文档文本内容
第03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01
考情解码·命题预警
2
02 体系构建·思维可视.....................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.....................................................................................................................................3
知能解码....................................................................................................................................................3
知识点1 直线与平面平行...........................................................................................................................................3
知识点2 平面与平面平行...........................................................................................................................................4
题型破译....................................................................................................................................................5
题型1 有关平行命题的判断.......................................................................................................................................5
题型2 线面平行的判定定理
..............................................................................................................................6
【方法技巧】线面平行的判定定理的证明步骤
题型3 线面平行的性质定理
..............................................................................................................................8
题型4 面面平行的判定定理.......................................................................................................................................9
题型5 面面平行的性质定理
...........................................................................................................................11
【方法技巧】面面平行证线线、线面平行
题型6 线面平行的探索性问题...............................................................................................................................13
【方法技巧】平行的探索性问题
题型7 面面平行的探索性问题...............................................................................................................................16
04 真题溯源·考向感知..................................................................................................................................18
05 课本典例·高考素材..................................................................................................................................22
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）直线与平面平行
的判定与性质
（2）平面与平面平行
的判定与性质
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T9 （6
分）
全国二卷T17（15
分）
上海卷T18 （14
分）
北京卷T17 （14
分）
全国Ⅰ卷T17（15 分）
全国甲卷（文）T19（12
分）
全国甲卷（理）T19（12
分）
北京卷T17（14 分）
天津卷T17（15 分）
天津卷T17（15 分）
上海卷T17（14 分）
全国乙卷（文）T19
（12 分）
全国乙卷（理）T19
（12 分）
考情分析：
该内容是新高考卷高频考点，题型以解答题为主，分值约5 分。解答题中常作为第一问考查线面或面面平行的
证明，如2024 年I 卷第17 题（1）要求利用三角形中位线或平行四边形法构造线线平行，难度中等。选择题和填空
题则侧重位置关系的判定，需注意定理中“直线不在平面内”的隐含要求。
近年命题更注重逻辑推理与空间想象能力的结合，动态几何问题（如翻折、动点轨迹）逐渐增多，需灵活运用
平行性质转化条件。备考时需熟练掌握几何法（如中位线、平行四边形）与向量法的综合应用，尤其注意定理条件
的完整性，避免因忽略 “相交直线”“直线不在平面内” 等关键条件失分
复习目标：
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用，
知识点1 直线与平面平行
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线线平行
线面平行
如果________的一条直线和这个
平面内的一条直线平行，那么这
条直线和这个平面平行
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行
线线平行
如果一条直线和一个平面平
行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线就
和________平行
自主检测（多选）如图，
为平行四边形
所在平面外一点，
为
的中点，
为
与
的交点，
下列说法正确的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
知识点2 平面与平面平行
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行
面面平行
一个平面内的两条
________直线与另一个平
面平行
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时和第三
个平面相交，那么它们的
________平行
3.其余推论
①两个平面平行，其中一个平面内的________一条直线都平行于另一个平面．
②夹在两个平行平面间的平行线段________．
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
自主检测已知平面
平面
，点
是平面
外一点（如图所示），且直线
分别与
相交于
点
，若
，则
．
题型1 有关平行命题的判断
例1-1 已知a，b，c 为三条不重合的直线，
，
，
为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
例1-2 下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①如果
是两条平行直线，那么
平行于经过
的任何一个平面；
②如果直线
和平面
满足
，那么
与平面
内的任何一条直线平行；
③如果直线
满足
，
，则
；
④如果直线
和平面
满足
，
，
，那么
；
⑤如果平面
的同侧有两点
到平面
的距离相等，则
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-1】已知
、
是两条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
；
B．若
，
，则
；
C．若
、
是异面直线，
，
，
，
，则
；
D．平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等，则
．
【变式1-2·变考法】如图，梯形
中
，四边形
是梯形
在平面α 内的投影（
），则对四边形
的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形
B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形
D．只可能是梯形
题型2 线面平行的判定定理
例2-1 如图，在下列四个正方体中，
为正方体的两个顶点，
为所在棱的中点，则在这四个正
方体中，直线
与平面
平行的有（ ）个.
A．1
B．2
C．3
D．4
例2-2 已知在直三棱柱
中，
，M 为棱
的中点，O 为线段
的中点．
(1)求证：
平面MBC；
(2)求三棱锥
的体积．
方法技巧
线面平行判定定理的证明步骤
①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形的性质、线段
成比例）；
②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；
③由判定定理得出结论
【变式2-1】（多选）如图，点
为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2·变载体】如图，向透明塑料制成的长方体容器
内灌进一些水，水是定量的（体
积为
）．固定容器底面一边
于地面上，
，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其
中错误的是（ ）
A．水面
所在四边形的面积不是定值
B．没有水的部分始终呈棱柱形
C．棱
一定与平面
平行
D．当容器倾斜如图所示时，
（定值）
【变式2-3】如图，直三棱柱
中，
为线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)平面
将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.
题型3 线面平行的性质定理
例3-1 在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
是侧棱
上的动点，若
平面
，
则
．
例3-2 如图，
是棱长为2 的正方体
的棱
上一点，且
面
，则线段
的长
度是 .
【变式3-1】如图，棱长为a 的正方体
中，
，设过点
，C，E 的平面与平面
的交线为EF，则三棱锥
的体积为 .
