第04 讲 基本不等式及其应用
目 录
模拟·基础演练......................................................................................................................................2
题型01 基本不等式成立条件辨析
...............................................................................2
题型02 配凑定值求最值（拆项、配系数）....................................................................5
题型04 特殊情况处理......................................................................................................15
题型05 基本不等式实际应用..........................................................................................21
题型06 含参恒成立问题
.............................................................................................33
重难·创新演练..................................................................................................................................38
真题·实战演练....................................................................................................................................49
模拟·基础演练
考查重点：基本不等式求最值的应用
题型01 基本不等式成立条件辨析
一、单选题
1．（2025·山东菏泽·一模）“x>0”是“2
x+ 1
2
x >2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可.
【详解】若x>0，则2
x>1，所以2
x+ 1
2
x ≥2❑√
2
x⋅1
2
x =2，
由2
x = 1
2
x 得x =0，因为x>0，所以取不到等号，即2
x+ 1
2
x >2，
所以“x>0”是“2
x+ 1
2
x >2”的充分条件；
又x =-1时，2
-1+ 1
2
-1 = 5
2 >2，所以“x>0”不是“2
x+ 1
2
x >2”的必要条件.
综上，“x>0”是“2
x+ 1
2
x >2”的充分不必要条件.
故选：A
【新情境】2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰
直角三角形△ABC中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD =a，
BD =b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【答案】C
【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得到OC = a+b
2
，OD =|OB - BD|，然后在Rt △OCD中，得到
CD 判断.
【详解】解：由图知：OC = 1
2 AB = a+b
2
,OD =|OB - BD|=|
a+b
2
-b|=|
a-b
2 |，
在Rt △OCD中，CD =
❑√OC
2+O D
2=
❑√
a
2+b
2
2
，
所以OC ≤CD，即a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)，
故选：C
3．若非零实数a，b 满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．1
a > 1
b
B．a+b>2❑√ab
C．lga
2>lgb
2
D．a
3>b
3
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由1
a - 1
b = b-a
ab ，因为a>b，可得b-a<0，因为ab不确定，所以A 错误；
对于B 中，只有当a>0,b>0，a,b不相等时，才有a+b>2❑√ab成立，所以B 错误；
对于C 中，例如a=1,b=-2，此时满足a>b，但lga
2<lgb
2，所以C 错误；
对于D 中，由不等式的基本性质，当a>b时，可得a
3>b
3成立，所以D 正确.
故选：D
4． “a> 1
4 ”是“对任意的正数x，均有x + a
x ≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式可判断充分性，取特值可判断不必要性.
【详解】当a> 1
4 ，x>0时，由基本不等式可知x + a
x ≥2❑√x⋅a
x =2❑√a>1，
故“a> 1
4 ”是“对任意的正数x，均有x + a
x ≥1”的充分条件；
当a= 1
4 时，x + a
x ≥2❑√x⋅a
x =2❑√
1
4 =1成立，a> 1
4 不成立，
故“a> 1
4 ”是“对任意的正数x，均有x + a
x ≥1”的不必要条件.
故选：A
二、多选题
5．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A．
❑√x + 1
❑√x ≥2
B．sin x +
1
sin x ≥2
C．x
2+
4
x
2+1
≥3
D．ln(x
2+ 1
2)>ln x
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.
【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需x>0，则❑√x>0，
则❑√x + 1
❑√x ≥2❑√
❑√x⋅1
❑√x =2，当且仅当x =1时，等号成立，故A 正确；
对于B，当sin x =-1，即x =2kπ + 3
2 π，k ∈Z时，有sin x +
1
sin x =-2<2，故不等式不一定成立，故
B 错误；
对于C，由x
2≥0，则x
2+
4
x
2+1
= x
2+1+
4
x
2+1
-1≥2❑√
(x
2+1)⋅
4
x
2+1
- 1=3，
当且仅当(x
2+1)
2= 4，即x =±1时，等号成立，故C 正确；
对于D，由题意知x>0,x
2- x + 1
2 =(x - 1
2)
2
+ 1
4 >0，故x
2+ 1
2 > x,
故不等式ln(x
2+ 1
2)>ln x成立，D 正确．
故选：ACD
【新角度】6．任取多组正数a,b,c，通过大量计算得出结论：a+b+c
3
≥
3√abc，当且仅当a=b=c时，等
号成立．若0<m<3，根据上述结论判断m
2(3-m)的值可能是（ ）
A．❑√17
B．❑√15
C．5
D．3
【答案】BD
【分析】利用已知结论求出m
2(3-m)的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．
【详解】根据题意可得m
2(3-m)= 4× 1
2 m× 1
2 m(3-m)≤4(
1
2 m+ 1
2 m+3-m
3
)
3
= 4，
当且仅当1
2 m=3-m，即m=2时，等号成立．故m
2(3-m)的最大值为4．
从而AC 不可能，BD 可以取．
故选：BD．
7．若a<b<0，则（ ）
A．1
a > 1
b
B．ab>b
2
C．a+b>2❑√ab
D．b
a + a
b >2
【答案】ABD
【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.
