第03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 常考题型过关练
题型01 函数图象与极值（点），最值的关系
题型02 求已知函数的极值（点）
题型03 根据函数的极值（点）求参数
题型04 求函数的最值（不含参）
题型05 求函数的最值（含参）
题型06 根据函数的最值求参数
题型07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数图象与极值（点），最值的关系
1．已知函数y = f (x)的定义域为R，其导函数y = f ❑
′ (x)的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．2 是f (x)的极大值点
B．f (x)在(0,f (0))处的切线斜率大于0
C．f (3)<f (4)
D．f (x)在(−3,5)上一定存在最小值
2．函数y = f ( x)( x ≥−3)的导函数f
′( x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．f ( x)在(−3,0)上单调递减
B．f ( x)在(−1,1)上单调递减
C．f ( x)在(2,4)上存在极小值点
D．f ( x)在[−3,+ ∞)上有最大值
3．如图所示为函数f ( x)的导函数图象，则下列关于函数f ( x)的说法正确的有（ ）
①单调减区间是[−2,2]； ②−4和4 都是极小值点；
③没有最大值； ④最多能有四个零点.
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
4．已知函数 y = f (x)的导函数 f
' (x)的图象如图所示，那么对于函数 y = f (x)，下列说法正确的是（ ）
A．在 (−∞,−1)上单调递增
B．在 (1,+∞)上单调递减
C．在 x =1处取得最大值
D．在 x =2处取得极大值
5．（多选）已知函数y = f ( x)，其导函数y = f
′( x)的图象如图所示，则对于函数y = f ( x)的描述正确的是
（ ）
A．在(−∞,0)上单调递减
B．在x =0处取得极大值
C．在(4 ,+∞)上单调递减
D．在x =2处取得最小值
02 求已知函数的极值（点）
6．函数f (x)= 1
3 x
3−3
2 x
2+2 x−1的极大值点是（ ）
A．1
B．2
C．(1,−1
6)
D．(2,−1
3)
7．函数f (x)=e
x−1
2 x
2−x的极值点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．函数f (x)=(x−2)e
x−x
2+2 x的极小值点为（ ）
A．1−e
B．1
C．ln2
D．2
9．函数f (x)=e
x +1−x的极小值点为 ．
10．函数f (x)= x
3e
2−x的极值点是 ．
03 根据函数的极值（点）求参数
11．已知函数f (x)= 1
3 a x
3−x
2+a
2 x +1，当x =1时，f (x)有极大值，则a=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．−2或1
12．已知f (x)=(ax−a−1)e
x+ x，若0 是f (x)的极小值点，则a 的取值范围为（ ）
A．[0,+ ∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
13．已知函数f ( x)=a(e
x+e
−x)+cos x在(−π,π)上有且仅有3 个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,0)
B．(0, 1
2)
C．(−∞, 1
2)
D．(
1
2 ,+ ∞)
14．（2025·甘肃·模拟预测）已知x =1是函数f (x)=ln x−a
x + x的极值点，则a=（ ）
A．2
B．−2
C．1
D．−1
15．已知函数f (x)=ax−aln x + 1
x +3(a∈R)在区间(2,3)上存在极小值点，则实数a的取值范围为
.
04 求函数的最值（不含参）
16．已知函数f (x)= x
3+ k ln x (k ∈R)，f
′ (x)为f (x)的导函数．
(1)当k =−3时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若函数g(x)= f (x)−f
′ (x)+ 9
x 在x =1处取得极值，求g(x)的单调区间和最值．
17．已知f ( x)= 1
3 x
3+2a x
2+3 x(a∈R)在x =−1处取得极值.
(1)求实数a的值：
(2)求f ( x)在区间[−2,2]上的值域.
18．已知函数f ( x)= x
3+a x
2+bx +c在点P(0,−2)处的切线斜率为−1，且在x =1处取得极值．
(1)求函数f ( x)的单调区间和极值；
(2)当x∈[−1,2]时，求函数f ( x)的最小值．
19．已知函数f (x)= x
3−3 x
2−9 x +c (c∈R)．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)在区间[−2,4)上的最大值为7，求它在该区间上的最小值．
20．已知函数f ( x)= x
3−12 x +8．
(1)求函数f ( x)的极大值；
(2)求函数f ( x)在区间[−3,3]上的最小值．
05 求函数的最值（含参）
21．已知函数f ( x)=a( x +1)e
x(a≠0)．
(1)当a=1时，判断过点(−1,0)且与曲线f ( x)相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求f ( x)的最值．
22．已知函数f (x)=aln x−x (a≠0)；
(1)若a=1，求函数f (x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f (x)在(0,2)上的最大值．
23．函数f ( x)=a x
3−6a x
2+b(a,b 为常数，a≠0)
(1)若f ( x)在x =0处取得极小值，求实数a的取值范围，
(2)若f ( x)在区间[−1,2]上的最大值是3，最小值是−29，求a+b的值.
24．已知函数f (x)= x
3−6a x
2+1．
(1)若a=1，求f (x)的单调区间；
(2)求f (x)在区间[−1,0)上的最大值．
25．设函数f (x)= x
3−3 x
2.
(1)求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)求函数f (x)的极值；
(3)求函数f (x)在区间[−a,a)(a>0)上的最大值
.
06 根据函数的最值求参数
26．（2025·广东茂名·二模）已知函数f (x)= ln x−a
x ，a∈R.
