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专题五 解析几何 第4 练 离心率的取值与范围问题专项训练 一、单选题： 1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 为F1，F2，若以F1 F2为直径的圆与以点P( √2, 1 2 )为圆心、3 2 为半径的圆相切于点Q，且 点Q在C上，则C的离心率为( ) A. √6 2 B. √6 C. √3 D. 3 2 2.(2025·全国·模拟)已知双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)虚轴的两个端点分别为B1 ，B2 ，左、 右焦点分别为F1，F2，若cos∠F1B1 F2=−5 13 ，则双曲线的离心率为( ) A. 3 √5 5 B. 3 2 C. √5 D. 5 3 3.(2025· 广东省茂名市· 月考) 已知椭圆C : x 2 9 + y 2 6 =1的左右焦点为F1､F2，双曲线 E: x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的渐近线与椭圆C交于第一象限点P，若|P F1|=2|P F2|，则E 的离心率为( ) A. √15 3 B. √21 3 C. √6 2 D. 4 3 4.(2025·吉林省松原市·模拟)如图，F1，F2是分别是双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的左､ 右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与▵P F1 F2三边所在的直线都相切，切点为A， B，C，若| PB|=2a，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. 2 C. √3 D. 3 5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)，直线：l1: y = √2 2 x， l2: y =− √2 2 x，点P在C上，过P作PM平行于l1交l2于点M，作PN平行于l2交l1于点N， 若MN的长度为定值，则C的离心率为( ) A. √2 4 B. 1 2 C. √2 2 D. √3 2 二、多选题： 6．（2025·河南·三模）已知曲线 是实轴、虚轴分别在直线 和直线 上 的双曲线，其焦点分别为 ，点 是 上的两个动点，则（ ） A． 的实轴长为 B． 的离心率为 C．若 ，则 的面积为8 D．若线段 的中点为 为坐标原点，则直线 的斜率之积为定值 7.(2025·云南省昆明市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左､右焦点分别为 F1, F2, A ,B为椭圆C上关于原点对称的两点，且|AB|=|F1 F2|，则( ) A. A F1⊥A F2 B. 四边形A F1B F2的周长为4 a C. 四边形A F1B F2的面积为b 2 D. 椭圆C的离心率的取值范围为[ √2 2 ,1) 三、填空题： 8.(2025·广东省惠州市·月考)设椭圆E: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左右焦点为F1 ，F2 ，右顶点 为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1 P F2=90°，∠PA F2= 45°则椭圆的离心率为 ． 9.(2025·江西省九江市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2， P是C上一点，线段P F1, P F2的中点分别是M , N .若四边形PMON是周长为6、面积为2 的矩形(O为坐标原点)，则C的离心率为 ． 10.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的右焦点F，过点F作 直线l交双曲线C左右两支于A ,B两点，且AB⃗=2BF⃗ ，过点F作直线l的垂线交双曲线C于 点M，若点A、M两点关于原点对称，则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题： 11.已知F1，F2是椭圆C：x 2 a 2＋y 2 b 2 ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原 点. （1）若△POF2为等边三角形，求C 的离心率； （2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 12.(2025·四川省乐山市·月考)已知A(2,3)和P(4,0)为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为12，求直线l的方程．