【详解】对A、B：∵a<b<0，则b-a>0,ab>0，
∴1
a - 1
b = b-a
ab >0,b
2-ab=b(b-a)<0，即1
a > 1
b，ab>b
2，A、B 正确；
对C∵a<b<0，例如a=b=-1，则a+b=-2,2❑√ab=2，显然不满足a+b>2❑√ab，C 错误；
对D：∵a<b<0，则0< b
a <1, a
b >1，
∴b
a + a
b >2❑√
b
a × a
b =2，D 正确.
故选：ABD.
8．下列函数中最小值为6 的是（ ）
A．y = ln x + 9
ln x
B．y =6|sin x|+
3
2|sin x|
C．y =3
x+3
2- x
D．y = x
2+25
❑√x
2+16
【答案】BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A 选项，当x∈(0,1)时，ln x<0，此时ln x + 9
ln x <0，故A 不正确.
对于B 选项，y =6|sin x|+
3
2|sin x|≥2❑√9=6，当且仅当6|sin x|=
3
2|sin x|，即|sin x|= 1
2时取“=”，故B
正确.
对于C 选项，y =3
x+3
2- x≥2
❑√3
2=6，当且仅当3
x=3
2- x，即x =1时取“=”，故C 正确.
对于D 选项，y = x
2+16+9
❑√x
2+16
=
❑√x
2+16+
9
❑√x
2+16
≥2❑√9=6，
当且仅当
❑√x
2+16=
9
❑√x
2+16
，即x
2=-7无解，故D 不正确.
故选：BC.
题型02 配凑定值求最值（拆项、配系数）
一、填空题
1．（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为
.
2．（2025·江西·二模）已知
，
，
，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】由
得
，根据基本不等式得
，即可求得
的最小值.
【详解】因为
，
，
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
即
（负值舍去），等号成立，
此时
，整理得
，
解得
，
（不符合题意舍去），
即当
，
时，
有最小值为
.
故答案为：
3．若正数
，
满足
，则
的最大值为_______.
【答案】2
【分析】根据
得出
，得出
，
，根据
的范围求出
的范围即可.
【详解】
，
，
，所以
，即
，
，
根据二次函数的性质可知
时，上式取得最大值2.
故答案为：2.
【新思维】4．已知正实数
满足
，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设
，结合立方和公式得出
，由
，解关于的不等式，再利用基本不等
式
，再解关于的不等式得出结果.
【详解】根据题意可得：
，即
，
设
，
则：
，
，
，
，
，
解得
或
，
又
，
，化简得
，
①当
时，不等式不成立；
②当
时，
，即
，
，又
恒成立，可得
，
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．已知函数
且
的图象过定点A，且点A 在直线
上，则
的最小值是______.
【答案】
【分析】求出函数所过的定点
，则有
，则
，则
，化简
整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数
且
的图象过定点
，
则
，所以
，
由
，得
，
则
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
，即
时，取等号，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
且垂直于x 轴的直线与该双曲线
的左支交于A，B 两点，
，
分别交y 轴于P，Q 两点，若
的周长为16，则
的最大值为
________.
【答案】4
【分析】由双曲线定义可得
，分析可得
为
的中位线，结合
、
的周长关系可得
，AB 为双曲线的通径即
，联立上式可得
，则
可由均值不等式求二次商式最大值.
【详解】∵
轴且过
，则AB 为双曲线的通径，由
，代入双曲线可得
，故
.
为
的中点，
，则
为
的中位线，故
，
又
的周长为
，则
的周长为
①，
∵
②，
故由①②可得
，即
，可得
.
故
，当且仅当
即
时取等号.
故答案为：4
7．已知正数
满足
，则
的最小值是_________．
【答案】
【分析】根据题意，将等式
化简变形，得到
的表达式，根据表达式特征利用换元
法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由
可得
，
即
所以
；
又因为
均是正数，令
，则
所以，
令
，
则
当且仅当
，即
时，等号成立；
所以
所以
的最小值为
;
即当
时，即
时，等号成立.
故答案为：
8．已知
，关于
的不等式
对于一切实数
恒成立，又存在实数
，使得
成立，则
的最小值为____________.
【答案】
【分析】首先由不等式恒成立得到
，再由存在成立问题，得到
，从而确定
，然后将原
问题转化为单变量最值问题，利用整体代换和基本不等式得到最值即可.
【详解】由不等式
对于一切实数
恒成立可得
，解得
，
又存在实数
，使得
成立，则
，得
，所以
.
∴
∵
∴
∴
（当且仅当
，
，即
或
取等号）
故答案为：
.