(1)若a=2，求f (x)图象在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)在(1,e)上的最小值是3
2，求a的值.
27．已知函数f (x)=(a x
3−x +2)e
x−x，f
′ (x)为f (x)的导函数.
(1)当a=0时，求不等式f (x)>2的解集；
(2)当a<0时，讨论f
′ (x)的单调性；
(3)若函数f (x)在x =0处取极小值，求a的值.
28．已知函数 f (x)=ln x−a
x ．
(1)当a<0时，判断f (x)在定义域上的单调性；
(2)若函数f (x)在[1,e)上的最小值为3
2，求实数a的值．
29．已知函数f (x)= 1
2 x
2−mx +3ln x (m∈R).
(1)当m= 4时，求函数f (x)的极值；
(2)若函数g(x)= f (x)−1
2 x
2−2ln x在[1,e)上的最小值为2，求实数m的值.
30．若函数f (x)=ax−ln x.
(1)若函数f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y =−4 x +m，求实数a、m的值；
(2)已知a>1
e （e为自然对数函数的底数），若f (x)在区间(0,e)上的最小值为3，求实数a的值.
07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知函数f (x)=e
x+a x
2−a，a∈R．
(1)若f (x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)当a>0时，设g(a)= f (x)min，求g(a)的最大值．
32．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)= ln x−2kx，x∈(0,e)，其中e为自然对数的底数.
(1)若x =2为f (x)的极值点，求f (x)的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数k，使得f (x)的最大值为−2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
33．已知函数f (x)= xe
ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若a>0，且f (x)在[−1,0)上的最小值为−e
−1
2，求a的值．
34．已知函数f (x)=−x
e
x ，g(x)= xln x−a
2 x
2−x，a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若当x∈(1,+ ∞)时，f (x)与g(x)的单调性相同，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[0, 1
e)时，g(x)(x ∈(0,e))有最小值ℎ(a)，证明：−e
2 <ℎ(a)≤−1．
35．已知函数f (x)=(x−2)e
x−1−a x
2+2ax．
(1)当a=e时，求f (x)的单调性；
(2)若函数f (x)在x =1处取得极小值，求实数a的取值范围．
1．（多选）（2025·安徽·三模）波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻
辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表
达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“×+135”的运算过程为：先将
“+13”转化为：“1+3”，再以“×”为运算符，“1+3”和“5”为操作数，即得“(1+3)×5”；波兰
表达式“−×2↑x 3×3↑x 2”中，“↑”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“↑x 3”转化为x
3“”，
将“↑x 2”转化为“x
2”，再由“×2 x
3”得“2 x
3”，由“×3 x
2”得“3 x
2”，最后由“−2 x
33 x
2”得
“2 x
3−3 x
2”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：ln 2≈0.7．
A．波兰表达式“×↑263”的值为108
B．若波兰表达式“+↑2 xx”的值大于6，则x 的取值范围是(2,+∞)
C．若波兰表达式“++×÷13×a↑x 3×b↑x 2 x”表示的函数无极值，且a+ 16
b
2 ≤8，则a
2−b
2=8
D．若波兰表达式“−↑2 x×3 x”的值为−2，则x 的所有取值之和大于4
2．若存在一个实数m，使得对于函数f (x)定义域内的任意x，都有f (x)≥m，则称f (x)有下界，且m是
f (x)的一个下界.
(1)求函数f (x)=e
x+ x
2−x的下界m的取值范围：
(2)若1 是函数f (x)=aln x + 1
x 的一个下界，求a的取值集合；
(3)若m是函数f (x)=e
−x+ x
2+ xln x−x的一个下界，求证：m的最大值为0.
3．已知函数f ( x)=2 x
3−a x
2+b.
(1)若函数f ( x)在x =1处取得极小值−4，求实数a，b 的值；
(2)已知a>0，且函数f ( x)的极大值是1，讨论函数f ( x)的零点个数.
4．（2025·辽宁·二模）已知函数f ( x)=(m x
2−2 x +1)e
x+ x−1．
(1)若m=1，当x∈[2,+∞)时，f ( x)≥t( x−1)，求t的取值范围；
(2)若m=0，求f ( x)的极值；
(3)若x =0是f ( x)的极小值点，求m的取值范围．
5．（2025·河南·三模）已知函数f (x)=(1−x)e
x+ 1
2 x
2−1，g(x)=(x +1)ln (x +1)−ax，其中a∈R．
(1)求函数f (x)的零点；
(2)F (x)= f (x)+ g(x)+|f (x)−g(x))．
（ⅰ）用max {m,n)表示m，n 的最大值，证明：F (x)=2max {f (x), g(x))；
（ⅱ）是否存在实数a，使得∀x∈R，F (x)≥0恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明
理由．
1．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=2 x
3−3a x
2+1，则（ ）
A．当a>1时，f ( x)有三个零点
B．当a<0时，x =0是f ( x)的极大值点
C．存在a，b，使得x =b为曲线y = f ( x)的对称轴
D．存在a，使得点(1,f (1))为曲线y = f ( x)的对称中心
2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数f (x)=aln x + b
x + c
x
2 (a≠0)既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．bc>0
B．ab>0
C．b
2+8ac>0
D．ac<0
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y = f(
1
x)关于直线x =b对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,+ ∞)存在极值，求a 的取值范围.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f ( x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=ax−1
x −(a+1)ln x．
(1)当a=0时，求f ( x)的最大值；
