专题五 解析几何
第1 练 直线与圆专项训练
一、单选题：
1.(2025·湖南省邵阳市·期末)“m=1”是“直线l1: x +(m+1) y +1=0与直线
l2:(m+1)x−my −1=0垂直”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：若直线l1: x +(m+1) y +1=0与直线l2:(m+1)x−my −1=0垂直，
则1×(m+1)+(m+1)×(−m)=0，解得m=±1，
所以“m=1”是“直线l1: x +(m+1) y +1=0与直线l2:(m+1)x−my −1=0垂直”的充分
不必要条件．
故选：A．
2.(2025·广东省·期中)已知两条直线l1:ax + 4 y −1=0，l2: x +ay +2=0，则“a=2”是“
l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：当“l1//l2”时，a
2−4 =0 且2a+1≠0，即a=±2，
因此当a=2时，可以推出l1//l2；当l1//l2时，不一定有a=2，
所以“a=2”是“l1//l2”的充分不必要条件．
3.(2025·湖南省永州市·期末)已知点Q为直线l: x +2 y +1=0上的动点，点P满足
QP⃗=(1,−3)，记点P的轨迹为E，则( )
A. E是一个半径为 √5的圆
B. E是一条与l相交的直线
C. E上的点到l的距离均为 √5
D. E是两条平行直线
【答案】C
【解析】解：设P( x , y)，Q(m,n)，
则QP⃗=( x−m, y −n)=(1,−3)，
∴m= x−1，n= y +3，
∵Q( x−1, y +3)在x +2 y +1=0上，
∴把点Q( x−1, y +3)代入直线x +2 y +1=0，
可得方程x +2 y +6=0，
∴轨迹E为直线，且与直线l平行，
∴E上的点到l的距离d = |6−1|
√1
2+2
2 =
√5，
故A，B，D 错误．
故选C．
4.(2025·四川省南充市·模拟)圆x
2+ y
2−2 x−8 y +13=0的圆心到直线ax + y −1=0的距离
为1，则a=( )
A. −4
3
B. −3
4
C. √3
D. 2
【答案】A
【解析】解：圆x
2+ y
2−2 x−8 y +13=0，
即(x −1)
2+( y −4)
2= 4的圆心坐标为(1,4)，
故圆心到直线ax + y −1=0的距离d =|a+ 4−1|
√a
2+1
=1，
解得：a=−4
3
，
故选A．
5.(2025·山东省青岛市·模拟)已知点P在圆x
2+ y
2= π
2上运动，若过点P可以作曲线
y =sin x(−π ≤x ≤π )的切线，则点P的轨迹长度是( )
A. π
2
B. π
2
2
C. 3 π
2
D. 3 π
2
2
【答案】D
【解析】解：由正弦函数的值域范围为[−1,1]，可知道要想过点P做曲线y = sinx的切线，
P点的纵坐标的绝对值要大于等于1，否则不可能相切，
所以点P的轨迹为圆上满足1⩽| y |⩽π的部分，即从θ =−π
4
到θ = 5 π
4
的弧，
因此，点P的轨迹长度为| 5 π
4 + π
4 |π = 3 π
2
2
．
故选D．
6.(2025·重庆市·模拟)若直线l:2mx + y + 4 m=0与圆C : x
2+ y
2−8 y +12=0相切，则实数
m的值为( )
A. 3
8
B. −3
8
C. 3
4
D. −3
4
【答案】B
【解析】圆C : x
2+ y
2−8 y +12=0即x
2+( y −4)
2= 4的圆心坐标为(0,4)，半径为r =2，
若直线l:2mx + y + 4 m=0与圆C : x
2+ y
2−8 y +12=0相切，
则d =|4 m+ 4|
√4 m
2+1
=2，解得m=−3
8
．
故选：B．
7.(2025·湖北省黄冈市·模拟)已知圆( x −1)
2+( y −1)
2=9上的点P到直线3 x−4 y +7 =0的
距离为1，则满足条件的点P的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】解：( x −1)
2+( y −1)
2=9的圆心为(1,1)，半径为r =3，
圆心(1,1)到直线的距离为|3−4 +7|
5