题型03 "1 的代换" 求最值
一、单选题
1．（2026·河北沧州·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立.
【新角度】2．（2026·天津南开·二模）已知
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可知
，易知
，且
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
因此
的最小值为3.
3．（2026·浙江·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
【答案】B
【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
4．（2026·河南·三模）已知函数
，正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析出函数
是
上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出
，然后再利用基本不等
式中“ ”的妙用即可求得结果.
【详解】已知函数
，则
，
因此函数
是一个奇函数，
又因为
在
上恒成立，因此函数
是
上的增函数，
由于正数
满足
，则有
，即得
，
从而有
，
因此
，
根据基本不等式有
，即
，
当且仅当
，即
时取等号，满足
为正数的条件，
所以
的最小值为
.
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆
关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】C
【详解】圆的标准方程为
，所以该圆圆心为
，半径为
，
圆关于直线
对称，所以圆心在该直线上，所以
，即
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为4.
6．（2026·浙江·二模）已知
且
，若函数
有唯一零点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数图像对称性与唯一零点的性质确定零点为
，推导得到
与
的等量关系，再利用基本不等式求解
的最小值.
【详解】∵ 函数
的定义域为
，且
，
∴
为偶函数.
∵
存在唯一零点，若存在非零零点
，则
也为函数零点，与唯一零点矛盾，
故函数
唯一零点为
.
∴
，整理得
.
由基本不等式可得
，
将
代入得
，当且仅当
时等号成立.
联立
，解得
，满足条件，故等号可取.
综上，
的最小值为
.
二、多选题
7．（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1 法可判断BCD.
【详解】由题意可知
，所以
，A 项正确；
，当且仅当
时取等，B 项正确；
所以
，当且仅当
时取等，C 项正确；
，当且仅当
时取等，D 项错误．
三、填空题
8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b 为正实数，直线
与曲线
相切，则
最
大值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得
，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值.
【详解】由
，求导得
，
设直线
与曲线
相切于点
，则有
，
解得
，则
，而
为正实数，
因此
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
9．（2026·福建南平·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________.
【答案】5
【分析】根据题意得
，对
整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由
得
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，当且仅当时
等号成立，
所以
的最小值为5.
题型04 特殊情况处理
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）若存在实数
，使得方程
成立，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．3
C．6
D．8
【答案】B
【详解】设函数
．
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
函数
在
上单调递增，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
的最小值为3．故选B．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
，若正数a，b，满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可知
，进而得到
，则
，再由
基本不等式求解即可．
【详解】
，
关于点
对称，又
，
在
和
单调递减，且
时
，
时，
，
又
，
，
，
又
（当且仅当
时取等），
则
.
二、多选题
3．（2026·山东日照·模拟预测）已知
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的最大值为1
B．
的最小值为1
C．
的最小值为4
D．若
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用
和基本
不等式即可判断C；将
拆分成
，再利用基本不等式即可判断D，
【详解】对于A，已知
，
，由基本不等式有
，
两边平方得
，当且仅当
，即
，
时等号成立，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
由基本不等式有
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
，故B 错误；
对于C，已知
，
，由
可得
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于D，已知
，
，
，则
，
，
，
由基本不等式有
，
当且仅当
，即
时等号成立，
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时等号成立，故D 正确.
4．（2026·湖北十堰·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，满足
．则
（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．若
，则
的最小值为2
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理和均值不等式可判断A 选项；利用和差化积以及积化和差公式将所求式子化为关于
的函数，利用函数的单调性可判断B，C 选项；D 选项可构造反例解答.
【详解】由余弦定理
，
代入
得
又由均值不等式
，结合
得
，即
，
代入上式得
，所以
由于
为锐角，故
，最大值为
（当且仅当
时取等号），所以A 正确；
由正弦定理得
所以
利用和差化积公式：
，
代入即得
因为
，且
，
代入得
于是
，
，
令
，由题意为锐角三角形可知，
，
所以
，由
知
，
又
，即
，
解得
，所以
则
，令
，
因为
在
上递减，
在
上递减，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，所以
正确；
因为
，
令
，其中
，
因为
在
上递减，
在
上递减，
所以函数
在
上单调递减，所以
，所以
正确；
对于D 选项，取
，此时
，
，满足
，
因为
，满足三个角均为锐角，
但
，即此时
，所以D 错误.
5．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，
即可判断；对于B，利用
即可判断；对于C，对式子
两边同时平方可得
，根据
的范围即可判断；对于D，由
可得
，根据二次函数的性质即可判断.
【详解】选项A，由
，可得
，即
，故A 正确；
选项B，利用基本不等式可知
，整理可得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故B 错误；
选项C，整理式子
，可得
，
两边同时平方得
，即
，
因为
，所以
，当且仅当
，
时，等号成立，故C 正确；
选项D，由
，可得
，得
，
则
，
函数
是开口向上的二次函数，对称轴为
，
所以
，故D 正确.
