文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 平面向量数量
的定
积
义
型
题
02 平面向量数量
的运算
积
型
题
03 数量
的坐
表示
积
标
型
题
04 投影向量
型
题
05 向量在几何中的
用
应
型
题
06 向量在物理中的
用
应
型
题
07 向量新定义
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量数量积的定义
1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③.
【详解】
，
，
，
表示与共线的向量，
表示与
共线的向量，故两者不一定相等，
故①②③正确，④错误，
故选：D
2．已知向量
，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】A
【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误.
【详解】由
得
，根据
在
上的投影向量为
，可知
在
上的投影的数量为
，
故根据数量积的几何意义，
等于
与
在
上的投影的数量的乘积，
故
．
故选：A．
3．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑
中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示，
是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则
的最大值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】C
【分析】过C 作
交
延长线于E 点，则
，当C 位于D 点时，
取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】
过C 作
交
延长线于E 点，则
，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C 位于D 点时，
取得最大值，
此时
，
，
故选：C.
4．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设
，
为非零向量，若
，则
，
的夹角为锐角
B．设
，
，为非零向量，则
C．设
，
为非零向量，若
，则
D．若点
为
的重心，则
【答案】CD
【分析】由
，可得
，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等
于0 计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A 选项，若
，则
，
，
与
平行或
与
夹角为锐角，所以A 错误；
对于B 选项，
，
，为非零向量，则
是与共线的向量，
是与
共线的向量，
而
与不一定共线，故
不一定成立，所以B 错误；
对于C 选项，因为
，所以
，
，所以C 正确；
对于D 选项，
为
的重心，
则点
，
，
分别为
，
，
的中点，
且
，
，
，
则
，所以D 正确．
故选：CD．
02 平面向量数量积的运算
5．在矩形
中，
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．9
【答案】C
【分析】直接利用数量积的运算律代入计算即可.
【详解】
，
由于在矩形
中，
，且相邻边互相垂直，
因此
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
代入得：
.
故选：C
6．如果向量
，
满足
，
，且
，则
和
的夹角
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据平面向量垂直得出
；再利用平面向量夹角的计算公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，即
.
又因为
，
所以两向量夹角的余弦值为
.
又因为
，
所以
，
故两向量夹角的大小是
.
故选：B
7．在
中，
且
，
为边
的中点.若
在边
上运动（点
可与
重合） ，
则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将
，
用其他已知方向和模长的
向量表示，计算数量积，求最小值.
【详解】由题，
为等腰直角三角形，
，
，
，
设
，
，
则
，
，
所以
，
即
，因为
，所以当
时，
最小等于
.
故选：A.
8．已知向量
满足
，若
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律，建立方程并化简，可得答案.
【详解】设
与
的夹角为
，
由
，
则
，解得
.
故选：C.
9．若
，
，
为单位向量，则
.
【答案】
【分析】根据向量的模长计算公式，及数量积运算求解即可.
【详解】
都为单位向量，
，
即
，
，
，
故答案为：
．
10．设向量
，
，已知
．
(1)求实数
的值；
(2)求
与
的夹角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的模长及数量积的坐标运算即可求解.
（2）根据向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）
，
，所以
，
即
，
所以
，解得
.
（2）设
与
的夹角为
，
，
所以
，
，由（1）得
，
所以
，
，即
与
的夹角为
03 数量积的坐标表示
11．已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量垂直的坐标表达式计算即得.
【详解】由
可得
，解得
.
故选：C.
12．已知
其中k 为实数，若向量
与
的夹角为钝角，则k 的取值范围（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】D
【分析】由
，结合
不共线可得答案.
【详解】
，
不共线时，
.
所以
.
故选：D．
13．（多选）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式，即可判断选项.
【详解】对于A，因为
，
所以
，故A 错误；
对于B，因为
，
所以
，即
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：BCD.
14．（多选）已知向量
，
满足
，
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的取值范围为
D．若
与夹角为钝角，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标表示以及模为1 可以列出方程组求出
；对于选项B，利用向
量的共线可以求出
的值；对于选项C，将模平方，展开后根据向量夹角的范围求出模的范围即可；对于
选项D，根据向量夹角的余弦公式即可求出
的范围.