【变式3-2】如图，已知三棱柱
中，
是
上的动点，
是
上的动点，且
，
平面
．
（1）若
是
的中点，则
的值为 ；
（2）若
是
上靠近
的三等分点，则
的值为 ．
【变式3-3】如图，点C 是以
为直径的圆O 上异于
的点，P 为平面
外一点，
分别是
的中点，记平面
与平面
的交线为直线l．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求证：直线
平面
．
题型4 面面平行的判定定理
例4-1 如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①
平面
；②
平面
；
③平面
平面
；④平面
平面
.
以上四个命题中，正确命题的序号是 .
例4-2 如图，在边长为2 的正方体
中，
，
，
，
都是正方体棱上的中点.
(1)求证平面
平面
;
(2)求三棱台
的体积.
【变式4-1】由正方体
截去三棱锥
后得到的几何体如图所示，
为AC 与BD 的
交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
【变式4-2】如图所示，正四棱锥S-ABCD 中，
，
．
(1)求正四棱锥S-ABCD 的体积；
(2)若P 为侧棱SD 上的点，且
，Q 是SD 的中点，E 是侧棱SC 上的点，且
，求证：
．
题型5 面面平行的性质定理
例5-1 如图，多面体
是用平面
截底面边长
，侧棱长
的长方体
剩下的一部分几何体，其中
，点E 在线段
上，平面
交线段
于点F，则截面四边形
的周长的最小值为 .
例5-2 如图，在三棱柱
中，
，
平面
且
，
、
分别是
、
的中点. 求证：
平面
.
方法技巧
面面平行证线线、线面平行
（1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个
平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
（2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条
直线平行于另一个平面.
【变式5-1·变考法】（ 2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在正方体
中，
是棱
的中点，
记平面
与平面
的交线，平面
与平面
的交线
，若直线
与所成角为
，直
线
与
所成角为
，则
的值是 ．
【变式5-2】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
且
，
为等边三角形. 若
分别是棱
的中点，证明：
平面
；
【变式5-3】如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为侧棱
的中点，求证：
平面
.
【变式5-4】如图，在直角梯形
中，
，
，
，把梯形
绕
旋
转至
，
，
分别为
，
中点．证明：
平面
；
题型6 线面平行的探索性问题
例6-1 如图，直三棱柱
中，
，
．
(1)求证：
；
(2)在棱
上是否存在点K，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由．
例6-2 如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
分别是
的中点．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)证明：
平面
；
(3)线段
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
方法技巧
平行的探索性问题
常用“逆向推理法”：假设平行关系成立，结合线面平行、面面平行的判定定理（如线面平行需平面外直
线与平面内直线平行，面面平行需一平面内两条相交直线与另一平面平行），推导线段比例、中点位置等
关键条件。
【变式6-1】如图所示，点P 是平面
外一点，
平面
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)问：是否存在线段
上的一点N，使得对线段
上的任一动点M，均有
平面
成立？若存
在，请指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【变式6-2】如图所示，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，面
面
，
是
的中点．
(1)求证：
平面
.；
(2)若
是线段
上一动点，则线段
上是否存在点
，使
平面
？说明理由．
【变式6-3】如图所示正四棱锥
，
，P 为侧棱SD 上一动点.
(1)正四棱锥
的表面积；
(2)若直线
平面ACP，求证：P 为棱SD 的中点；
(3)若
，侧棱SC 上是否存在一点E，使得
平面PAC.若存在，求
的值；若不存在，试说
明理由.
题型7 面面平行的探索性问题
例7-1 如图，在长方体
中，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由.
例7-2 如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，点
分别为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)在棱BC 上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【变式7-1】如图，已知在正方体
中，P，Q 分别为对角线
，
上的点，
.
(1)求证：
平面
.
(2)若R 是
上的点，当
的值为多少时（用
表示），能使平面
平面
?请给出证明.
【变式7-2】如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
交
于点
，
是
的中点.
在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
，若存在，请给出点
的位置，并证明，若不存
在，请说明理由.
【变式7-3】如图，在三棱柱
中，D，E，F 分别是AB，
，
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：在
上存在一点P，使得平面
平面DCF．
1．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
2．（2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段OC
上，证明：直线
平面PBD．
3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台
中，
平面
，
为
中点.，N 为AB 的中点，
(1)求证：
//平面
；
4．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱
中，
，
，
，
，
(1)求证：
平面
；
5．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
6．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，
，
，
，
,
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
8．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
1．平面α 与平面β 平行的充分条件可以是（ ）
A．α 内有无穷多条直线都与β 平行
B．直线a
α，a
β，且直线a 不在α 与β 内
C．直线
，直线
，且b
α，a
β
D．α 内的任何直线都与β 平行
2．如图，在长方体
的六个面所在的平面中，
（1）与
平行的平面是 ；
（2）与
平行的平面是 ；
（3）与
平行的平面是 .
3．如图，在四面体
中，E，F，G 分别是AB，BC，CD 的中点，求证：
(1)
∥平面EFG；
(2)
∥平面EFG．
4．如图，在正方体
中，E 为
的中点，判断
与平面
的位置关系，并说明理由.
5．已知正方体
的棱长为a，M，N，E，F 分别是棱
，
，
，
的中点．求
证：平面
平面BDEF．
