文档文本内容
第03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数
的定义域为[-1,1]，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知函数
的定义域为
，对于
，则有
.
解得
.
因为函数
的定义域为
，所以对于
，有
.
正切函数
的周期是
，在
上单调递增，且
，
.
所以
，
.
解不等式
，可得
，即
。
；
解不等式
，可得
.
当
时，
；当
时，
.
综合前面两步，取
与
和
的公共部分.
与
的公共部分为
；
与
的公共部分为
.
所以函数
的定义域为
.
故选：B.
2．函数
的定义域与值域的交集为 .
【答案】
【详解】由
，解得
，
所以定义域为
.
由于
，所以
，
所以
的值域为
，
所以定义域与值域的交集为
.
故答案为：
3．函数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【详解】
，其中
，
则当
时，取最大值
.
故选：C
4．设
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
得，
．由
得，
．
于是
，
，
故当
时，
取最小值
．
故选：C．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数
在
上的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，且
值域为
，
所以
，则
.
故选：B.
6．已知函数
的最大值为
，最小值为
．函数
取最大
值时对应x 的集合为
【答案】
【详解】因为
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为2，此时
，则
，
，故
取最大值时对应x 的集合为
故答案为：
.
7．已知函数
在闭区间
上的最大值为7，最小值为3，则
.
【答案】
/
【详解】解：取
，解得
，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递减，
因为
在闭区间
上有最大值为7，最小值为3，
所以
，且
，
，
即
，解得
，
因为
，所以
，故
.
故答案为：
8．（多选）设
，函数
在区间
上的最小值为
，在区间
上的最小值为
，
当变化t 时，以下情形可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】考虑到函数的最小正周期为
，
对于B，若
，在区间
上
，则
；
在区间
上可以取得
，此时
，故B 正确；
对于C，同理，取
，
在区间
上的最小值可以为
，
由于
，所以在区间
上的最小值大于零，故
可能，故C 正确；
对于D，取
，显然
在区间
上的最小值可以为
，在区间
上的最小值可以小于
零，即
可能，故D 正确；
对于A，由以上BCD 中的取值范围可知，当
时，
，结合正弦函数的单调性可得必有
小
于零，故A 错误.
故选：BCD.
9．已知函数
，
在区间
上的最小值为
，则所有满足条件的
的积属
于区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，由
的最小值为
，得
，即
，
当
时，
的最小值
，则
，此时
，符合题意，因此
；
若
的最小值大于
，则
，且
，解得
，
余弦函数
在
上单调递减，因此存在唯一
，使得
，
因此
或
，所以所有满足条件的
的积属于区间
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到
进行分类是求解问题的关键.
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以
为周期的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于A，因
，而
，而
，故A 错误；
对于B，因
，则函数的最小正周期为
，故B 正确；
对于C，因为
，故C 正确；
对于D，因
为偶函数，则
，其最小正周期为
，故D 错误．
故选：BC．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数
是周期函数；②函数
是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确
B．①②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
【答案】C
【详解】对于①，设
，该函数的定义域为
，
因为
，
故函数
是周期函数，①对；
对于②，因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
若函数
是周期函数，设
为该函数的一个周期，
则存在非零整数
、
，使得
，
，可得
，所以，
，
因为
为无理数，而
为有理数，故等式
不成立，
所以函数
不是周期函数，②错.
故选：C.
12．设函数
.已知
，且
的最小值为
，则
.
【答案】8
【详解】由于
的最大值为1，结合
且
的最小值为
，
故函数的周期
，故
,
故答案为：8
13．已知
，
，则
．
【答案】
【详解】因为
，
，
则
故答案为：
.
04 三角函数的单调性
14．函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】函数
，
所以
，所以
，
所以函数
的单调递增区间是
，
故答案为：
.
15．设
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
在
上单调递增，
，即
.
故选：C.
16．函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【详解】令
，故
，
所以函数
的减区间为
，
因为
在
上为减函数，
故存在
，使得
，因为
，
所以
，所以
，故
，
.则
的最大值为
.