三、填空题
6．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知
为正实数，且直线
与曲线
相切，则
的最
大值为__________.
【答案】
/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线
与曲线
相切，
设切点为
，由
，且切线的斜率为，
所以
，
代入曲线方程中得：
，
所以切点为
，代入直线方程中得：
，
因为
，所以
.
当
时取等号，所以
的最大值为
.则
的最大值为
.
7．（2026·浙江宁波·三模）已知实数
满足
，且
，则
的最小值为_____．
【答案】7
【详解】由
，则
，
即
，又
，则
，
解得
，当且仅当
取等，
则
的最小值为7.
8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列
满足
（
，
为常数），则称数列
为调和
数列，已知数列
为调和数列，且
，则
的最大值为____________.
【答案】
【详解】因为数列
为调和数列，所以
，故
是等差数列，
由
，得
，
所以
，又
，
所以
，当且仅当
或
时取得等号，
由于
，
当且仅当
时，
取得最大值，为
.
题型05 基本不等式实际应用
一、单选题
1．如图，在
中，
，
，
为
所在平面外一点，
的面积为
，且平面
平面
，
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则
，得
，设
，结合面面垂直的性
质、余弦定理、等积转换与基本不等式，即可求得三棱锥
体积的最大值.
【详解】因为平面
平面
，平面
平面
，又
，
平面
所以
平面
，因为
平面
，故
，
设
，则
，得
，设
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以三棱锥
体积的最大值为
．
故选：D．
2．设计用
的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为
，则车厢的最
大容积是（ ）
A．（38－3
m3
B．16 m3
C．4
m3
D．14 m3
【答案】B
【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则
，即
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
．
∴车厢的容积为
．当且仅当
且
，即
时等号成立．
∴车厢容积的最大值为
．选B．
3．最大视角问题是1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．
如图，树顶A 离地面18 米，树上另一点B 离地面11 米，若在离地面2 米的C 处看此树，则
取最
大值时，点C 到树底的距离与
值的积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图，过点
作
，交
于点
，
则
，
，
，
设
，
，
，在
中，
，
在
中，
，
所以
，
其中
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即当
时，
取得最大值
，
点
到树底的距离为水平距离
，则
取得最大值时，
点C 到树底的距离与
值的积为
.
【新情境】4．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物
理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为
，定值电阻
的阻值为
，滑动变阻器
的阻值范
围是
到
，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为
，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则
的功率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】由题知，总电阻
，
电路电流
，
所以滑动变阻器功率为
，
因为
，当且仅当
即
时，等号成立，
此时
满足
到
的范围，
所以此时
最大，且为
.
二、多选题
【新思维】5．如图，圆锥
内有一个内切球
，
为底面圆
的直径，球
与母线
，
分别切于
点
，
.若
是边长为2 的等边三角形，
为底面圆
的一条直径（
与
不重合），则下列
说法正确的是（ ）
A．球
的表面积为
B．圆锥
的侧面积为
C．四面体
的体积的取值范围是
D．若
为球面和圆锥侧面的交线上一点，则
的最大值为
【答案】ACD
【分析】A 选项，正
内切圆即为球
的截面大圆，又正
的边长为2，求出球
的半径
，
得到球的表面积；B 选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C 选项，四面体
被平面
截成体积相
等的两部分，设
到平面
的距离为
，求出正三角形
的边长和面积，求出
；D 选项，动点
的轨迹是圆，可得
，故
，因
此
，由均值不等式得到
，故D 正确.
【详解】A 选项，连接
，等边三角形
内切圆即为球
的截面大圆，球心
在线段
上，
又等边三角形
的边长为2，所以
，
，
则球
的半径
，
所以球
的表面积
，故A 正确；
B 选项，圆锥的侧面积
，故B 错误；
C 选项，由题意可得四面体
被平面
截成体积相等的两部分，
设
到平面
的距离为
，
球
的半径
，三角形
为等边三角形，设其边长为
，
则
，故
，
故三角形
的面积为
，
即
，故C 正确；
D 选项，依题意，动点
的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为
，
，故
，
是边
，
的中点，可得
，
，
，
则有
，故
，
又
，故
，
即
，因此
，
由均值不等式，得
，即
，
当且仅当
时取“
”，故D 正确.
故选：ACD
三、填空题
【新情境】6．（2026·河南濮阳·模拟预测）2026 年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子
通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形
机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．
某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形
，
，
，
，
，点E 在边
上，且
，小华在点E 处看到的区域是五边形
（
分别在边
上）且
，则当五边形
的面积最大时，
________．
【答案】
【分析】由题意转化为求
最小时
的值，利用正弦定理及三角形面积公式求出
，利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可.
