =−2相离，故C 错误；
对于D，由上分析，k AP+k BP=
y1
x1+2 +
y2
x2+2 = y1( x2+2)+ y2( x1+2)
( x1+2)( x2+2)
= y1(m y2+ 4)+ y2(m y1+ 4)
( x1+2)( x2+2)
= 2m y1 y2+ 4( y1+ y2)
( x1+2)( x2+2)
= −32m+32m
( x1+2)( x2+2) =0，故D 正确．
故选：ABD．
6.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知F(2,0)是抛物线C : y
2=2 px的焦点，M是C上的点，O
为坐标原点．则( )
A. p= 4 B. | MF |≥|OF |
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当∠OFM =120
∘时，▵OFM的面积为
2
√3
【答案】ABC
【解析】解：因为F(2,0)是抛物线C : y
2=2 px的焦点，
所以p
2 =2，即得p= 4，A选项正确；
设M (x0, y0)在y
2=8 x上，所以x0≥0，
所以|MF|= x0+ p
2 ≥p
2 =|OF|，B选项正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|= x0+2等于M与C的准线的距离，
所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；
当∠OFM =120
∘时，x0>2,
由于抛物线的对称性，不妨设M位于x轴上方，
则
y0
x0−2 = tan 60
∘=
√3，且y0
2=8 x0
，y0>0，
所以
√3 y0
2−8 y0−16
√3=0，解得y0= 4
√3或y0=−4
√3
3
(舍)，
所以▵OFM的面积为S▵OFM = 1
2|OF|×|y0|= 4
√3，D选项错误．故选：ABC．
7.(2025·广西壮族自治区梧州市·模拟)如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出
发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C : x
2
4 + y
2=1，其左、
右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直
的直线与椭圆的长轴交于点M，∠F1 PM =∠F2 PM，点Q(0,
√6)，给出下列四个结论，
正确的是( )
A. ▵P F1 F2面积的最大值为 √3
B. | PQ|+|P F2|的最大值为7
C. 若| PM |=|M F2|，则|P F1|=3|P F2|
D. 若F2 R⊥l，垂足为R(x0, y0)，则x0
2+ y0
2=5
【答案】ABC
【解析】解：由椭圆方程可知：a=2,b=1,c =
√a
2−b
2=
√3
，
对于A：当点P为短轴顶点时，▵P F1 F2面积的最大，最大值为1
2 ×2
√3×1=
√3，故A 正
确；
对于B：因为| P F1|+| P F2|=2a= 4，则| P F2|= 4−| P F1|，
可得| PQ|+| P F2|= 4 +| PQ|−| P F1|⩽4+| F1Q|= 4 +
√c
2+6=7，
当且仅当P为线段Q F1与椭圆的交点时，取到最大，所以| PQ|+| P F2|的最大值为7，
故B 正确；
对于C：由椭圆的光学性质，得点P与l垂直的直线为角∠F1 P F2的角平分线，
则S▵P F1 M
S▵P F2 M
=| F1 M |
| F2 M | =| F1 P|
| F2 P|
，
设| P F1|
| P F2| =| F1 M |
| F2 M | =k，则| P F1|=k | P F2|,| F1 M |=k | F2 M |，
可得| M F2|= 2
√3
1+ k ,| M F1|= 2
√3k
1+k ,| F1 P|= 4 k
1+ k ,| F2 P|=
4
1+ k
，
则cos∠F1 PM =cos∠MP F2，
即( 4 k
1+k )
2
+( 2
√3
1+ k )
2
−( 2
√3k
1+ k )
2
2⋅4 k
1+ k ⋅2
√3
1+k
=
(
4
1+ k )
2
+( 2
√3
1+k )
2
−( 2
√3
1+ k )
2
2⋅
4
1+k ⋅2
√3
1+ k
，
整理可得k
2−4 k +3=0，解得k =1或k =3，
当k =1时，| P F1|
| P F2| =| F1 M |
| F2 M | =1，M与O重合，不合题意，
所以k =3，即| P F1|=3| P F2|，故C 正确；
对于D：如图，延长F2 R , F1 P交于点G，
则在▵P F2G中，PR⊥G F2,∠F2 PR =∠GPR，
则|P F2|=| PG|且R为F2G中点，连OR，
在▵F1 F2G中，|∨|= 1
2 | F1G|= 1
2 (| P F1|+| PG|)= 1
2 (| P F1|+| P F2|)=a=2，
则点R在以原点为圆心，2为半径的圆上，即x0
2+ y0
2= 4，故D 错误．
故选：ABC．
三、填空题：
8.(2025·陕西省·模拟)已知点M是抛物线y
2= 4 x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆
C :( x −4)
2+( y −1)
2=1上，则| MA |+| MF |的最小值为 ．
【答案】4
【解析】解：抛物线y
2= 4 x的准线方程为：x =−1，
过点M作MN ⊥准线，垂足为N，
∵点M是抛物线y
2= 4 x的一点，F为抛物线的焦点，
，
，
∵A在圆C：( x −4)
2+( y −1)
2=1，圆心C(4,1)，半径r =1，
∴当N，M，C三点共线时，| MA |+| MF |最小，
∴(| MA |+| MF |)min=(| MA |+| MN |)min=|CN |−r =5−1= 4，
．
故答案为：4．
9.(2025·贵州省·模拟)设抛物线C : y
2= 4 x上一点P到直线l1: x =−1的距离为d1，到直线
l2:3 x + 4 y +7 =0的距离为d2，则d1+d2的最小值为 ．
【答案】2
【解析】解：如图，
抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F(1,0)，
则点P到直线x =−1的距离为| PF |，
作FM垂直l2:3 x + 4 y +7 =0于点M，
所以d1+d2
的最小值为| MF |=|3+7|
√3
2+ 4
2 =2．
故答案为：2．
10．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座带孔的横杆两条互相垂直的
､
､
空槽两个可动滑块
､
组成的一种绘图工具，横杆的一端
上装有铅笔，假设两条互相垂
直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块
固定在带孔的横杆上，令滑块
在中一条空
槽上滑动，滑块
在另一条空槽上滑动，铅笔
随之运动就能画出椭圆.当
之间的距离
为
厘米时，若需要画出一个离心率为
的椭圆，则
之间的距离为 .厘米.
