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第03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关平行命题的判断
题型02 线面平行的判定定理
题型03 线面平行的性质定理
题型04 面面平行的判定定理
题型05 面面平行的性质定理
题型06 线面平行的探索性问题
题型07 面面平行的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关平行命题的判断
1．在如图所示的正方体
中，一条平行于
的直线与该正方体的表面交于P、Q 两点，
其中点P 在侧面
上，有以下结论：①平面ABCD 上不存在满足条件的点Q；②平面
上存在
满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①，②均错误
2．（多选）设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若
，
，则
、
是异面直线
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．（多选）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
，
是异面直线
D．若
，
，
，则
或
，
是异面直线
4．（多选）已知平面
平面
直线，点
平面
，点
平面
，且
，点
分
别是线段
的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．当
时，
不可能重合
B．
可能重合，但此时直线
与不可能相交
C．当直线
相交，且
时，
可与相交
D．当直线
异面时，
可能与平行
02 线面平行的判定定理
5．已知在四棱锥
中，侧面
平面
，
，
，
，
，
分别是
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
6．如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，
、
为底面圆的两条直径，且
，
，P
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求圆锥
的表面积．
7．如图，四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，点
在线段
上，
平面
，
，
是
的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)求三棱锥
的体积．
8．如图，在棱长为1 的正方体
中，M，N 分别是线段
上的动点，且满足
．
(1)证明：
平面
．
9．如图所示，在正四棱锥
中，P 为侧棱
上的点，且
，Q 为侧棱
的中点，平面
平面
．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
．
03 线面平行的性质定理
10．在平行六面体
中，点M 是
上靠近B 的三等分点，直线DM 交平面
于点N，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，在棱长为1 的正方体
中，设
分别是线段
、
上的动点，若
平面
，则线段
长的最小值为 ．
12．在棱长为2 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是上底面
A1B1C1D1内
一点（含边界），若
平面
，则
点的轨迹长为 .
13．如图，在四棱锥
中，
，
.点E 在AD 上，且
，
.
(1)求证：
平面SCE；
(2)若点F 在线段SE 上，且
平面SCD，求证：F 为线段SE 的中点.
14．在空间四边形
中，
，与直线
都平行的平面分别交
于点E，
F，G，H．
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求四边形
的周长．
04 面面平行的判定定理
15．（多选）在正方体
中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）
A．平面
与平面
B．平面
与平面
C．平面
与平面
D．平面
与平面
16．图1 是边长为1 的正六边形
，将其沿直线
折叠成如图2 的空间图形
，若
，则几何体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，正四棱锥
的底面为平行四边形．
、
、
分别为
、
、
的中点，设平面
与平面
的交线为．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
；
(3)若
，求四棱锥
的体积．
18．如图，在四棱锥
中，四边形
是梯形，
，
，
、
分别是棱
、
上的点，且
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)记多面体
的体积为
，三棱锥
的体积为
，求
的值.
05 面面平行的性质定理
19．如图，四棱柱
中，四边形ABCD 为平行四边形，E，F 分别在线段DB，
上，
，G 在
上且平面
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（ 2023·黑龙江大庆·三模）如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点，
为底面
上一点，若直线
与平面
没有交点，则
面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，在正方体
中，M，N 分别为棱
，
的中点，过点
、M、N 作正方体的
截面
交
于点Q，则
.
22．如图，在多面体
中，四边形
是菱形，且有
，
，
，
平面
，
．求证：
平面
；
23．如图，在三棱柱
中，侧面
是矩形，侧面
是菱形，
，
、
分
别为棱
、
的中点，
为线段
的中点．证明：
平面
.
06 线面平行的探索性问题
24．如图，在正方体
中，
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)棱
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
25．如图，四棱锥
的底面
为平行四边形，
分别为
的中点.
(1)证明：AF
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
平面
，并给出必要的证明.
26．如图，在底面半径为2､高为4 的圆柱中，
，
分别是上､下底面的圆心，四边形
是该圆柱的
轴截面，已知
是线段
的中点，
是下底面半圆周上靠近
的三等分点.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)在底面圆周上是否存在点
，使得
平面
？若存在，请找出符合条件的所有
点并证明；若
不存在，请说明理由.
27．如图所示，三棱柱
，底面是边长为2 的正三角形，侧棱
底面
，点
分别是
棱
上的点，点
是线段
上的动点，
．
(1)当点M 在何位置时，
平面
?
(2)若
平面
，求
与
所成的角的余弦值．
07 面面平行的探索性问题
28．如图，在正方体
中，
为
的中点．能否同时过
，B 两点作平面
，使平面
平面
？证明你的结论．
29．如图，在直四棱柱
中，底面
为正方形，
为棱
的中点，
．
(1)求三棱锥
的体积．
(2)在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证明.如果不存在，
请说明理由.
30．知正方体
中，
、
分别为对角线
、
上的点，且
(1)求证：
平面
；
(2)若
是
上的点，
的值为多少时，能使平面
平面
？请给出证明.
31．如图
平面
，
是矩形，
，
，点
是
的中点，点
是
边上的
任意一点．当
是
的中点时，线段
上是否存在点
，使得平面
平面
，若存在指出点
位置并证明，若不存在说明理由．
32．如图，在三棱柱
中，
，
分别为线段
，
的中点．
(1)求证：
平面
．
(2)在线段
上是否存在一点
，使平面
平面
请说明理由．
1．已知正四棱柱
的侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱
的中点，F 是棱
上靠近点C
的三等分点，动点P 在侧面
（包括边界）内运动，若
平面
则线段
长度的最小值是
（ ）
A．
B．3
C．
D．
2．
正四面体
的体积为
为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，
则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（ 2024·四川乐山·三模）在三棱柱
中，点
在棱
上，且
，点
在棱
上，
且
为
的中点，点
在直线
上，若
平面
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，在长方体
中，
，
，点
在矩形
内运动（包括边界），
，
分别为
的中点，若
平面
，当
取得最小值时，
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，几何体
是四棱锥，
为正三角形，
，
，
为线段
的中点.则直线
与平面
的位置关系为 （填相交或平行）.
为线段
上一点，使得
四点共面，则
的值为 .
6．（ 2024·浙江·模拟预测）三棱锥
的所有棱长均为2，E，F 分别为线段BC 与AD 的中点，M，
N 分别为线段AE 与CF 上的动点，若
平面ABD，则线段MN 长度的最小值为 ．
7．如图，在正四面体
中，
，E，F，R 分别是
，
，
的中点，取
，
的中点
M，N，Q 为平面
内一点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
平面
，求线段
的最小值．
8．如图已知四棱锥
，底面
为梯形，
，
，
，P、Q 为侧
棱
上的点，且
，点
为
上的点，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)平面
与侧棱
相交于点
，求
的值．
1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E
在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明:
平面
；
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边
形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
7．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面
是边长为8（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面
垂直．
(1)证明：
平面
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
8．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N 分别为
，AC 的中点．
(1)求证：
平面
；