【详解】在等腰梯形
中，
，
，故
，
因为五边形
的面积为梯形面积减去
和
的面积之和，
即
，
因为
为定值，所以
最大等价于
最小，
设
，则
，
在
中，由正弦定理可得
，得
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
由
，即
，解得
，
即当
时，
有最小值，此时五边形
面积最大，
当
时，
，结合
，解得
.
四、解答题
7．（2025·全国·二模）如图，四棱锥
的各个顶点均在球
的表面上，且
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求四棱锥
体积的最大值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题可得
，即
，利用线面垂直的判定定理证明
平面
，根据面
面垂直的判定定理得证；
（2）作
，得
平面
，由
，利用基本不等式得
，结合三角形面积公式得
，同理可得
，由
此得解
【详解】（1）由题，四边形
在球
的一个圆面的圆周上，故
，
又
，故
，故
，
由
平面
，
平面
,得
，
又
，
平面
，
平面
，
故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
.
（2）如图：
作
，由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
可得
平面
，
记四棱锥
的体积为
，
则
，
而
，
由
平面
，则
，故
，
于是
，当且仅当
时，取等号，
由
，得
，
，
由
，得
，
故
，当且仅当
取等号，于是
，
故
.
故四棱锥
体积的最大值为
.
8．如图，在
中，角
所对的边分别为
，已知
是
的角平分线，且
．
(1)求角
的值；
(2)若
，求
长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角
；
（2）根据余弦定理，利用重要不等式求出
的范围，通过换元，借助对勾函数在
的单调性，即可求
出
的最大值.
【详解】（1）设
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由余弦定理知
，
，
，
又
，当且仅当
时，等号成立．
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，此时
，即
，即
.
9．华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化
运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已
知华为公司生产mate 系列的某款手机的年固定成本为200 万元，每生产1 只还需另投入80 元.设华为公司
一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为
万元，且
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（万只）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为
万只时，利润最大，最大利润为
万元
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，结合所给函数模型即可得解；
（2）分类讨论
与
两种情况，利用二次函数与基本不等式求得
的最大值，由此得解.
【详解】（1）依题意，利用利润等于收入减去成本，可得：
当
时，
；
当
时，
；
所以
.
（2）当
时，
，
所以当
时，
；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，此时
；
因为
，
所以当年产量为
万只时，利润最大，最大利润为
万元.
10． 2025 年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会
项目为主.2025 年世界运动会将于2025 年8 月7 日至8 月17 日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举
办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025 年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.
假设购进该款产品全部售出，若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若
购进该产品数量不超过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公
司合作，以全新方式进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？（利润
销售收入
成本）
(2)写出利润
（万元）关于购进产品数量
（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200 万元
(2)
(3)当购进并销售产品40 万件时，利润最大，此时利润是910 万元
【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10 万件时，是以80 元的单价出售，每件30 元成本，且需要固
定投入300 万元，由此根据利润
销售收入
成本计算即可；
（2）依题意，分三段：当
时，当
时，当
时，写出函数解析式，其中，当
时，需要设降价元，并用含
的式子表示.
（3）计算出各段函数的最大值进行比较.当
时，根据一次函数的单调性求解最大值；当
时，根据二次函数的最值求解最大值；当
时，根据基本不等式求解最大值.
【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10 万件时，利润是
万元.
（2）当
时，
；
当
时，不妨设降价元，则
，得到
，
所以
；
当
时，
；
所以
.
（3）由（2）知，当
时，
，函数单调递增，
当
时，利润最大，此时利润是450 万元；
当
时，
，
当
时，利润最大，此时利润是500 万元；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，利润最大，此时利润是910 万元.
因为
，所以当购进并销售产品40 万件时，利润最大，此时利润是910 万元.
题型06 含参恒成立问题
一、单选题
1．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
，若
，
，
，均有
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
为奇函数，由已知不等式可得出
，构造函数
，可知函数
在区间
上为增函数，则
在区间
上恒成立，结合参
变量分离法与基本不等式可求得实数
的最大值.
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，
若
，
，
，均有
，
则
，可得
，
令
，则
，
由题意可知
，
，
，
所以，函数
在区间
上为增函数，
所以，
在
上为增函数，则
在
上为增函数，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
，
所以，
的最大值为
.
故选：D.
【新思维】2．当
时，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成
的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可
以得到结果.
【详解】当
，
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
．
所以
，即
．
故选：A.
【新考法】3．已知等比数列
的前
项和为
，若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式求出
，
，由题意可得
恒成立，
运用基本不等式求解即可.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，即
，解得
，
所以
，所以
，
因为
恒成立，即
恒成立，即
恒成立，
由基本不等式可得
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
．
故选：
.
4．若不等式
在
时恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】参变分离可得
，再设
，结合基本不等式求解
的最
小值即可.
【详解】解析依题意知，
，结合
，知
，不等式转化为
，须
.
设
，由
，知
，设
，当且
仅当
，即
，
时等号成立，因此实数
的取值范围是
.