故选：B.
17．（四川省泸州市2024-2025 学年高一下学期期末统一考试数学试题）已知函数
在
上是增函数，则符合条件的整数
的值为 .
【答案】1
【详解】
在
上是增函数，需
，
时，
，
故
，解得
，
又
为整数，所以
.
故答案为：1
18．设
，
．若对任意
，均存在
，使得函数
在
是单
调函数，则
的取值可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由于这两个函数都是周期为
的函数，则下面只考虑在区间
上进行分析研究，
因为
在区间
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
而题意要求对任意
，均存在
，使得函数
在
是单调函数，
所以只需要
在区间
是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足
时取值，
故
，
根据余弦函数的单调性，若满足
，解得
，
若满足
，解得
，
若满足
，
无解，
故
必满足题意，而
，则ABC 错误；
故选：D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为
且是奇函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
的最小正周期为
，A 不是；
对于B，函数
是偶函数，B 不是；
对于C，函数
最小正周期为
且是奇函数，C 是；
对于D，
是偶函数，D 不是.
故选：C
20．已知
，且
，则
= .
【答案】
【详解】依题意，
，则
，
所以
.
故答案为：
21．已知函数
是奇函数，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
是奇函数，则
是偶函数，
所以
，即
，
故当
时，
，
故选：A．
22．若函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为
，且
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为
，
所以
的最小正周期
，又
，所以
，
所以
，则
，又
为奇函数且
，
所以
，所以
，
所以
的最小值为
．
故选：B．
06 三角函数的对称性
23．写出函数
的一个对称中心 ．
【答案】
（答案不唯一，
）
【详解】函数
中，令
，解得
，
取
，则该函数的一个对称中心为
.
故答案为：
24．若函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
的最小正周期的最小值为
B．
的最小正周期的最大值为
C．
的最小正周期的最小值为
D．
的最小正周期的最大值为
【答案】B
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，解得
.又
，所以
，
则
的最小正周期
，所以
的最小正周期的最大值为
.
故选：B
25．已知函数
，若f（x）在区间
上不单调，且曲线
的一个对称
中心是
，则ω 的最小值是（ ）
A．20
B．16
C．13
D．7
【答案】C
【详解】由条件可知，
，得
，
当
时，
，
由条件可知，
，得
，
，且
，
综上可知，
的最小值为13.
故选：C
26．已知函数
的图象关于直线
对称，则
的取值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】
，由题意可得
，
解得
，当
时，
.
故选：C
27．
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】A
【详解】设
的最小正周期为
，根据题意有
，
，
由正弦函数的对称性可知
，
即
，
又
在
上单调递增，则
，
∴
，则
，
∵
，∴
时，
，∴
，
当
时，
，
由正弦函数的单调性可知
.
故选：A
28．已知函数
的图象离原点最近的对称轴为
，若满足
，
则称
为“近轴函数”．若函数
是“近轴函数”，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
靠近原点的对称轴为
，则
，即
，
因为
，则其离原点最近的对称轴为
，要为近轴函数，则
．因为
，所以
时，
时，
，所以
或
解得
．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线
为函数
图象的一条对称轴，则满
足条件的一个
的取值为 ；若
在区间
上有零点，则
的最小值为 ．
【答案】 （答案不唯一） 4
【详解】因为直线
为函数
图象的一条对称轴，
所以
，解得
，
又
，所以取
（答案不唯一）；
若
在区间
上有零点，令
，解得
，
由
，故
且
,
又
且要求
的最小值，故
，所以
的最小值为
；
故答案为：（答案不唯一）；
30．（ 2025·上海·三模）函数
的零点个数为
【答案】3
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，
又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以
的零点个数为个.
故答案为：.
31．已知函数
，令
在区间
上恰有2 个零点
，则
.
