文档文本内容
第03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数
的定义域为[-1,1]，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的定义域与值域的交集为 .
3．函数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
4．设
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数
在
上的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的最大值为
，最小值为
．函数
取最大
值时对应x 的集合为
7．已知函数
在闭区间
上的最大值为7，最小值为3，则
.
8．（多选）设
，函数
在区间
上的最小值为
，在区间
上的最小值为
，
当变化t 时，以下情形可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，
在区间
上的最小值为
，则所有满足条件的
的积属
于区间（ ）
A．
B．
C．
D．
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以
为周期的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数
是周期函数；②函数
是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确
B．①②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
12．设函数
.已知
，且
的最小值为
，则
.
13．已知
，
，则
．
04 三角函数的单调性
14．函数
的单调递增区间是 ．
15．设
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
18．设
，
．若对任意
，均存在
，使得函数
在
是单
调函数，则
的取值可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为
且是奇函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知
，且
，则
= .
21．已知函数
是奇函数，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．若函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为
，且
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
06 三角函数的对称性
23．写出函数
的一个对称中心 ．
24．若函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
的最小正周期的最小值为
B．
的最小正周期的最大值为
C．
的最小正周期的最小值为
D．
的最小正周期的最大值为
25．已知函数
，若f（x）在区间
上不单调，且曲线
的一个对称
中心是
，则ω 的最小值是（ ）
A．20
B．16
C．13
D．7
26．已知函数
的图象关于直线
对称，则
的取值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
27．
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
28．已知函数
的图象离原点最近的对称轴为
，若满足
，
则称
为“近轴函数”．若函数
是“近轴函数”，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线
为函数
图象的一条对称轴，则满
足条件的一个
的取值为 ；若
在区间
上有零点，则
的最小值为 ．
30．（ 2025·上海·三模）函数
的零点个数为
31．已知函数
，令
在区间
上恰有2 个零点
，则
.
32．设
为正整数.如果函数
在区间
内恰有2023 个零点，则
的值是
.
33．已知函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求
的单调递增区间；
(2)若
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
35．已知
，现将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，
若存在
，使得函数
与
图象的对称中心完全相同，则满足题意的
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
36．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．将函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
38．将函数
的图象向左平移
个单位长度后与函数
的图象重合，
则
的最小值为 .
09 图象变换中的最小平移
39．把函数
的图象向右平移a 个单位长度后得到偶函数
的图象，则a 的最小正值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原点对称，则
的最小正值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
41．若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小正值是
．
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数
的图象的一个最高点坐标为
，相邻的一个最低点坐标为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递减
D．当
时，
44．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到曲线
，则曲线
的一个对称中心为
D．
的图象与直线
和线段
围成的图形面积为
45．函数
（
）的图象如图所示，点
、
分别为图象在
内的一个最大
值点和最小值点，点
是曲线
上在
段的一个动点；
(1)求
的值；
(2)设
是坐标原点，求
的取值范围．
46．已知函数
的部分图像如图所示:
(1)求函数
的表达式；
(2)写出函数
所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当
时，求方程
的所有根的和.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3 米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为1.5 米.
设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出
水面时开始计算时间，则d 与时间t（单位：秒）之间的关系为
（
，
，
），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过
秒就可到达最低点
D．盛水筒P 在转动一圈的过程中，P 在水中的时间为
秒
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的
数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲
尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：
，这个方程中，
代表一个给定的
角度，
则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个
相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
49．（多选）假设某人在出生起180 天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所
示的正弦型曲线模型：
记智力曲线为
，情绪曲线为
，体力曲线为
，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右
延伸，则（ ）
A．智力曲线
的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180 天内，体力共有7 次达高峰值
C．第94 天时，情绪值小于15
D．第62 天时，智力曲线
和情绪曲线
均处于上升期
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度
（单位：℃）随时间（单位：
）的变化近似满足函数关系：
，其中
，
.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI 管理系统，可以
根据实际需求设定参数
和
的取值.
(1)若设定
，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求
的最大值；
(2)若设定
，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①
；②
，
两个小组一天需要降温的时长分别为
和
.请比较
和
的大小关系，并进行合理解释.
1．已知函数
，若将曲线
向左平移
个单位长度后，再向上平
移个单位长度得到曲线
，若关于
的方程
在
有两个不相等实根，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
设
，
，
为函数
的3 个相邻零点，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）已知函数
，则以下说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的值域为
C．
的对称中心为
D．
的单调递减区间为
4．已知
，函数
，
，若函数值域为
，则
．
5．
已知函数
，
.给出下列四个结论：
①函数
是奇函数；
②函数
在区间
上是增函数；
③函数
在区间
内恰有3 个不同的零点；
④函数
的值域为
.
其中所有正确结论的序号是 .
6．某摩天轮最高点距离地面高度
米，转盘直径为
米，设置有
个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转
中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要
分钟，游客在座舱转到距离地面
最近的位置进舱，在
后距离地面的高度
，则
的函数解
析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有
距离地面超过
米.
7．已知函数
的部分图像如图所示，
(1)求
解析式；
(2)求函数
的最大值.
8．已知函数
的一个零点为
．
(1)求c；
(2)当
时，若
的值域为
，求t 的取值范围．
9．已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式及对称中心；
(2)设
，若对任意的
，
，都有
，求实数a
的取值范围.
1．（2025·上海·高考真题）函数
在
上的值域为 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确的
有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
5．（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
6．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