故选：A
二、多选题
【新思维】5．已知正实数
，且
为自然数，则满足
恒成立的
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】将
恒成立，转化为
恒成立，再利用基本不等
式得到
，转化为
恒成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数
，且
为自然数，
所以
，
则
恒成立，即
恒成立，
两边同乘
，则
，
而
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
若
恒成立，则
恒成立，
A.当
时，
，不成立；
B.当
时，
，成立；
C.当
时，
，成立；
D.当
时，
，不成立，
故选：BC
6．已知
，且
，若不等式
恒成立，则
的值可以为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】BCD
【分析】根据题意和基本不等式，求得
，由
恒成立，得到
，结合选项，即可求解.
【详解】由
，且
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
又因为不等式
恒成立，所以
，
结合选项，可得选项B、C、D 符合题意.
故选：BCD.
三、填空题
7．已知正数
，
满足
，若
恒成立，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出
的最小值，从而得到
，求出答案.
【详解】正数
，
满足
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
则只需
，解得
，
故实数
的取值范围为
故答案为：
8．已知正数x，y 满足
，若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】将
变形为
，利用均值不等式求
的最小值即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当
，
所以
，
，
故实数a 的取值范围是
.
故答案为：
9．正数
满足
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围__________.
【答案】
【分析】由不等式
恒成立可得
，利用基本不等式求
的最小值，由此
可求
的取值范围.
【详解】因为不等式
恒成立，所以
，
由
，
，
可得
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
10．若关于
的不等式
对任意
恒成立，则正实数
的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于
对任意
恒成立，根据恒成立问题结合基本不等
式运算求解.
【详解】∵
，则
，
原题意等价于
对任意
恒成立，
由
，
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时取得等号，
∴
，解得
．
故正实数
的取值集合为
.
故答案为：
．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·河南许昌·三模）已知抛物线
，过C 的焦点的直线交C 于A，B 两点，交圆
于M，N 两点，其中A，M 位于第一象限，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，结合已知条件求出
，联立直线和抛物线方程，利用
韦达定理求出
，利用基本不等式求
的最小值．
【详解】已知抛物线
，过C 的焦点的直线交C 于A，B 两点，
则
，由焦半径公式得：
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
，
设直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
化简得
，
由韦达定理得
，
则
，当且仅当
时取等号，
故
的最小值为3．
2．（2026·江苏苏州·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理角化边得到
，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解.
【详解】根据正弦定理
（
为
外接圆半径），
得
，
代入已知等式：
，
整理得：
，即
，
又
的面积公式为
，
将
代入得：
，
因此：
，当且仅当
时，取等号，
即
面积的最大值为
.
3．（2026·湖北·三模）在
中，已知
，
．记点
的运动轨迹为曲线
，
的外接
圆
与曲线
交于
两点．当
取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
的中点
为坐标原点，
的垂直平分线为
轴，
所在的直线为
轴建立平面直角坐标
系，设
，求出曲线
方程，在
中由余弦定理得
，再利用基本不等式，结合余弦函
数的单调性可得
最大值，此时
是直角三角形，求出圆
的方程与曲线
方程联立可得答案.，
【详解】以
的中点
为坐标原点，
的垂直平分线为
轴，
所在的直线为
轴建立平面直角坐标系，则
，
设
，由
得
，
化简得
，
所以曲线
是以
为圆心，
为半径的圆，
在
中，
，
，
由余弦定理得
，
又因为
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
，
因为
在
上单调递减，所以当
时，
最大，此时
，由
可得
，所以
是直角三角形，且
，
所以
，可得
的外接圆的圆心
即为
的中点，
所以
，圆
的方程为
，
由
得
，或
，
即
，
所以
.
二、多选题
4．（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数
满足
，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最大值是
C．
的最大值是
D．
的最小值是
【答案】BC
【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于
的二
次三项式配方求最值即可判断D.
【详解】
，当且仅当
，
即
时等号成立，所以
的最小值是9，故A 错误；
由基本不等式得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为
，故B 正确；
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最大值是
，故C 正确；
，当
时，
取得最小值
，故D 错误．
5．（2026·湖南株洲·模拟预测）设
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积可以是
D．
的周长可以是3
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C 的值，即
可判断A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C 选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变
式，得到边c 的范围，即可计算周长的范围．
【详解】由正弦定理可知：
，（
为
外接圆的半径），
则
；
因为
，代入可得：
，
则
，
由两角和的正弦公式可得：
，
因为
，故
，化简可得：
，
故
，因为
，故
，故B 正确；
通过题给条件无法判断A,故A 错误；
因为
，由基本不等式可知：
，
故
；
故
，
当且仅当
时，“=”成立，故C 正确；
由余弦定理可知：
；
因为
，故
，解得
；
因此周长：
，因为
，
因此周长可以为3，故D 正确．
三、填空题
6．（2026·陕西榆林·三模）已知直线
经过函数
的图象的对称中心，
则
的最小值为__________.
