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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（28）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，若 ，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因式分解得 ；可得 ，故集合 ；
因为 且 ，所以 ，解得 .所以 的取值范围是 .
故选：C
2．“ ，使 ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】当 时， 有解；
当 时，二次函数 开口向上，所以 有解；
当 时， 有解，则 ，解得 ；
综上可得 ；因为 真包含于 ，
所以“ ，使 ”的一个充分不必要条件是 .
故选：C.
3.已知向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，展开整理得 ，
由 得 ，即 ，
所以 ，即
所以 .
故选：C4．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线为 ，依题意， ，
所以 的离心率 .
故选：B
5．数列 满足 ，对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意令 ，所以 ，对比 ，可得 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
对于任意的 恒成立，即对于任意的 恒成立，
即对于任意的 恒成立，
显然当 增大时， 减小，此时 增大，所以 .
故选：A.
6.已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，即a的范围是 .
故选：B.
7. 是圆 上的动点， 是直线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径 .
因为 到直线 的距离 ，
当且仅当 时，等号成立，所以直线与该圆相离，所以 的最小值为 ，
故选C.
8.已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 是偶函数， 也是偶函数，且
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为偶函数，则 ，等式两边求导可得 ，①
因为函数 为偶函数，则 ，②
联立①②可得 ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为减函数，即函数 在 上为减函数，
故当 时， ，所以，函数 在 上为减函数，由 可得 ，
所以， ，整理可得 ，解得 或 .
故选：D.
二、多选题
9．已知复数 满足 ，复数 （ ，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）．
A．若 ，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B．复数 在复平面内对应点的轨迹是圆心为 ，半径为1的圆
C． 的最大值为3
D．若 的实部与虚部互为相反数，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可.
【解析】因为 时，复数 ，
所以 在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误；
因为复数 满足 ，所以复数 在复平面内对应点的轨迹是圆心为 ，半径为1的圆，B正确；
当复数 的点位于 时， 取最大值为3，C正确；
由于 ，若 的实部与虚部互为相反数，
则 ，即 ，D正确.
故选：BCD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数 越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C．随机变量 的方差 ，期望 ，则D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生
的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【解析】A：样本相关系数 的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；
B：该组数据共8个数据，又 ，
因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即 ，因此B正确；
C：因为 ，由方差 ，期望 ，可得 ，即C错误.
D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为 ，
因此方差为 ，即D正确.
故选：BD.
11．将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上只有一个零点
C． 在 上单调递增
D．点 是 图象的一个对称中心
【答案】BD
【解析】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，
可以得到 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，
可得到函数 的图象．
对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A选项错误；对于B选项， ， ， 解得 ，
只有一个零点，B选项正确；
对于C选项， ， ，而 在 上不单调，
故 在 上并不单调，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确．
故选：BD.
三、填空题
12．已知函数 的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，
则 _________．
【答案】3
【解析】由函数 ，令 ，解得 ，所以 ，即 ，
再令 ，解得 ，所以 ，即
所以 .
故答案：3.
13.在 的展开式中，含 项的系数是 ，若 ，则 等
于______．
【答案】
【解析】 的展开式前三项为 ，
的展开式前三项为 ，所以 的系数为 ， .
即 ，
令 ，得 ．
故答案：-1.
14．已知函数 的图象恒过定点 ，且函数 的图象在 处的切线也经过点 ，则
______．
【答案】
【解析】对函数 ，令 ，则 ，得 .
所以 .
函数 的定义域为 ， .
，所以 .
所以函数 的图象在 处的切线方程为 .
因为该切线过点 ，所以 ，解得 .
故答案： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在三棱锥 中,侧面 是全等的直角三角形, 是公共的斜边,且 ,另
一个侧面 是正三角形.
(1)证明： ；
(2)在线段 上是否存在一点 ,使 与平面 成 角？若存在,确定 的位置；若不存在,说明理由.
【解析】（1）证明：取 中点 ,连接 ,如图所示：
是正三角形, ,则 ,
,
平面 , 平面 ,
平面 .（6分）
（2）由（1）知 平面 ,平面 平面 平面 ,
以 为原点, 方向为 轴, 方向为 轴,
过 作垂直于平面 的线为 轴建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,所以 （8分）
不妨设 ,
,解得 ,
,
设 ,
则 ,（10分）
易知,平面 的一个法向量为 ,（11分）
与平面 成 角,
解得 ,故当 时, 与平面 成 角. （15分）