【详解】对于选项A：
因为
，所以
.
设
，则
，解得
或
.
所以
或
，所以A 错误.
对于选项B：
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以B 错误.
对于选项C：
.
因为
，所以
，所以
.所以C 正确.
对于选项D：
因为向量
的夹角为钝角，所以
且
.
所以
且
，
所以实数
的取值范围为
且
，所以D 错误.
故选：ABD.
04 投影向量
15．已知向量
满足
且单位向量
在
方向上的投影向量为
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得.
【详解】因为
在
方向上的投影向量为
，所以
，
可得
，即
；
因为
，
为单位向量，所以
，所以
.
故选：A．
16．在
中，已知
，若向量
在向量
上的投影向量为
，
，则实数m
的值为（ ）
A．
B．5
C．2
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，可得
，利用同角的平方关系可求得
，利用投影向量的
定义可得
，计算可求得
.
【详解】由
，可得
，所以
是直角三角形，且
，
因为
，所以
，又
，所以
，
又因为向量
在向量
上的投影向量为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，解得
.
故选：B.
17．已知
，
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义、数量积的运算律即可求解.
【详解】
，
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量为
.
故选：C.
18．已知
，
，则
在
方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的意义求解.
【详解】由
，
，得
，
，
所以
在
方向上的投影向量为
.
故答案为：
05 向量在几何中的应用
19．已知
的外接圆圆心为O，且
，
，点D 是线段BC 上一动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据条件，确定
的形状，再以
为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的
坐标表示
，再结合二次函数求最小值.
【详解】因为
，所以
为
中点，
又
为
的外接圆圆心，所以
为直角三角形，
，
又
，所以
为等边三角形，
如图，以
为原点，建立平面直角坐标系：
则
，
，设
，
，
则
，
，
所以
，（当
时取“
”）.
故选：C
20．如图，已知
是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和
的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值.
【详解】
是
的垂心，延长
交
与点
，
设
，
，
同理可得
，
，
又
，
，
又
，
，
不妨设
，其中
，
，
，解得
或
，
当
时，此时
，则
都是钝角，
则
，矛盾.
故
，则
，
是锐角，
，
于是
，解得
.
故选：A.
21．如图，
是以
为直径的半圆和
围成的区域内一动点（含边界），若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．18
D．24
【答案】C
【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为
，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助
图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.
【详解】
取
中点为
，由
，
因为
，所以
，
若
在
围成的区域内一动点（含边界），当
与
重合时
取到最大值，
,
若
在以
为直径的半圆区域内一动点（含边界），
此时
，当P 为直线OM 与半圆的交点时等号成立，
因为
，
所以
，
故
的最大值为
，
故选：C.
22．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF 的边长为1，点
在其边上运动，点P 是其内部一点
（包含边界），则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出
，结合图形特征以及数
量积的运算即可求解.
【详解】过点
作
于
，
所以
且
，其中
,
，
当
点与
点重合时，
在
方向上的投影最大，此时
,
取得最大值为；
当
点与
点重合时，此时
，即
，故
，取得的最小值为
；
的取值范围是
．
故答案为：
．
23．如图，在梯形
中，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，且
，
是线段
上的一个动点．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，设
，表达出
，
，由
得到
方程，求出
，利用平面向量夹角余弦公式求出答案；
（2）设
，表达出
，结合
，求出
.
【详解】（1）以
为原点，
为
轴正半轴，
为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，
，
，设
，则
，
，
，
，
，
由
，则
，即
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
又
为锐角，
；
（2）设
，
，
，
，
，
，
.
06 向量在物理中的应用
24．已知三个力
，
，
同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力
，
该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出
即可.
【详解】由题意，作用在该质点上的三个力
，
，
，
则
．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需
．
故选：C.
25．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边
处出发，向对岸航行，若船的速度
，
水流速度
，且船实际航行的速度的大小为9，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．12
【答案】A
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，
，求得
的坐标，然后利用坐标求模长建立关
于
的方程，解方程即可得解.
【详解】
设船实际航行的速度为
，则
，
又
，所以
，解得
（负值舍去）.