【答案】
/
【详解】由函数
，且
，
因为
在区间
上恰有2 个零点
，
可得
在
上恰有2 个实数根，
即
在
上恰有2 个根
，
当
时，令
，
如图所示，画出
在
时的函数图象，
由图知
关于
对称，故
，即
，
解得
，且
，
因为
，
所以
.
故答案为：
.
32．设
为正整数.如果函数
在区间
内恰有2023 个零点，则
的值是
.
【答案】1349
【详解】令
，
，
由
解得
或
，
即
或
,
根据正弦函数的图象和性质可知，
在区间
内有
个解，
，
所以当
时，
在区间
内有2022 个零点，
又
在区间
内有一个解，
综上函数
在区间
内恰有2023 个零点，
故答案为：1349
33．已知函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求
的单调递增区间；
(2)若
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知
，
因为
的最小正周期为
，且
，所以
，
解得
，所以
，
令
，
解得
，
即
的单调递增区间为
．
（2）令
，得
，
当
时，
，
又
在区间
上恰有两个零点，即
有两解，
所以
，
解得
，即
的取值范围是
．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【详解】对于A，将函数
的图象向右平移
个单位长度得：
的图像，故A 错误；
对于B，将函数
的图象向左平移
个单位长度得：
的图像，故B 错误；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位长度得：
的图像，故C 错误；
对于D，将函数
的图象向左平移
个单位长度得：
的图像，故D 正确.
故选：D.
35．已知
，现将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，
若存在
，使得函数
与
图象的对称中心完全相同，则满足题意的
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
要使函数
与
图象的对称中心完全相同，
则
需为奇函数，
所以
，
，即解得
，
因为
，
当
时，
，当
时，
，
所以满足题意的
的个数为2 个.
故选：
36．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
向左平移
个单位长度，
得到
，
故选：B.
37．将函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，平移后所得解析式为
，因此
，
解得
，当
时，
，D 可以，
不存在整数
，使得
取
，ABC 不可以.
故选：D
38．将函数
的图象向左平移
个单位长度后与函数
的图象重合，
则
的最小值为 .
【答案】
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到函数
的图象，
因为
，
由题意可知，函数
的图象与函数
的图象重合，
所以
，可得
，
因为
，故当
时，
取最小值
.
故答案为：
.
09 图象变换中的最小平移
39．把函数
的图象向右平移a 个单位长度后得到偶函数
的图象，则a 的最小正值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
，
由
（
）得
（
），当
时，a 有最小正值为
.
故选：D
40．若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原点对称，则
的最小正值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
，则
，
由
的图象关于原点对称，得
，解得
，
所以当
时，
取得的最小正值为
.
故选：C
41．若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小正值是
．
【答案】
/
【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为
，由于
为偶函数，
所以
,故
,
，最小正值为
．
故答案为：
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数
的图象的一个最高点坐标为
，相邻的一个最低点坐标为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意函数
的图象的一个最高点坐标为
，
相邻的一个最低点坐标为
，可得函数最小正周期为
，
故
，且
，
即
，将
代入得
，即
，
则
，即
，结合选项可知
，
故选：D
43．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递减
D．当
时，
【答案】BCD
【详解】由图可知
，又过
，
所以
，解得
，
，
所以
，即
，
又
，
，则
，
对于A，
，所以
不是函数
的对称轴，故A 错误；
对于B，
，所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，
时，
，
又
在
单调递减，
所以函数
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，
时，
，
，
，故D 正确；
故选：BCD.
44．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到曲线
，则曲线
的一个对称中心为
D．
的图象与直线
和线段
围成的图形面积为
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，观察图象，得
，即
，而
，解得
，故A
正确；
对于B 选项，由
，且
在函数
的递增区间内，得
，解得
，解得
，因此
，故B 正确；
对于C 选项，将
向左平移
个单位后，得曲线C：
，故C 错误；
对于D 选项，画出
的图象与直线
，线段
，如图实线围成区域即为所求，
由于
，且
的最小正周期为
，
结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD 的面积：
，故D 正确.
故选：ABD.