【答案】21
【详解】依题意，当滑块
在两条空槽的交点处时，
长为椭圆的短半轴长
，
当滑块
在两条空槽的交点处时，
长为椭圆的长半轴长
，则
，
由椭圆的离心率为
，得
，
解得
，即
，解得
，
所以
之间的距离为21 厘米.
故答案为：21
11.(2025·四川省成都市·模拟)双曲线x
2
a
2 −y
2
3 =1(a>0)的两个焦点分别是F1
与F2
，焦距为
4；M是双曲线上的一点，且|M F1|=3，则▵M F1 F2
的面积是 ．
【答案】6
【解析】解：由双曲线x
2
a
2 −y
2
3 =1(a>0)的焦距为4，得a
2+3=2
2，解得a=1，
由|M F1|=3，||M F2|−|M F1||=2，解得| M F2|=1或| M F2|=5，
当| M F2|=1时，点M为双曲线离焦点F2较近的顶点，与F1, F2共线，不符合要求，
因此| M F2|=5，| F1 F2|
2+| M F1|
2=25=| M F2|
2，▵M F1 F2
为直角三角形，
所以▵M F1 F2的面积是1
2 | F1 F2|·| M F1|=6．
故答案为：6．
四、解答题：
12.(2025·吉林省长春市·模拟)已知F1
，F2
分别是椭圆Ω: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦
点，B，D分别是椭圆Ω的左、右顶点，点A，C在椭圆Ω上，且不与B , D两点重合．
(1)当四边形ABCD为平行四边形时，请写出点A，C的位置关系(说明理由即可，不需证
明)．
(2)在(1)的条件下，若|A F2|+|C F2|=6，且k AD⋅kCD=−1
2
．
(i)求椭圆Ω的方程；
(ii)若点E在直线x = 4上，且AD =2 DE，AD⊥DE，求▵ABE的面积．
【答案】(1)点A，C关于原点对称
(1)(i) x
2
9 + 2 y
2
9 =1
(ii)5
【解析】解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，B，D分别是椭圆Ω的左、右顶点，
则BD的中点为坐标原点，又点A，C在椭圆Ω上，
又因为椭圆Ω为中心对称图形，
所以点A，C关于原点对称；
(2)(i)由对称性可知|C F2|=|A F1|，
又|A F2|+|C F2|=6，
所以|A F2|+|A F1|=6，
由椭圆的定义可知2a=6，即a=3，
所以D(3,0)，
设A( x , y)( y ≠0)，则C(−x ,−y)，
因为点A在椭圆上，
所以x
2
9 + y
2
b
2 =1，
所以y
2=(1−x
2
9 )b
2，
又k AD⋅kCD=−1
2
，
所以0−y
3−x ⋅0+ y
3+ x =−1
2
，即
y
2
9−x
2 = 1
2
，
所以
1
9−x
2(1−x
2
9 )b
2= 1
2
，
解得b
2= 9
2
，
所以椭圆方程为x
2
9 + 2 y
2
9 =1；
(ii)如图，过点A作AH ⊥BD，垂足为H，直线x = 4与x轴交于点M，
因为AD⊥DE，
所以∠ADH +∠EDM =90°，
又∠ADH +∠HAD =90°，
所以∠HAD =∠EDM，
所以Rt ▵AHD∽Rt ▵DME，
所以AD
DE = AH
DM = HD
ME
，
又AD =2 DE，M (4,0)，D(3,0)，
所以| AH |=2| DM |=2，| HD|=2| ME|，
所以y A =2，
又点A在椭圆上，
所以x A
2
9 + 2×2
2
9
=1，解得x A =±1，
不妨取A(1,2)，则| HD|=2，
所以| ME|=1，
又B(−3,0)，
所以S▵ABE= S▵ABH + S AHME−S▵MBE
；
由对称性，可得A(1,−2)，E(4 ,−1)，B(−3,0)或A(−1,−2)，E(4 ,−2)，B(−3,0)
或A(−1,2)，E(4,2)，B(−3,0)时，同理可得S▵ABE=5，
综上可得S▵ABE=5．
13．（2025·江苏宿迁·模拟）已知
，
，二者相交于
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)记
在第一象限交于
，第二象限交于
，第三象限于
，第四象限交于
．
（i）如图1，过点
的直线交
于
，过点
的直线
交
于
，斜率分别为
，
，
的中点分别为
，
．求证：当
时，
(所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，
为
上的动点，连接
交
于
，连接
交
于
．连接
交
于
，连接
交
于
，求证：
轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
【答案】(1)
，
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，轨迹方程为
【详解】（1）由题意可得
，且
，即
，
故
，解得
，则
，
故
，
；
（2）（i）由题意可得
，
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
由
，故
，故
；
（ii）设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，
则
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
设
，则
，
，
故有
，
即有
，
化简可得
，故
轨迹为双曲线，
且轨迹方程为
.