故选：A
26．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为
，
作用在行李包上的两个拉力分别为
，且
与
的夹角为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
越小越费力，
越大越省力
C．当
时，
D．
的范围为
【答案】AC
【分析】根据向量的平行四边形法则，由
可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解.
【详解】
因为
，所以平行四边形法则为菱形，故
，即
，故A 正确；
根据向量加法的平行四边形法则
越小越省力，
越大越费力，故B 错误；
当
时，
，又
，所以
为等边三角形，即
，故C 正确；
若
，则
，与
矛盾，所以
，故D 错误；
故选：AC.
27．如图，无弹性细绳
，
一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳
的下端吊一重物，要保持此
状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填
或
或
)．
【答案】
【分析】设
三条绳受的力分别为
，则
，根据向量加法法则和直角三角形三边
关系得到
，得到答案.
【详解】设
三条绳受的力分别为
，则
，
合力为
，
，
如图，在平行四边形
中，
∵
，
∴
，
即
，故细绳OA 受力最大，即对OA 绳的耐力性要求最高．
故答案为：
07 向量新定义
28．（多选）设向量
的夹角为
，定义
，已知平面内互不相等的两个非零向量
满
足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，则
，则
中，
，
，外接圆的半径为1，设
，由正弦定理可得，
，
，则
，利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】设
，
，则
，
因为
，
与
的夹角为
，
所以
中，
，
，如图所示，
由正弦定理得
外接圆的半径为
，
则
为圆上与
不重合的动点，
设
（
），
由正弦定理可得，
，
，
则
，
所以当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.
故选：D.
29．令
表示全体平面向量构成的集合，若对于任意
，都存在唯一的正整数（记为
）与之对
应，且对任意向量
和任意实数
都有
，则对于集合
中所含元素的个数说法正确的是（ ）
A．
中至少有两个元素
B．
中至少有无数个元素
C．
中至多有三个元素
D．
中至多有无数个元素
【答案】C
【分析】由题意可得对任意的
的线性组合对应的值小于等于
对应的值的最大值，且是唯一的，进而
举例分析求解即可.
【详解】由
，
则
，
即对任意的
的线性组合对应的值小于等于
对应的值的最大值，且是唯一的.
若对于任意的
，都有
（为常数，且为正整数），
满足对任意向量
，都有
，
此时集合
，只有1 个元素；
设对于
，对应
，
任取
，则
，
由于
，则
，此时集合
有2 个元素；
设对于
，对应
，
任取
，则
，
由于
，则
，此时集合
有3 个元素；
当集合
中所含元素的个数有4 个及以上时，
设
，
，且
，
任取
，则
，
当
，且
时，
对应的值并不是唯一的，可以取除
以外的值，
因此，这种情况不满足题意.
综上所述，
中至多有三个元素.
故选：C.
30．（多选）已知两个非零向量
，
的夹角为
，定义运算
：
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
，
B．
在
上投影向量的模为
C．若
，
，则
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正弦值与余弦值的关系，结合题意，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算公
式，可得其正误，对于CD，数量积的坐标运算，求得夹角，可得其正误.
【详解】对于A，当
时，
，则
，故A 正确；
对于B，
在
上投影向量的模为
，
，故B 错误；
对于C，由
，
，则
，所以
，故
C 正确；
对于D，由
，
，
，
则
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
31．已知向量
，
，定义向量的新运算：
．设向量
，
．若
，则
；若
，则
．
【答案】
【分析】第一空，利用向量共线求得
，进而利用定义计算即可；第二空，利用定义计算可求得
.
【详解】第一空：因为
，
．
，所以
，解得
．
所以
，所以
；
第二空：由
，可得
，
解得
，所以
，又
，所以
，
所以
.
故答案为：①
；②
.
32．已知向量
与向量
的对应关系用
表示．
(1)设
，
，求向量
及
的坐标；
(2)求满足
的向量的坐标；
(3)证明：对任意向量
、
，均满足
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对应关系计算即可；
（2）根据设
，根据对应关系可得关于
的方程组，求出其解后可得向量的坐标；
（3）设
，
，根据对应关系可得
及
后可得两者相等.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
．
（2）设
，则
，
因为
，则
，即
解得
因此
．
（3）设
，
，∴
，
，
又
，
，
所以
，
所以对任意向量
，
，均满足
．
．
1．
已知向量
，
，且满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据模长的坐标公式以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】由
，在
，
由
，则
，即
，
所以
.
