文档文本内容
第03 讲 导数与函数的极值、最值
目 录
模拟·基础演练.....................................................................................................................2
题型01 （导）函数图象与极值.............................................................................................................2
题型02 求函数的极值（点）.................................................................................................................4
题型03 已知函数的极值（点）求参数
..........................................................................................4
题型04 已知极值（点）个数求参数
..............................................................................................5
题型05 求不含参函数的最值.................................................................................................................6
题型06 导数在解决实际问题中的应用
..........................................................................................7
题型07 根据函数的最值求参数.............................................................................................................9
题型08 求含参函数的极值和最值.......................................................................................................10
题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题
............................................................................12
题型10 恒成立问题
....................................................................................................................... 13
重难·创新演练..................................................................................................................15
真题·实战演练..................................................................................................................17
模拟·基础演练
考查重点：本模块围绕导数极值、最值展开，重点依托导函数图像判断极值，掌握极值、最值常规
求解与含参逆向计算；结合实际应用、零点、恒成立综合题型，考查构造转化与分类讨论，突出数
形结合与综合运算能力。
题型01 （导）函数图象与极值
1．（多选）若函数
导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
是
的一个极大值点
B．
是
的一个零点
C．
不是
的一个极小值点
D．
是
的一个极大值点
2．已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
3．已知
是定义域为
的函数
的导函数，且函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
在
上为增函数
B．
的最小值为
C．
的极大值为
，极小值为
D．
的极小值点为0，极大值点为1
4．（多选）已知
是
上连续可导函数，若函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
有三个极值点
B．
在
单调递减
C．
D．
5．（多选）函数
的图象如图所示，设
是函数
的导函数，则下列
结论正确的是（ ）
A．
的解集是
B．
C．
时，
取得最大值
D．
的解集是
题型02 求函数的极值（点）
6．请写出函数
的一个极值点_________．
7．已知三次函数
的导函数为
，若
，则函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
9．
，下列说法正确的是（ ）
A．0 是极大值点
B．
是极大值点
C．
是极小值点
D．
是极大值点
10．已知等比数列
的各项均为正数，
，
是函数
的两个极值点，则
（ ）
A．1013
B．1014
C．2025
D．2026
题型03 已知函数的极值（点）求参数
11．已知函数
为其一个极值点，且
，则
______．
12．已知函数
在
处取得极值，则
的值为_______.
13．已知函数
在
处有极值44，则
（ ）
A．-6 或10
B．-6
C．6
D．10
14．已知函数
在
处取得极值0，则
______.
15．已知函数
；
(1)若函数
在
处取得极小值－4，求实数
的值；
题型04 已知极值（点）个数求参数
16．已知函数
，若
有且只有1 个极值点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．若函数
在区间
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．对任意
，函数
不存在极值点的充要条件是________.
19．已知函数
是一个奇函数
(1)若
的最小值为
，求
的单调区间；
(2)若
不存在极值，求的取值范围．
20．已知函数
．
(1)若
存在两个极值点，求实数
的取值范围；
21．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
题型05 求不含参函数的最值
22．已知函数
，
，则函数
的最大值为__________.
23．函数
的最小值为______.
24．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
25．已知函数
，
是
的导函数．
(1)求
的值；
(2)求曲线
在
处的切线方程；
(3)求
的最小值．
26．已知函数
（a 为常数），若曲线
在点
处的切线垂直于直线
．
(1)求a 的值；
(2)求
的单调区间和最值．
题型06 导数在解决实际问题中的应用
27．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是
，它的值是固
定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，
______．
28．如图，一块边长为6cm 的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的
四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚
度）的最大值为______
.
29．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是
米，左侧走廊的宽度为
米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬
管的最大实际长度
为可通过的最大极限长度的
倍，则
的值是_________.
30．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200 万元，每生产x 万台设备，则每台另需投
入成本
元，且
．已知每台设备售价10000 元，且生产的设备能全部
销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数）
31．将一个边长为
的正方形铁片的四角截去四个边长为
的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒
子的容积为
.