= 6
5 < 1
2 r，
故P到直线3 x−4 y +7 =0的距离为1的点共有4个，
故选：D．
8.(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)若点A(−1
2 ,
√3
2 )关于直线y =kx对称的点在圆
( x−3)
2+ y
2= 4上，则k的值为( )
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
【答案】C
【解析】解：点A(−1
2 ,
√3
2 )在圆x
2+ y
2=1上，且A关于直线y =kx对称的点必然在圆
x
2+ y
2=1上，
因为联立圆x
2+ y
2=1与圆( x−3)
2+ y
2= 4，解得：{
x =1
y =0，
圆x
2+ y
2=1与圆( x−3)
2+ y
2= 4仅有唯一公共点B(1,0)，
因此对称点只能是点B，故k AB=
√3
2 −0
−1
2 −1
=−
√3
3
，
由垂直关系可得k =
√3．
故选：C．
二、多选题：
9.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)已知动点P(x0, y0)在曲线C :| x−y |+| x + y |=2上，原点
O在直线l: x0 x + y0 y = 4上的射影为点Q ,Q的轨迹称为“圆方曲线”，则( )
A. 曲线C所围成区域的面积为4
B. 直线l: x0 x + y0 y = 4与圆x
2+ y
2= 4相切
C. “圆方曲线”与曲线C无交点
D. “圆方曲线”的周长为8 π
【答案】AC
【解析】解：对于选项A：因为| x−y |+| x + y |=2，
当x−y ≥0, x + y ≥0时，x−y + x + y =2，即x =1；
当x−y ≥0, x + y ≤0时，x−y −x−y =2，即y =−1；
当x−y ≤0, x + y ≥0时，y −x + x + y =2，即y =1；
当x−y ≤0, x + y ≤0时，y −x−x−y =2，即x =−1；
画出图象为：
其面积为2×2= 4，故A 正确；
对于选项B：
圆心(0,0)到直线x0 x + y0 y = 4的距离为：d =
4
√x0
2+ y0
2
，
若直线l与圆相切，则满足d =
4
√x0
2+ y0
2 =2，则x0
2+ y0
2= 4，
而点P(x0, y0)在曲线C :| x−y |+| x + y |=2上，
根据曲线C的图象可知：x0
2+ y0
2≤1+1=2，
所以不满足x0
2+ y0
2= 4，故B 错误；
对于选项C：
因为原点O在直线l: x0 x + y0 y = 4上的射影为点Q，
所以直线OQ与直线l垂直，
所以|OQ|为原点到直线l的距离，
所以|OQ|=
4
√x0
2+ y0
2
，
因为x0
2+ y0
2≤2，所以|OQ|=
4
√x0
2+ y0
2 ⩾2
√2>2，
所以“圆方曲线”与曲线C无交点，故C 正确；
对于选项D：
因为原点O在直线l: x0 x + y0 y = 4 ①上的射影为点Q，
所以直线OQ与直线l垂直，
所以直线OQ的方程为y0 x−x0 y =0 ②，
联立①②方程组，将方程①乘以x0
得x0
2 x + x0 y0 y = 4 x0
，
然后将方程②乘以y0
得y0
2 x−x0 y0 y =0，
两式相加可求得x = 4 x0
x0
2+ y0
2
，从而解得y = 4 y0
x0
2+ y0
2
，
所以直线OQ与直线l的交点坐标为Q(
4 x0
x0
2+ y0
2 , 4 y0
x0
2+ y0
2)
，
所以x
2+ y
2=(
4 x0
x0
2+ y0
2)
2
+(
4 y0
x0
2+ y0
2)
2
= 16 x0
2+16 y0
2
(x0
2+ y0
2)
2
=
16
x0
2+ y0
2，
当x0
2+ y0
2=1时，x
2+ y
2= 4
2，此时点Q的轨迹为圆，其周长为8 π．
然而1≤x0
2+ y0
2≤2，所以“圆方曲线”的周长应大于等于8 π，故D 错误．
故选：AC．
三、填空题：
10.(2025·广东惠州市·模拟)圆x
2+ y
2−4 x + 4 y + 4 =0与圆x
2+ y
2= 4的公共弦长为
．
【答案】2
√2
【解析】解：法一，两圆x
