文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 求平面向量的数量积
........................................................................................................... 2
题型02 平面向量的模长
...................................................................................................................2
题型03 平面向量的夹角
...................................................................................................................3
题型04 垂直的综合运算.........................................................................................................................3
题型05 投影向量.................................................................................................................................... 4
题型06 求参数值或取值范围问题
...................................................................................................4
题型07 求数量积的取值范围问题
...................................................................................................5
题型08 向量在几何中的应用.................................................................................................................5
题型09 向量在物理中的应用.................................................................................................................6
题型10 平面向量的新定义问题.............................................................................................................6
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
................................................................................7
重难·创新演练........................................................................................................................................................7
真题·实战演练........................................................................................................................................................9
模拟·基础演练
考查重点：围绕平面向量数量积核心知识展开，综合考查数量积运算、模、夹角、垂直关系、投影
向量基础内容，同时结合平面几何图形、动点轨迹以及物理受力、位移场景综合命题。
题型01 求平面向量的数量积
1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形
中，点
为
上靠近点的三等分点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
3.在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．36
B．18
C．
D．
4．（2026·山东济宁·一模）已知
中，若
，且点
在
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形
的边长为2，且F 为AD 边中点，
与
交于点
，
则
________．
题型02 平面向量的模长
6．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．25
8．（2026·四川广元·二模）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量
与
的夹角为
，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
题型03 平面向量的夹角
11．（2026·江西萍乡·一模）已知
，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·广西河池·二模）已知向量
满足
，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·山西太原·二模）已知
，则向量与夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·山东临沂·一模）已知向量
，
，则向量与的夹角正切值为_________．
15．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
满足
，则
_________．
题型04 垂直的综合运算
16．（2026·陕西渭南·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．9
D．11
17．（2026·江西·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·四川成都·二模）已知平面向量
．若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．2
19.若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 投影向量
21．向量
，
，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2026·广东深圳·一模）已知向量
，
，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
23.已知向量
，向量
，则向量在向量
上的投影向量的模为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知向量和满足
，则向量
在向量上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形
为平行四边形，若向量
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 求参数值或取值范围问题
27．已知
，若向量
与向量
互相垂直，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．
28．已知单位圆
上有两点
，
，设向量
，
，若
，则实
数的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
题型07 求数量积的取值范围问题
29．（2026·甘肃兰州·一模）在
中，
为
边上靠近点
的三分点，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．在等边
中，
，P 为
所在平面内的一个动点，若
，则
的最大值为（
）
A．4
B．
C．
D．6
31．已知点在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．设
为单位向量，且
，若向量满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 向量在几何中的应用
34．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
35..已知平面向量
、
、
，
，
，
的面积为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
36．（2026·上海金山·二模）已知在
中，
．若点
为
外接圆的圆
心，则
__________．
题型09 向量在物理中的应用
37.共点力
，
作用在物体
上，产生位移
，则共点力对物体做的功
为（ ）
A．
B．
C．
D．
38.如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对
岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，
预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h.
39.如图所示，支座
受
两个力的作用，已知
，与水平线成角，
，沿水平方向，两个力的合力
的大小
，则
.
题型10 平面向量的新定义问题
40.定义：若不相等的两个向量
，
满足条件：
且
，
，
，
均为整数，则
称向量，互为“等模整向量”，则与向量
互为“等模整向量”的向量个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
41.如图，在
中，
，
，
，
，
，设
与
交于点，且
．
(1)求
的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“
”：
（其中是两非零向量和的夹角）．
（ⅰ）若
为
的中点，求
的值；
（ⅱ）若
，求
的值．
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
42．（2026·山东日照·一模）若向量
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2026·广东广州·一模）已知向量
，
，向量满足
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
44．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形
内有一个动点
，
，
，当
，
，
三点共线时，
的延长线与
交于点
，正方形边长
为2，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．1
45．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形
中，
，
，
，点
在四
边形
所在平面上，且满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
重难·创新演练
设题创新: 依托圆与三角函数融合动点最值问题，设置向量自定义新运算题型，融入船只航行、力
做功等物理实际情境，多以各地模拟考为载体设计参数范围类综合设问。
1．（2026·江西上饶·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．
D．
2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西河池·二模）已知向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．【新考法】（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点
，满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．【新载体】（2026·四川成都·二模）已知向量,a b满足
cos ,sin
a
，
1
b ，且a 与b 的夹角为60o ，
则
2
a
b
为（ ）
A．
7
B．
21
C．7
D．21
6．【新交汇】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段
，
点满足
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．【新思维】（2026·陕西·二模）已知向量
满足
.当与的夹角最大时，
（ ）
A．
B．2
C．
D．
8．【新定义】（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数
，
是平面内三个不同的单位向
量，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）（2025·重庆·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
，
，
10．（多选）（2026·甘肃·一模）已知
为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
的最小值为
11．【新考法】（多选）（2026·广东东莞·二模）若
为单位向量，且在上的投影向量为
，下列说
法正确的是（ ）
A．
的夹角为
B．
C．
D．
12．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量
在方向上的投影向量模长为
，
则
__________．
13．【新交汇】（2026·上海嘉定·二模）已知向量
，
，且
，则在方
向上的数量投影的取值范围为 __________．
14．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量
，
，
，若
，则
的最小值
为_______.
真题·实战演练
高频考点：：向量数量积基础运算、向量模长计算、向量夹角求解、由向量垂直求参数、投影向量
及投影模长、向量结合几何动点求最值。
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“
”是“
或
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（
）
A．
B．
C．5
D．6
5.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
__________．
7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
__________．
8.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量
满足
，则
__________．
9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
__________．
10．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，表示），若
，
，则
__________．