(1)建立
关于
的函数，并求
的最大值；
(2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为
，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小
正方形的边长
的取值（用仅含
的式子表示）.
32．为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入
住量
（单位：间）与价格
（单位：千元/间）满足
，其中
，该民宿的综合成
本为千元/间．
(1)将该民宿每日所获利润
表示为价格
的函数；
(2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？
（参考数据：
，
，
）
题型07 根据函数的最值求参数
33．若函数
在区间
上存在最小值
，则实数
的取值范围是_________.
34．已知函数
在
上的最小值为0，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知函数
，
在
上的最小值为
，则
的最大值为
_____________．
36．函数
在
上的最大值是1，则
在
上的最小值是______．
37．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值．
38．设函数
（
为常数）．
(1)若
在
上是增函数，求a 的取值范围；
(2)是否存在a，使得当
时，
有最大值
？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
题型08 求含参函数的极值和最值
39．已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在区间
上的最大值.
40．已知
是实数，函数
(1)若
，求
的值及曲线
在点
处的切线的方程；
(2)当
时，求
在区间
上的最小值．
41．已知函数
为
上的奇函数.
(1)确定
的值并求出函数的值域
(2)若函数
，讨论
的极值取得情况.
42．设函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)求
在
上的极值．
43．已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，讨论函数
在区间
上的单调性及最小值．
题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题
44．已知函数
．若函数
有两个不同的零点，则
的取值范围为__．
45．已知函数
，若函数
有2 个零点，则实数m 的取值范围是_________．
46．已知函数
（是自然对数底数）在定义域
上有三个零点，则实数的取值
范围是______．
47．已知函数
．
(1)若
是
的极值点，求
；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
48．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的零点个数．
题型10 恒成立问题
49．已知不等式
对任意的
恒成立，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
50．设函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
51．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
52．已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，试确定
的零点个数；
(3)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
53．已知
，
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．
54．已知函数
，
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
重难·创新演练
设题创新:依托新颖设问、自定义规则命题，不再局限套路化求极值最值，常融合新定义条件，灵
活结合函数零点、恒成立综合设问，侧重考查学生临场阅读理解、知识迁移与数形结合的综合解题
能力。
1．【新考法】（2026·湖南·三模）当函数
的零点个数最多时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．【新角度】（2025·26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列
满足
，当
最大时，
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．【新定义】（2025·26 高二下·上海·期中）函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：
函数
在区间
内可导，
是
内任一点.若曲线弧上点
处的切线（除切点外）总位
于曲线弧的下方，则称曲线弧在
内是凹的；若曲线弧上点
处的切线（除切点外）总位于曲
线弧的上方，则称曲线弧在
内是凸的.函数
在区间上为凹（凸）函数等价于
的导函数在区间
上单调递增（递减）.若
在定义域内是凹函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．【新考法】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的图象关于原点中心对称
B．存在
，使得
C．函数
的图象与函数
的图象没有公共点
D．函数
极值点个数为3
5．【新角度】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数
有两个极值点，设这两
个极值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·26 高二下·北京朝阳·期中）已知函数
，给出以下四个结论，其中结论正确的有
______：
①
有且仅有一个零点；②
在区间
上单调递减；③
既有最小值，又有最大值；④存
在实数
，使方程
有3 个实数根.
7．【新定义】（2026·湖北·三模）已知函数
．
(1)若
存在大于零的极值，求a 的取值范围；
(2)对于函数
，若
，则称
为
的不动点．判断是否存在a，使得
的极值点同时也
是不动点，并说明理由．
8．【新载体】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求
在
内的单调性；
(2)若存在
，使得
，求实数
的取值范围；
真题·实战演练
高频考点：导函数图像判极值、常规求极值与极值点、由极值条件求参、限定极值个数求参、区间
最值求解、最值逆向定参、零点与恒成立综合；多分布选填与解答，中档综合居多，参数讨论、数
形结合为命题热点。
1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2025·上海·高考真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
7．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
