文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 平面向量数量积的有关概念...............................................................................4
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示...............................................................4
知识点3 平面向量数量积的运算律...................................................................................5
知识点4 平面几何中的向量方法.......................................................................................5
题型破译................................................................................................................................................5
题型1 平面向量数量积的定义...........................................................................................5
题型2 平面向量数量积的运算
....................................................................................6
题型3 数量积的坐标表示...................................................................................................7
题型4 投影向量...................................................................................................................8
题型5 向量在几何中的应用...............................................................................................8
题型6 向量在物理中的应用...............................................................................................9
题型7 向量新定义
.......................................................................................................10
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................12
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................12
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.理解平面向量数量
的含
及其物理意
积
义
义.
2.了解平面向量的数
量
与投影向量的
积
长
度的关系.
3.掌握数量
的坐
积
标
表达式，会
行平面
进
向量数量
的运算
积
.
4.能运用数量
表示
积
两个向量的
角，会
夹
用数量
判断两个平
积
面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解
决某些
的平面几
简单
何
题
问
.
6.会用向量方法解决
的力学
与其
简单
问题
他一些
题
实际问
.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，第12
题，5 分
上海卷，第12
题，5 分
天津卷，第14
题，5 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
新课标II 卷，第3 题，
5 分
全国甲卷，第9 题，5
分
天津卷，第14 题，5 分
北京卷，第5 题，4 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
新课标II 卷，第13 题，5
分
全国甲卷，第4 题，5 分
全国乙卷，第12 题，5 分
天津卷，14 题，5 分
考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，
单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考
查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标：
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3.了解平面向量基本定理及其意义
4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点1 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量
a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为
0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M 作直线ON 的垂线，
垂足为M1，则 就是向量a 在向量b 上的投影向量.
设与b 方向相同的单位向量为e，a 与b 的夹角为θ，则OM1与e，a，θ 之间的关系为OM1＝|
a|cos θ e.
自主检测（多选）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a，b 的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝ .
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔ .
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
自主检测（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
在
方向上的投影向量为
知识点3 平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主检测（多选）已知
是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
知识点4 平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果翻译成几何关系
“
”
.
自主检测已知非零平面向量
、
、，满足
，
，若
与
的夹角为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 平面向量数量积的定义
例1-1 一蜂巢的精密结构由7 个边长均为2 的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P 为三个固
定顶点，则
（ ）
A．12
B．16
C．
D．
例1-2 已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量
与
，我们把数量
叫做
与
的数量积（或内积），记作
，即
=
，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：
叫做向量
在
方向上的投影数量，当
为锐角时，它是正数；当
为钝角
时，它是负数；当
为直角时，它是0．
②
的几何意义：数量积
等于
的长度
与
在
方向上射影
的乘积．
【变式训练1-1】已知向量
，且向量
与向量
的夹角为
，则
．
【变式训练1-2】已知边长为4 的菱形
的一个内角为
，则
．
题型2 平面向量数量积的运算
例2-1 已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
例2-2 已知平面向量
，
，均为单位向量，若
与
的夹角为60°，则
的最大值为
（ ）
A．
B．4
C．
D．5
例2-3 已知
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
方法技巧
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ 时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量
积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【变式训练2-1】已知
是两个垂直的单位向量．若
，设向量
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2·变考法】已知
，则
.
题型3 数量积的坐标表示
例3-1 已知向量
，则
.
例3-2 已知向量
，则向量
在向量
方向上的投影向量为 .
例3-3 已知向量
，
，若
，
的夹角为锐角，则
的取值范围是 ．
方法
技巧坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若
，
，则
；
（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平
面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【变式训练3-1】已知向量
，向量
，则向量
在向量
上的投影向量的模为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】平面向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
在
方向上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 投影向量
例4-1 已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 设向量
满足
且
，则向量
在向量
方向上的投影是 .
方法技巧
设向量
是向量
在向量
上的投影向量，则有
，则
【变式训练4-1】如图，在
中，
，
于
，
，
，则
在
上的投影
向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
且
，求
在
方向上的投影数量.
题型5 向量在几何中的应用
例5-1 已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 已知
是平面向量，是单位向量，若非零向量
与的夹角为
，向量
满足
，
则
的最小值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
方法
技巧
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式训练5-1】已知平面向量
、
、
，
，
，
的面积为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式训练5-2】已知
，则
的最大值为
．
【变式训练5-3】在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 上靠近C 的三等分点，
，
则
，F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则
的最小值为 .
题型6 向量在物理中的应用
例6-1 共点力
，
作用在物体
上，产生位移
，则共点力对物体做
的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 如图所示，支座A 受
，
两个力的作用，已知
，与水平线成
角，
，沿水平方
向，两个力的合力F 的大小
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船
的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为
h.
【变式训练6-2】如图所示，支座
受
两个力的作用，已知
，与水平线成
角，
，
沿水平方向，两个力的合力
的大小
，则
.
题型7 向量新定义
例7-1 已知
，
，定义新运算
，记
，
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2）我们可以把平面向量坐标的概念推广为复向量，即可将有序复数对
“
”
视为一个向
量，记作
．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量
，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的模定义为
．
(1)设
，
，求复向量
与
的模；
(2)已知对任意的实向量
与
，都有
，当且仅当
与
平行时取等号；
①求证：对任意实数
，
，，
，不等式
成立，并写出此不等式的取等条
件；
②求证：对任意两个复向量
与
，不等式
仍然成立；
(3)当
时，称复向量
与
平行．设
，
，
，若复向量
与
平行，
求复数
的值．
【变式训练7-1】定义：若不相等的两个向量
，
满足条件：
且
，
，
，
均为整数，则称向量
，
互为等模整向量，则与向量
“
”
互为等模整向量的向量个数有（
“
”
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式训练7-2】如图，在
中，
，
，
，
，
，设
与
交于点
，且
．
(1)求
的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“
：
”
（其中
是两非零向量
和
的夹角）．
（
）若
ⅰ
为
的中点，求
的值；
（
）若
ⅱ
，求
的值．
【变式训练7-3】已知向量
，且
，定义向量的新运算：
．
(1)若向量
，且
，求
；
(2)证明：
是
的充要条件，
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
是
”
“
的必要条件
”
B．“
是
”
“
的必要条件
”
C．“
是
”
“
的充分条件
”
D．“
是
”
“
的充分条件
”
2．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
是
”
“
或
的（
”
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
6．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
8．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
1.若向量
，
满足
，且
，
，则
（ ）．
A．2
B．
C．1
D．
2.若
，
是单位向量，且
，则
与
的夹角是 .
3.已知点
，
，
，求证：
．
4.一个物体在大小为6N 的力F 的作用下产生大小为100m 的位移s，且力F 与s 的夹角为
，则力F 所做
的功
J．
5.已知
，
．若存在向量，使得
，
，试求向量的坐标．
6.一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1000km 到达B 地，然后向C 地飞行，已知C 地恰好在A 地的南
偏西60°，并且A，C 两地相距2000km，求飞机从B 地到C 地的位移．
7.已知
，
，
与
的夹角为
，计算下列各式：
(1)
；
(2)
．
8.已知点O 为
所在平面内一点，且满足
．求证：点O 是三条
高线的交点．
