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第 04 讲 指数与指数函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数 的图象，只需将指数函数 的
图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】由 向右平移 个单位，则 .
故选：D
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）某款电子产品的售价 （万元/件）与上市时间 （单位：
月）满足函数关系 （a，b为常数，且 ），若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的
售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为（ ）（参考数据：
）
A．3.016万元 B．2.894万元 C．3.048万元 D．2.948万元
【答案】B
【解析】由题得 ， ，得 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意舍去，
当 时， ，则 ，所以 ，
当 时， ，
所以在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为2.894万元．
故选：B．
3．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数 同时满足性质：① ；②对于 ，
，则函数 可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】由函数奇偶性的定义，若函数 满足 ，则函数 为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数 满足 ， ，则函数 在区间 上单
调递增，
选项中四个函数定义域均为 ， ，都有
对于A， ，故 为奇函数，满足性质①，
∵ 与 均在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质， 为非奇非偶函数，在 上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C， ，故 为奇函数，满足性质①，
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的单调递增区间为 ， ，故 在 不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质， 为偶函数，在区间 单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
所以函数 关于 对称，将 的函数图象向左平移 个单位，关于 轴对称，
即 为偶函数.
方法二：因为 ， ，
则 ，所以 为偶函数；
又 ，故 ， ，所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数.
故选：B
5．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ，则对任意非零实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 ， ，
则 ，显然 ，且 ，AB
错误；
，D正确，C错误.
故选：D
6．（2023·江西新余·统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之
一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为
“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为 ，则下列关于 的说法正
确的是（ ）
A． ， 为奇函数
B． ， 在 上单调递增
C． ， 在 上单调递增D． ， 有最小值1
【答案】B
【解析】由题意易得 定义域为R， ，即 为偶函数，
故A错误；
令 ，则 且 随 增大而增大，
此时 ，由对勾函数的单调性得 单调递增，
根据复合函数的单调性原则得 在 上单调递增，故B正确；
结合A项得 在 上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得 ，故D错误.
故选：B.
7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，对任意正数 ， ，都有
，且 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，即 ，
令 ， ，则 ，又 ，则 ，
不妨取任意正数 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，所以 在区间 上单调递增，
又 是定义在 上的奇函数，故 在区间 上单调递增，
令 ，则 ，令 ， ，则 ，
∴ ，
又因为 ，即 ，由 和 ，结合函数单调性可以得到 或 ，
故选：B.
8．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数 ， 是 的导函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，易知 ， ，
所以 ，所以 ，错误；
对于B，因为 ，所以 ，
由 知 ，错误；
对于C， ， ，
虽然 ，但是 ，
故对 ， 不恒成立，错误；
对于D，函数 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，正确.
故选：D
9．（多选题）（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A中，原式 ，所以A正确；
对于B中，原式 ，所以B正确；
对于C中，原式 ，所以C错误；
对于D中，原式 ，所以D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知 ， 为 导函数， ， ，则下列
说法正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．当 且 时， 恒成立
C． 的值域为 D． 与曲线 无交点
【答案】AD【解析】对A， ， ，∴ 为偶函数，A对；
对B， ，因为 ，
所以当 ， ，B错；
对C，由 可得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，C错；
对D，由 ，方程无解，∴ 与曲线 无交点，D对.
故选：AD
11．（多选题）（2023·安徽合肥·统考一模）已知 ，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】当 时，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递增，而 ，函数图象为曲线，A可能；
当 时，函数 在 上的图象是不含端点 的射线，B可能；
当 时，取 ，有 ，即函数 图象与x轴有两个公共点，
又 ，随着 的无限增大，函数 呈爆炸式增长，其增长速度比 的大，
因此存在正数 ，当 时， 恒成立，即 ，C可能，D不可能.
故选：ABC
12．（多选题）（2023·安徽合肥·统考一模）已知数列 满足 ．若对 ，都有成立，则整数 的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BC
【解析】由 可得 ，
若对 ，都有 成立，即 ，
整理可得 ，所以 对 都成立；
当 为奇数时， 恒成立，所以 ，即 ；
当 为偶数时， 恒成立，所以 ，即 ；
所以 的取值范围是 ，则整数 的值可能是 .
故选：BC
13．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）若 ，则当 取得最小值时， _______.
【答案】
【解析】根据指数函数值域可知 ，
则依题意得 ，而 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 .
故答案为： .
14．（2023·北京房山·统考二模）已知函数 ，给出两个性质：
① 在 上是增函数；
②对任意 ， ．
写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式， _______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取函数 ，由指数函数的单调性可知，
函数 在 上为增函数，满足性质①；
因为 恒成立，所以 恒成立，
所以对任意 ， ，满足性质②.