2+ y
2−4 x + 4 y + 4 =0与圆x
2+ y
2= 4均过点(2,0)，(0,−2)，
弦长为2
√2，
法二，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程x−y −2=0，
圆x
2+ y
2= 4的圆心(0,0)到直线x−y −2=0的距离d =|2|
√1
2+(−1)
2 =
√2，
故公共弦长为2
√r
2−d
2=2
√4−2=2
√2
．
故答案为：2
√2．
11.(2025·安徽省安庆市·模拟)已知圆C的方程为x
2+ y
2−2my −1=0(m∈R).当圆C的面
积最小时，直线3 x−4 y +a=0(a>0)与圆C相切，则a的值为 ．
【答案】5
【解析】解：依题意，圆C的方程为x
2+ y
2−2my −1=0(m∈R)，
所以x
2+( y −m)
2=m
2+1，所以圆心为C(0,m)，半径为 √m
2+1
，
所以当m=0时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为1，
此时圆心C(0,0)到直线3 x−4 y +a=0(a>0)的距离为|a|
5
=1,a=5或a=−5(舍去)．
故答案为：5．
12.(2025·山东省青岛市·模拟)若圆x
2+ y
2= 4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，则实数
a取值范围是 ．
【答案】(−2
√6,0)∪(0,2
√6)
【解析】解：根据题意，圆x
2+ y
2= 4的圆心为O(0,0)，半径r =2，
若圆x
2+ y
2= 4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，
则圆x
2+ y
2= 4与圆( x −a)
2+( y −1)
2=9有两个公共点，即两圆相交，
因为( x −a)
2+( y −1)
2=9的圆心为C(a,1)，半径R =3，
所以R−r <|OC |< R+r，即3−2<
√a
2+1<3+2
，
解得0<a
2<24，即−2
√6<a<0或0<a<2
√6，实数a的取值范围是
(−2
√6,0)∪(0,2
√6)．
故答案为：(−2
√6,0)∪(0,2
√6)．
13.阿波罗尼斯圆指的是“如果动点M 与两定点A，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点
M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”．下面我们来研究与此相关的一个问题：已知点P 为圆O：
x2＋y2＝4 上的动点，M(－4，0)，N(3，1)，则 |PM|＋2|PN|的最小值为________．
【答案】2❑√17
【解析】如图，假设存在这样的点Q(t，0)，使得|PM|
|PQ|＝2，则|PM|2＝4|PQ|2．
设点P(x，y)，则(x＋4)2＋y2＝4[(x－t)2＋y2]，
即x2＋y2＋8x＋16＝4(x2＋y2－2tx＋t2)，
整理得3x2＋3y2－(8t＋8)x＋4t2－16＝0．
因为点P 在圆O 上，故联立x2＋y2＝4，
解得t＝－1，所以点Q(－1，0)，
所以|PM|＋2|PN|＝2|PQ|＋2|PN|＝2(|PQ|＋|PN|)≥2|QN|
＝2❑√(3+1)
2+1
2＝2❑√17．
14．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知圆
，过圆
内的
点
的弦长的最大值为4，最小值为
.
(1)求圆
的方程.
(2)点
是
轴上异于点
的一个点，且对于圆
上任意一点
为定值.
（i）求点
的坐标；
（ii）点
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【详解】（1）圆的最长弦为直径，所以
，得
.
最短弦为与直径垂直的弦，可得
，又
，所以
，
故圆
的方程为
.
（2）（i）设
，则
，
因为点
在圆
上，所以将
代入上式，
得
，
因为该式的值为常数，所以
，解得
（
舍去），
所以点
的坐标为
.
（ii）由（i）可知
，所以
.
所以
，
易知，
，当点
在线段DA 上时等号成立，
故
的最小值为
，即原式的最小值为
.
