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解密11
曲
的方程与性
圆锥
线
质
A 组 考点专练
一、选择题
1.【2020 北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ⊥l
于Q.则线段FQ 的垂直平分线( )
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
2.(多选题)【2020 新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是( )
A.若m＞n＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B.若m＝n＞0，则C 是圆，其半径为
C.若mn＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n＞0，则C 是两条直线
3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l 的斜率为且经过点F，直线l 与抛物线C 交于
A，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A.p＝4
B.DF＝FA
C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线上，且有PF1·PF2＝0，若点P 到
x 轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得
∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.【2020 北京卷】已知双曲线C：－＝1，则C 的右焦点的坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离
是__________.
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7.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P 是C 上一点，且F1P⊥F2P.若
△PF1F2的面积为4，则a＝________.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M 的
坐标为________.
三、解答题
9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的
“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的
相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.
(1)写出椭圆C2的方程；
(2)若在椭圆C2上存在两点M，N 关于直线y＝x＋1 对称，求实数b
的取值范围.
10.【2019 新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝，D 为直线y＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A，B.
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
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B 组 专题综合练
11.【2019 新课标Ⅱ卷】设F 为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与
圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点.若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )
A.
B. C.2
D.
12.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点，且离心率为，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF⊥x 轴，
圆F 的半径为PF.(1)求椭圆E 和圆F 的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F 交于A，B 两点，与椭圆E
交于C，D 两点，其中A，C 在第一象限，是否存在k 使|AC|＝|BD|？若存在，求l 的方程；若不存在，说明
理由.
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