45．函数
（
）的图象如图所示，点
、
分别为图象在
内的一个最大
值点和最小值点，点
是曲线
上在
段的一个动点；
(1)求
的值；
(2)设
是坐标原点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，函数
的图象过点
，
∴
，∴
，
∴
，
，解得
，
，
∵
，∴
；
（2）由（1）可得
，
在
上
，
，
，
设
，
；则
，
由条件可知
与
在区间
上都是减函数，
所以函数
在区间
上是减函数，
当
时，
，当
时，
，
所以值域为
所以
的取值范围是
．
46．已知函数
的部分图像如图所示:
(1)求函数
的表达式；
(2)写出函数
所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当
时，求方程
的所有根的和.
【答案】(1)
；
(2)对称轴方程为
，对称中心为
；
(3)
.
【详解】（1）解：由函数
的图象，可得
，可得
，所以
，
因为
，即
，
可得
，即
，
又因为
，可得
，所以
.
（2）因为
，则令
，
解得
，则其对称轴方程为
，
令
，解得
，则其对称中心为
.
（3）由
，可得
或
，
因为
，可得
，
当
时，
，设方程的解为
，
则
，可得
；
当
时，
，则
，可得
，
综上所述，方程
的所有根的和为
.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3 米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为1.5 米.
设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出
水面时开始计算时间，则d 与时间t（单位：秒）之间的关系为
（
，
，
），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过
秒就可到达最低点
D．盛水筒P 在转动一圈的过程中，P 在水中的时间为
秒
【答案】D
【详解】点
到水面的距离
与时间之间的关系为
，
对于A，依题意，
，则
，A 错误；
对于B，由
时，得
，即
，而
，则
，B 错误；
对于C，
，令
，得
，
解得
，则
，解得
，
即盛水筒出水后至少经过
秒可到达最低点，C 错误；
对于D，由
，得
，即
，
则
，解得
，
所以盛水筒
在转动一圈的过程中，
在水中的时间为
秒，D 正确.
故选：D
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的
数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲
尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：
，这个方程中，
代表一个给定的
角度，
则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个
相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】
当
时，
时，
.
故选：B
49．（多选）假设某人在出生起180 天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所
示的正弦型曲线模型：
记智力曲线为
，情绪曲线为
，体力曲线为
，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右
延伸，则（ ）
A．智力曲线
的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180 天内，体力共有7 次达高峰值
C．第94 天时，情绪值小于15
D．第62 天时，智力曲线
和情绪曲线
均处于上升期
【答案】ABD
【详解】由图象，智力曲线
的最小正周期是三个曲线中最大的，故A 正确；
由图像，体力曲线
的最小正周期为
天，
，所以在出生起180 天内，体力共有7 次达高峰
值，故B 正确；
由图像，情绪曲线
的最小正周期为
天，所以第
天情绪值为
，第91 天情绪值为20，而
，所以第
天情绪值大于
，故C 错误；
由图像，智力曲线
的最小正周期为
天，而
，所以第
天，智力曲线
处于上升期，
，所以第
天，情绪曲线
处于上升期，故D 正确.
故选：ABD
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度
（单位：℃）随时间（单位：
）的变化近似满足函数关系：
，其中
，
.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI 管理系统，可以
根据实际需求设定参数
和
的取值.
(1)若设定
，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求
的最大值；
(2)若设定
，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①
；②
，
两个小组一天需要降温的时长分别为
和
.请比较
和
的大小关系，并进行合理解释.
【答案】(1)4
(2)
，合理解释见解析
【详解】（1）当
时，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
的最大值为4.
（2）因为
，所以
.
①当
时，令
，即
，
所以
，解得
，
，
又
，所以
，所以
.
②当
时，
，即
，
所以
，解得
，
，
又
，所以
，所以
，所以
.
解释：函数
，
可以由
向左平移12 个单位得到.从实际意义来看，
可以把前一天中午12 点到第二天中午12 点看成一天，故需降温时长不变.
