文档文本内容
第03
平面向量的数量积
应用
讲
及其
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 平面向量数量
的定
积
义
型
题
02 平面向量数量
的运算
积
型
题
03 数量
的坐
表示
积
标
型
题
04 投影向量
型
题
05 向量在几何中的
用
应
型
题
06 向量在物理中的
用
应
型
题
07 向量新定义
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量数量积的定义
1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知向量
，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．8
C．4
D．
3．正六边形在中国传统文化中象征着 六合 与 六顺 ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，
“
”
“
”
如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示，
是这
6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则
的最大值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
4．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设
，
为非零向量，若
，则
，
的夹角为锐角
B．设
，
，为非零向量，则
C．设
，
为非零向量，若
，则
D．若点
为
的重心，则
02 平面向量数量积的运算
5．在矩形
中，
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．9
6．如果向量
，
满足
，
，且
，则
和
的夹角
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
中，
且
，
为边
的中点.若
在边
上运动（点
可与
重合） ，
则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知向量
满足
，若
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
，
，
为单位向量，则
.
10．设向量
，
，已知
．
(1)求实数
的值；
(2)求
与
的夹角的大小．
03 数量积的坐标表示
11．已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
其中k 为实数，若向量
与
的夹角为钝角，则k 的取值范围（ ）
A．
B．
C．6
D．
13．（多选）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（多选）已知向量
，
满足
，
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的取值范围为
D．若
与夹角为钝角，则实数
的取值范围为
04 投影向量
15．已知向量
满足
且单位向量
在
方向上的投影向量为
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在
中，已知
，若向量
在向量
上的投影向量为
，
，则实数m
的值为（ ）
A．
B．5
C．2
D．
17．已知
，
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知
，
，则
在
方向上的投影向量的坐标为 ．
05 向量在几何中的应用
19．已知
的外接圆圆心为O，且
，
，点D 是线段BC 上一动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，已知
是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，
是以
为直径的半圆和
围成的区域内一动点（含边界），若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．18
D．24
22．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF 的边长为1，点
在其边上运动，点P 是其内部一点
（包含边界），则
的取值范围是 .
23．如图，在梯形
中，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，且
，
是线段
上的一个动点．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
06 向量在物理中的应用
24．已知三个力
，
，
同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力
，
该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边
处出发，向对岸航行，若船的速度
，
水流速度
，且船实际航行的速度的大小为9，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．12
26．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为
，
作用在行李包上的两个拉力分别为
，且
与
的夹角为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
越小越费力，
越大越省力
C．当
时，
D．
的范围为
27．如图，无弹性细绳
，
一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳
的下端吊一重物，要保持此
状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填
或
或
)．
07 向量新定义
28．（多选）设向量
的夹角为
，定义
，已知平面内互不相等的两个非零向量
满
足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．令
表示全体平面向量构成的集合，若对于任意
，都存在唯一的正整数（记为
）与之对
应，且对任意向量
和任意实数
都有
，则对于集合
中所含元素的个数说法正确的是（ ）
A．
中至少有两个元素
B．
中至少有无数个元素
C．
中至多有三个元素
D．
中至多有无数个元素
30．（多选）已知两个非零向量
，
的夹角为
，定义运算
：
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
，
B．
在
上投影向量的模为
C．若
，
，则
D．
31．已知向量
，
，定义向量的新运算：
．设向量
，
．若
，则
；若
，则
．
32．已知向量
与向量
的对应关系用
表示．
(1)设
，
，求向量
及
的坐标；
(2)求满足
的向量的坐标；
(3)证明：对任意向量
、
，均满足
．
1．
已知向量
，
，且满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．
人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相
似度的常用方法．假设平面内有两个点
，
，O 为坐标原点，定义余弦相似度为
，余弦距离为
．已知点
，
，则A，B 两点的余弦距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
函数
的部分图象如图中实线所示，
为函数
与
轴的交点.圆
与
的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F 六点，且
在
轴上，则下
列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，
三点不共线，
，其中
，
为实数且不同时为0，则下列结论不正确
的是（ ）
A．若
，则
，
，
三点共线
B．若
，则点
为
的重心
C．若
，则
平分
D．若
，则
5．在矩形
中，
，
，点
是边
上的一点，且
，则
的值为 .
6．
如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边
上有10 个不同的点，
，记
，若
，则等边三角形的边长为 .
1．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线
与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
6．（上海·高考真题）若
，且满足
，则
.
7．（浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取
值范围是 ．
8．（天津·高考真题）在
中，点D 为AC 的中点，点E 满足
.记
，用
表
示
，若
，则
的最大值为
