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专题五 解析几何 第2 讲 圆锥曲线的方程与性质 一、考点透析 考点1 圆锥曲线的定义与方程 1．（2025·山东·模拟预测）在锐角三角形PMN 中， ， ，垂足为Q， ，则点P 的轨迹为（ ） A．长轴长为2，离心率为 的椭圆的一部分 B．长轴长为 ，离心率为 的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为 的双曲线的一部分 D．实轴长为 ，离心率为 的双曲线的一部分 2.如图，已知椭圆x 2 3 ＋y 2 2 ＝1 的焦点为F1，F2，点P 为椭圆上任意一点，过点F2 作 ∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q．过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N．若线段QN 的 中点为M，则点M 的轨迹方程为________________． 3.(2025·湖北省十堰市·模拟)设双曲线C1: x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的离心率为5 3 ，实轴长为 6，若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，则曲线C2的标准方程为( ) A. x 2 4 2 −y 2 3 2 =1 B. x 2 13 2 + y 2 5 2 =1 C. x 2 3 2 + y 2 4 2 =1 D. x 2 13 2 + y 2 12 2 =1 4.(2025·湖南省郴州市·模拟)双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1 ， F2，P是双曲线C右支上一点，且直线P F2的斜率为 √2，△P F1 F2是面积为2 √2的直角三 角形，则双曲线C的实半轴长为 ． 考点2 圆锥曲线的几何性质 1.(2025·河北省衡水市·模拟)已知椭圆x 2 16 + y 2 9 =1的左，右焦点为F1，F2，A，B分别为它 的左，右顶点，点P为椭圆上的动点( P不在x轴上)，下列选项正确的是( ) A. 存在点P使得∠F1 PF2= π 2 B. ▵P F1 F2的周长为8+2 √7 C. 直线PA与直线PB的斜率乘积为9 16 D. 1 |P F1| + 1 |P F2| 的最小值为1 2 2.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的焦距为4 √5，左、右 焦点分别为F1, F2，过点F1作斜率不为0的直线l与双曲线C的左、右支分别交于A ,B两点． 若▵AB F2的内切圆与直线l相切于点H，且| AH |=8，则双曲线C的渐近线方程为( ) A. x ± 4 y =0 B. 4 x ± y =0 C. 2 x ± y =0 D. x ±2 y =0 3.(2025·吉林省松原市·模拟)已知抛物线C : y 2= 4 x的焦点为F，点M ( x0, y0)在C上，若 ∠MOF = 45 ∘(O为坐标原点)，则( ) A. x0= 4 B. y0= 4 C. |MF|=5 D. cos∠OFM = 3 5 考点3 圆锥曲线的交汇问题 1.(2025·海南省·模拟)已知F是抛物线C : y 2=2 px( p>0)的焦点，双曲线 E: x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线C交于异于原点的A ,B两点，若 ∠AFB =120 ∘，则双曲线的渐近线方程是 ． 2.(2025·河北衡水·模拟)如图，已知直线l与抛物线y 2=2 px( p>0)交于A、B两点，且 OA ⊥OB，OD⊥AB于点D(1,1)． (1)求直线l的方程； (2)求▵OAB的面积． 3.(2025·陕西省咸阳市·模拟)已知圆F1:( x + 4) 2+ y 2=1，圆F2:( x−4) 2+ y 2=9.若动圆M 与圆F1外切，与圆F2内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若P为直线x =1与x轴的交点，Q为直线x =1上的另外一点，直线l过F2且与曲线C交于 A，B两点，求证： ①∠AP F2=∠BP F2； ②直线AQ，F2Q，BQ的斜率成等差数列． 二、跟踪练习 1.(2025·山西省·模拟)已知F1 ，F2 分别是椭圆C : x 2 a 2 + y 2 4 =1(a>2)的左、右焦点，以线段 F1 F2为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，直线P F1的斜率为1 2 ，则椭圆C的长轴长 等于( ) A. 3 B. 2 √5 C. 6 D. 2 √3+2 2.(2025·陕西省西安·模拟)已知抛物线C : y 2=2 px( p>0)的焦点为F，H (m,4)(m> p 2 )是 抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线x = p 2 相切于点T .若sin∠HFT = 3 5 ，则圆H的 标准方程为( ) A. ( x−4) 2+( y −4) 2=9 B. ( x−4) 2+( y −4) 2=16 C. ( x−2) 2+( y −4) 2= 4 D. ( x−3) 2+( y −4) 2=9 3.(2025·浙江省杭州市·模拟题)已知抛物线C : y 2=8 x的焦点为F，过F的直线l与交于 A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，则( ) A. C的准线方程为x =−2 B. 若| AF |=8，则x1=6 C. | AF |⋅|BF |的最大值为16 D. ∠AOB为钝角 4.(2025·江苏省·模拟)已知F1, F2分别是双曲线C : x 2−y 2 3 =1的左、右焦点，经过点F1且倾 斜角为钝角的直线l与C的两条渐近线分别交于A ,B两点，点P为C上第二象限内一点，则 ( ) A. 若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8，则E的方程为x 2 4 −y 2 12 =1 B. 若M (−2,2)，则|P F1|+| PM |的最小值是2 √5−2 C. 若▵P F1 F2内切圆的半径为1，则点P的坐标为(−2,3) D. 若线段AB的中垂线过点F2，则直线l的斜率为− √15 5 5.(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)已知椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左右焦点分别 为F1 、F2 ，圆O：x 2+ y 2=1与抛物线E：y 2=2 px( p>0)的准线相切，抛物线E的焦点与 椭圆C的右焦点重合，且Q为抛物线E与椭圆C的一个交点，若△F1Q F2的面积为2 √6 3 ， 则椭圆的离心率为 ． 6.(2025·山东省济宁市·模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：y 2 a 2 + x 2 b 2 =1(a>b>0)的右 顶点为点A(1,0)，上顶点为点B，离心率为2 √2 3 ． (1)求C的方程； (2)设点M是曲线C上位于第一象限的任意点． ( I )若OM⃗⋅AM⃗= 13 2 ，求点M的坐标； ( II )记点M关于原点O的对称点为M ′，求四边形AMB M ′的面积的最大值．