1．已知函数
，若将曲线
向左平移
个单位长度后，再向上平
移个单位长度得到曲线
，若关于
的方程
在
有两个不相等实根，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
则
将
向左平移
个单位，得：
再向上平移个单位，得
当
时， 令
，则
方程
即
作出函数
在
的图象：
要使
有两个解，结合图象可知
，解得
，
因此，当
时，
有两个不等实根.
故选：C.
2．
设
，
，
为函数
的3 个相邻零点，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，则
的最小正周期为
，可知
，
又因为
，可得
，
即
，且
，
且
，可知
或
为
的零点，
若
为
的零点，则
，
可得
，且
，可得
，
若
为
的零点，则
，
可得
，这与
矛盾；
综上所述：
.
故选：B.
3．（多选）已知函数
，则以下说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的值域为
C．
的对称中心为
D．
的单调递减区间为
【答案】AD
【详解】
，定义域为
，
的最小正周期为
，故A 正确；
的定义域为
，
值域为
，故B 错误；
令
，则
，
的对称中心为
，故C 错误；
令
，则
，
的定义域为
，
的单调递减区间为
，故D 正确.
故选：AD.
4．已知
，函数
，
，若函数值域为
，则
．
【答案】或
.
【详解】
，
因为
，所以
，
，
当
时，
，所以
，
所以
，所以
；
当
时，
，所以
，
所以
，所以
；
故答案为：或
.
5．
已知函数
，
.给出下列四个结论：
①函数
是奇函数；
②函数
在区间
上是增函数；
③函数
在区间
内恰有3 个不同的零点；
④函数
的值域为
.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】函数
，
，
对于①，
，函数
是奇函数，①正确；
对于②，
，
，
而
，即
，②错误；
对于③，
，
，
而
，由
，得
，
当
，解得
，
在
内恰有3 个不同的零点，③正确；
对于④，当
，即
时，
，当
时，
，
，即函数
的值域为
，④正确.
故答案为：①③④
6．某摩天轮最高点距离地面高度
米，转盘直径为
米，设置有
个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转
中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要
分钟，游客在座舱转到距离地面
最近的位置进舱，在
后距离地面的高度
，则
的函数解
析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有
距离地面超过
米.
【答案】
或
【详解】摩天轮转一周需要
分钟，所以周期
，又
，则
，解得
，
摩天轮最高点距离地面高度
米，则
，又转盘直径为120 米，
所以摩天轮最低点距离地面高度为
米，所以
，
由
，解得
，
所以
的函数解析式为
，
因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，所以
时，
，
则
，所以
，又
，所以
，
则
.
在摩天轮转动的一周内，距离地面超过
米的时间，即
，所以
，
则
，所以
，
所以在摩天轮转动的一周内，有
分钟距离地面超过
米，
故答案为：
或
；
.
7．已知函数
的部分图像如图所示，
(1)求
解析式；
(2)求函数
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知
，∴
，∴
，∴
.
又
，∴
，∴
，∴
.
又
，∴
，
，∴
.
（2）由（1）知
，∴
.
∴当
，即
时，函数
的最大值，最大值为
.
8．已知函数
的一个零点为
．
(1)求c；
(2)当
时，若
的值域为
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，
，
所以
.
（2）由（1），
，
因为
，所以
，
若
的值域为
，则
，解得
，
所以的取值范围为
.
9．已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式及对称中心；
(2)设
，若对任意的
，
，都有
，求实数a
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）依题意知
，
，
，
所以
，又
，可得
，故函数
，
由图象经过点
，所以
，
可得
，所以
，
，
所以
，
，又因为
，所以
，
所以
，
令
，解得
，故对称中心为
，
.
（2）因为对任意的
，
，都有
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
，
令
，则
，
.
对称轴为
，所以①
，可得
，
②
，可得
，
③
，可得
，
综上
.
1．（2025·上海·高考真题）函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【详解】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确的
有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
5．（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【详解】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
6．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
.
(2)条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【详解】（1）因为
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件①不能使
函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