故答案为： （答案不唯一）15．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式 的解集是______
【答案】
【解析】令 ，由于 均为单调递增函数，因此 为 上的单调递增
函数，又 ，故 的解为 ，
故答案为：
16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数 （ 且 ），若关于 的不等式
的解集为 ，其中 ，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意知若 ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∵ 的解集为 ，
∴ ， ，且 的解集为 ，
∴ 与 是 的两根，
故 ，∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
故答案为：
17．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)已知 ，求 的取值范围．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，又因为 是奇函数，
则 ，解得 ；
经检验 ，故 成立；
（2）因为对任意 ，有
所以 在 上单调递增
又 ，所以
解得
18．（2023·陕西渭南·统考一模）计算下列各式的值.
(1) ；
(2) .
【解析】（1） ；
（2） .
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 为定义在 上的偶函数， ，且
．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
【解析】（1）由题意易知， ，则 ，
即 ，
故 为奇函数，故 为奇函数，
又 ①，则 ，
故 ②，
由①②解得 ， ；
（2）由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
解得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
20．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数 且 ）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数 在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）证明：由函数 为奇函数，有 ，解得 ，
当 时， ， ，符合
函数 为奇函数，可知 符合题意．
设 ，有
，
由 ，有 ，有 ，故函数 在 上单调递增；
（2）由
．
（1）当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
（2）当 时，有 ，解得 ，
由上知实数 的取值范围为 ；
（3）由 ，方程 可化为 ，
若函数 有且仅有两个零点，相当于方程 有两个不相等的正根，故有 ，即 解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
21．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求实数m的值.
(2)当 时，求 的值.
【解析】（1）由 定义域为R且为奇函数，则 ，可得 ，
所以 ，则 满足，
所以 .
（2）当 时，令 ，则 ，
由（1）知 为奇函数，则 ，
所以 .
22．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知函数 （ 为常数，且 ， ）．
(1)当 时，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(2)当 为偶函数时，若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， 在 上单调递增，
∴当 时， ，
对任意的 都有 成立，转化为 恒成立，即 对
恒成立，
令 ，则 恒成立，即 ，
由对勾函数的性质知： 在 上单调递增，故 ，
∴ 的取值范围是 .（2）当 为偶函数时，对xR都有 ，即 恒成立，即
恒成立，
∴ ，解得 ，则 ，
此时，由 可得： 有实数解
令 （当 时取等号），则 ，
∴方程 ，即 在 上有实数解，而 在 上单调递增，
∴ .
1．（2020·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2．（2013·全国·高考真题）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是
A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）
【答案】D
【解析】由题意知，存在正数 ，使 ，所以 ，而函数 在 上是增
函数，所以 ，所以 ，故选D.
3．（2016·全国·高考真题）已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
因为幂函数 在R上单调递增，所以 ，
因为指数函数 在R上单调递增，所以 ，
即 .
故选：A.
4．（2014·陕西·高考真题）下了函数中，满足“ ”的单调递增函数是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A选项：由 ， ，得 ，所以A错
误；B选项：由 ， ，得 ；又函数 是
定义在 上增函数，所以B正确；C选项：由 ， ，得
，所以C错误；D选项：函数 是定义在 上减函数，所以D错误；故选
B.
考点：函数求值；函数的单调性.
5．（2017·全国·高考真题）设函数 则满足 的x的取值范围是
____________.
【答案】
【解析】由题意得： 当 时， 恒成立，即 ；当 时， 恒成立，
即 ；当 时， ，即 .综上，x的取值范围是 .
6．（2015·山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
_____________.
【答案】【解析】若 ，则 在 上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则 在 上为减函数,所以 ，解得 ，所以 .
考点：指数函数的性质.
7．（2013·湖南·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）设集合 不能构成一个三角形的三条边，且 .则 所对应的 的
零点的取值集合为________.
（2）若 是三角形 的三条边，则下列结论正确的是________.
① .
② ，使 不能构成一个三角形的三条边长.
③若三角形 是钝角三角形，则 ，使 .
【答案】 ①②③
【解析】（1）依题意， 不能构成一个三角形的三条边，
因为 ，所以 ，即 ，
此时令 ， ， ，
且 ，
即 ，当且仅当 时 取到 .
所以 所对应的 的零点的取值集合为 .
（2）若 是三角形 的三条边，则 ， ，
对于①， ， ，
所以 ， .①正确.
对于②，不妨令 ，此时 ，不能构成一个三角形的三条边长. ②
正确
对于③， ，因为三角形 是钝角三角形， 为钝角.由余弦定理可知 ，所以 ，故③正确.
故答案为： ；①②③