【答案】4
【分析】求出函数
的对称中心并代入直线中得
，
化为
并结合
，利
用基本不等式即可求得最值.
【详解】因为
，
所以函数
的图象的对称中心为
，
将点
代入直线
，得
，
则
，
当且仅当
时取等号，
故
的最小值为4.
7．（2026·陕西西安·模拟预测）在
中，若
，
，
平分
交
于
，则
的最大值为______．
【答案】
【分析】利用数量积的定义可求
，再利用面积关系和基本不等式可求
的最大值.
【详解】设
中
所对的边为
，
因为
，且
，故
，故
.
而
，
所以
，
故
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
8．（2026·山东淄博·三模）已知在
中，
，
，则向量
在
上的投
影向量的模的最小值为________.
【答案】
/
【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为
，再利用基本不等式运算求解.
【详解】因为
，
，
则
，
可得向量
在
上的投影向量的模为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以向量
在
上的投影向量的模的最小值为
.
四、解答题
9．（2026·陕西渭南·三模）已知
的内角
所对的边分别为
,且
．
(1)求
；
(2)若
的外接圆半径为1，求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角
；
（2）首先根据正弦定理求出
，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得
，求出最值.
【详解】（1）因为
，则
，
即
，
，
，
.
（2）由
，得
，
由余弦定理得
，
化简为
，即
，
因为
，
则
，
，
当且仅当
时等号成立，故三角形周长最大值为
.
10．（2026·福建龙岩·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
边上的中线
的长为2，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可.
（2）根据向量的模以及基本不等式得
，再根据三角形面积公式求最值.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
所以
，
所以
，
，
因为
，
．
（2）因为
是
边上的中线，所以
，
两边平方：
，
由（1）得
，
代入已知条件得：
，
整理得
，
所以
．
所以
，当且仅当
时，
取到等号，所以
面积的最大值为
．
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知
，
，
．
(1)求函数
的解析式及最小正周期；
(2)设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
且
，求
周长的最大值．
【答案】(1)解析式为
；最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到
的解析式，进而得到最
小正周期；
（2）结合（1）及题意得到
的值，再根据余弦定理，均值不等式得到
取值范围，进而得到
周
长的最大值．
【详解】（1）由
，
，
则
，
所以
的最小正周期为
．
（2）由
，即
，即
，
又B 为
的内角，则
，则
，
所以
，解得
，
又
，由余弦定理有
，得
，即
，
由均值不等式有
，则
，
即
，即
，解得
，
当且仅当
时取等号，此时
为等边三角形，
所以
周长的最大值为
．
12．（2026·上海·三模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、．
(1)若
、
、成等比数列，求证：
；
(2)若
、
、
成等差数列，且
，求
的周长的最大值．
【答案】(1)证明：
因为
成等比数列，所以
.
根据余弦定理：
由基本不等式
，当且仅当
时取等号，
代入得：
，原不等式得证.
(2)6
【分析】（1）由等比数列性质可得
，进而结合余弦定理写出
的表达式，再利用基本不等式证
明；
（2）由等差数列性质求出角
的值，再结合
，利用余弦定理得到
的关系式，结合基本不等式求
的最大值，进而得到周长最大值.
【详解】（1）略
（2）因为
成等差数列，所以
，
结合三角形内角和
，得
.
已知
，由余弦定理：
，
整理可得：
，由基本不等式
，
代入得：
，
因此
，当且仅当
时取等号.
故周长
，
所以
周长的最大值为
.
13．（2026·陕西西安·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求bc 的最大值；
(2)若
的周长为11，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式计算求解最大值；
（2）应用余弦定理结合周长得出
，再应用正弦定理计算求解.
【详解】（1）由余弦定理得
，
代入数据，得
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最大值为
．
（2）由（1）得
．
又
的周长为11，所以
．
因为
，所以
，
所以
，
，
则
．
真题·实战演练
高频考点：基本不等式的应用
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，
大于
的个数的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得
，从而可判断三个代数式不
可能均大于
，再结合特例可得三式中大于
的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中
之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到
坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由
得,
,
,
所以
可为的整数有0,-1,1,从而曲线
恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,
结论①正确.
由
得,
,解得
,所以曲线
上任意一点到原点的距离都不超过
.
结论②正确.
如图所示,易知
,
四边形
的面积
,很明显“心形”区域的面积大于
,即“心形”区域的面
积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能
力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
3．（2015·四川·高考真题）如果函数
在区间
上单调递减，
则mn 的最大值为
A．16
B．18
C．25
D．
【答案】B
【详解】
时，抛物线的对称轴为
.据题意，当
时，
即
.
.由
且
得
.当
时，抛物线开口向下，据题
意得，
即
.