故选：D.
2．
人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相
似度的常用方法．假设平面内有两个点
，
，O 为坐标原点，定义余弦相似度为
，余弦距离为
．已知点
，
，则A，B 两点的余弦距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可.
【详解】根据题意，
，
则
，
所以
两点的余弦距离为
.
故选：D.
3．
函数
的部分图象如图中实线所示，
为函数
与
轴的交点.圆
与
的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F 六点，且
在
轴上，则下
列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】AF 为圆
的直径，可得
判断A；由题意可得
，可求得
，判断C；利用
，可求得
判断C；由题意得不出
，可判断B.
【详解】根据
的图象以及圆
的对称性，可得A，F 关于
对称，且AF 为圆
的直径，
，故A 正确；
同理B，E 关于
对称，
，
故C 正确；
，故D 正确.
由题意可得A，F 关于
对称，B，E 关于
对称，所以
为圆的直径，
而
，
，故
，
若
，则
，故
，
而
，故
，
故
，而
，故
，故矛盾，故
不垂直于
，
故
，故B 错误.
故选：B.
4．已知
，
，
三点不共线，
，其中
，
为实数且不同时为0，则下列结论不正确
的是（ ）
A．若
，则
，
，
三点共线
B．若
，则点
为
的重心
C．若
，则
平分
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据向量共线、三角形重心、角平分线以及向量垂直的相关性质逐一分析选项.
【详解】对于选项A：
因为
，所以
，
所以
.
所以
.
所以点
三点共线，所以A 正确；
对于选项B：
，设
的中点
，
根据向量加法的平行四边形法则得
，所以
.
根据三角形重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，且重心分得所在线段长度为
，
可知点
为
的重心，B 正确；
对于选项C：
设
，则
，
分别是与
同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
菱形的对角线平分内角，所以
平分
，所以C 正确；
对于选项D：
.
因为
，所以
，
因为
不一定为0，所以
与
不一定垂直，所以D 错误.
故选：D.
5．在矩形
中，
，
，点
是边
上的一点，且
，则
的值为 .
【答案】
【分析】以
为平面内一组基底表示
，再由向量数量积运算律计算即可.
【详解】由题意知
，
，
所以
.
故答案为：
6．
如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边
上有10 个不同的点，
，记
，若
，则等边三角形的边长为 .
【答案】3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线
的方程，将
代入直线
的方程，并用向量的坐标
表示出
，和上式联立，即可得出
，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为
，以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
直线
的斜率为：
，方程为：
，
设
，因为
在
上，所以
，
且
，依题意，
，所以
，解得
（负的舍去），即等边三角形的边长为3.
故答案为：3.
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
5．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线
与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
及抛物线方程求得
，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线
的
方程，联立抛物线求得
，即可求出
判断B 选项；由抛物线的定义求出
即可判
断C 选项；由
，
求得
，
为钝角即可判断D 选项.
【详解】对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
又
，则
为钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
6．（上海·高考真题）若
，且满足
，则
.
【答案】
/
【分析】设
，利用数量积定义求出
，即可求出
.
【详解】因为
，所以
，设
.
由
可得：
，
两式相除得：
.
又
，且
解得：
.
因为
，所以
，解得：
.
故答案为：
.
7．（浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立
平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设
，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
，然后利用
即可解出．
【详解】以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则
,
，设
,于是
，
因为
，所以
，故
的取值范围是
.
故答案为：
．
8．（天津·高考真题）在
中，点D 为AC 的中点，点E 满足
.记
，用
表
示
，若
，则
的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出
，以
为基底，表示出
，由
可得
，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点
为原点建立平面直角坐标系，设
，由
可得点
的轨迹为
以
为圆心，以
为半径的圆，方程为
，即可根据几何性质可知，当且仅当
与
相切时，
最大，即求出．
【详解】方法一：
，
，
，当且仅当
时取等号，而
，所以
．
故答案为：
；
．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，
，
，所以点
的轨迹是以
为圆心，以
为半径
的圆，当且仅当
与
相切时，
最大，此时
．
故答案为：
；
．