.由
且
得
，故
应舍去.要使得
取得最大值，应有
.所以
，所以
最大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
二、填空题
4．（2018·江苏·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分
线交
于点D，且
，则
的最小值为________．
【答案】9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件
，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，
,由角平分线定义和三角形面积公式得
，化简得
，即
，
因此
当且仅当
时取等号，则
的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式
．
因为
，所以
，化简得
，即
，亦即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B 为坐标原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设
，
．因为A，D，C 三点共线，则
，即
，则有
，
所以
．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在
中，
，同理
．根据内角平分线性质定理知
，即
，两边平方，并利用比例性质得
，整理得
，
当
时，可解得
．当
时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在
与
中，由正弦定理得
．
在
中，由正弦定理得
．
所以
，由正弦定理得
，即
，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作
，交
的延长线于E．易得
为正三角形，则
．
由
，得
，即
，从而
．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换
求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到
的关系，最后利用基本不等式
求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
5．（2015·重庆·高考真题）设
,则
的最大值为 ________．
【答案】
【详解】由
两边同时加上
得
两边同时开方即得：
（
且当且仅当
时取“=”），
从而有
（当且仅当
,即
时，“=”成立）
故填：
.
考点：基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式
转化为
（a>0,b>0 且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
三、解答题
6．（2004·福建·高考真题）如图，P 是抛物线
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 在P 点处切
线垂直，与抛物线C 交于另一点Q．
(1)当点P 的横坐标为2 时，求直线l 的方程；
(2)当点P 在抛物线C 上移动时，求线段
中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．
【答案】(1)
；
(2)轨迹方程为
，最短距离为
.
【分析】（1）首先求出
，根据导数几何意义，得出过点
的斜率
，则得到
，写出直线
点斜式方程即可.
（2）设
，则的方程为
，联立抛物线方程消去
得
，
再结合中点公式消去
，得
，利用基本不等式求出其最小值.
【详解】（1）把
代入
，得
点
坐标为
，
由
①，得
过点
的切线的斜率
，直线的斜率
,
直线的方程为
，即
.
（2）设
，则
.
过点
的切线斜率
，当
时不合题意，
，
直线的斜率
，即直线的方程为
②，
联立式①②，消去
，得
.
设
，
是
的中点,
，
消去
,得
就是所求的轨迹方程.
由
知
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以点
到
轴的最短距离是
.
【点睛】导数中切线问题是常考的问题，对切线与导数之间的关系要熟练运用，常见的方法是设切点，求
导数，得斜率，点在曲线上，联立切线方程与曲线方程，消元，本题还结合了中点公式，将中点代入相关
直线，再次消元，即得到轨迹方程，而最值问题常用导数或基本不等式研究，本题最后采用基本不等式求
最值，速度较快，计算量小，十分简便.
7．（2004·广东·高考真题）设函数
．
(1)证明：当
，且
时，
；
(2)点
在曲线
上，求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面
积表达式（用
表达）．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
.
【分析】（1）将函数写出分段函数，得到函数的单调性，从而得到
，
，即
，由基本不等式进行求解，得到
；
（2）结合第一问得到
，从而写出切线方程，求出切线方程，进而求出与x 轴和y 轴的正向交
点坐标，从而得到围成的三角形面积表达式.
【详解】（1）证明：
，
当
时，
，当
时，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
且
，得：
，
，
即
，由基本不等式得：
，解得：
当且仅当
，即
时，等号成立，
因为
，所以等号取不到，即
，证毕；
（2）
时，
，
由（1）知：
，
则曲线在点P 处的切线方程为
，
又因为
，代入上式中，
，
整理得：
，
从而切线与与x 轴和y 轴的正向交点分别为
和
，
故所围成的三角形面积表达式为
.
8．（2022·上海·高考真题）在椭圆
中，直线
上有两点C、D (C 点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB
，求椭圆
的标准方程；
(2)若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC 与椭圆
相交于点P，直线AD 与椭圆
相交于点Q，若P 与Q 关于原点对称，求
的
最小值.
【答案】(1)
(2)交点为
，在椭圆上，理由见解析
(3)6
【分析】（1）写出
三点的坐标，可将
用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，
即可求出
，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线
和
的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断
该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点
的坐标，再结合点
的坐标，写出直线
和
的方程，求出点
的坐标，表示出
，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简
，最后根据重要不等式计算出
的最小值.
【详解】（1）由题可得
，又
，
所以
，解得
，
所以
，
故椭圆
的标准方程为
；
（2）由
，得直线
的方程为：
，
由
，得直线
的方程为：
，
联立两方程，解得交点为
，
代入椭圆方程的左边，得
，
故直线
与
的交点在椭圆上；
（3）由题有
因为
两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设
，
直线
，则
，
直线
，则
，
所以
设
，则
，
因为
，
所以
，则
，即
的最小值为6.
【点睛】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角
恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将
化简，最终利用重要不等式求出其
最小值.
