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专题05 由函数的单调性求参数
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 在区间上单调递增（减）
在区间上单调递增（减）
（1）转化为不等式的恒成立问题（常用）:
f(x)在区间M 上递增⇒f ′(x) ≥ 0 在M 上恒成立
f(x)在区间M 上递减⇒f ′(x) ≤ 0 在M 上恒成立
（2）利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
注：若已知函数在某含参区间上的增减性时,一般先求出函数的增减区间,继而令已知区间是所求增减区
间的子集,列出不等式,进行求解.在求函数的单调性时,可采用图像法、导数法或利用函数的性质.
1．（2026 高三·广西·竞赛）设函数
，当
时单调递增，则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】将问题转化为当
时，
恒成立，然后构造函数
，利用导数法求得
，然后再验证
，不满足
时
单调递增.
【详解】由已知有当
时，
恒成立.
即当
时，
恒成立.
令
，则
，
，
.
故
时，
.从而当
时，
.
因此
时，
，
单调递增.
若
，令
，则
，
.
故
时，
，此时
单调递减，从而
时，
.
因此
时，
，即
.
此时不满足
时
单调递增.
故
的取值范围是
.
2．（2026 高三·重庆·期末）设函数
，已知函数
在区间
上单调递减，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过求导得到函数的单调递减区间，再令给定区间为单调递减区间的子集从而求得参数范围.
【详解】函数
，
求导可得
，
因为
恒成立，
所以
，即
，
解得
，即
的单调递减区间为
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
，
解得
，即实数
的取值范围是
，故选项D 正确.
3．（2026 高三·甘肃天水·阶段检测）已知函数
是
上的增函数，则
的值为
______．
【答案】
/
【分析】求出导函数，由题意
恒成立，然后按照
和
分类讨论求解即可.
【详解】由题意得
，
因为
是
上的增函数，所以
恒成立．
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，要使
恒成立，
则
时，
即
恒成立，所以
，
时，
即
恒成立，所以
，
因为
，所以
，
综上，得
．
故答案为：
4．（2026 高三·贵州黔东南·期中）已知函数
，若
在
上单调递增，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
在
上单调递增，将问题转化为
在
恒成立即可求解．
【详解】
，
若
在
上单调递增，则
在
恒成立，
即
，
令
，其对称轴为
，所以
的最大值为
，
故只需
．即
．
故选：D．
5．（2026 高三·重庆北碚·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到
在
上恒成立，将其转化成
在
上恒成立，求出函数
，在区间
上的最小值为
，所以
.
【详解】求导得到
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
函数
，在区间
上单调递增，最小值为
；
所以
，
故选：B.
6．（2026 高三·重庆·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数在区间上单调递增转化为
在
上恒成立，再由函数的最小值可得.
【详解】因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为函数
在
上单调递增，所以
，因此
.
所以实数
的取值范围是
7．（2026 高三·黑龙江大庆·期中）已知函数
，则“
在
上单调递减”的充
要条件是
__________.（用区间作答）
【答案】
【分析】先把问题转化为
在
上恒成立，然后利用分离参数求最值，即可求解参数范围.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
即
，
在
上恒成立，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
即
，所以
，
即实数
的取值范围为
.
8．（2026 高三·天津·阶段检测）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】函数
在区间
上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数
小于
等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题.
【详解】解：由题意知
，因为函数
在
上单调递增，
所以
恒成立，即
在区间
上恒成立.
令
，
，则
，当
时，
，所以
，
因此
在
上单调递增，则
，所以
.
9．（2026 高三·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知函数
在区间
上是减函数，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导再对
的取值进行分类讨论函数的单调性即得.
【详解】由
求导得
，
当
时，则
，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，由
，得
，即
，
由
,得
,即
,
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
由题意，函数
在区间
上是减函数，
所以
，结合
，解得
，
即
的取值范围是
.
10．（2026 高三·浙江宁波·期中）已知函数
在
单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求函数的导数，再根据函数在区间上单调递减，所以导函数在区间上小于等于零（但不能恒等
于零）可得.
【详解】由函数
在 (2, +∞) 上单调递减，故函数在该区间上必须有意义，则
，
，
因为函数
在
单调递减，所以
在
恒成立，
所以
，解得
，但
时，
为常函数，不满足题设单调递减的要求，故
应舍去，
因此，实数的取值范围
.
11．（2026 高三·吉林·期中）函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
在
上恒成立，从而得
在
上恒成立，求出函数
在
上的值域，即可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
所以
，
在
上恒成立，
又因为
在
上单调递增，
所以
，
所以
的取值不大于函数
在区间
上的下确界，即
，
所以实数
的取值范围为
.
12．（2026 高三·四川成都·期中）已知函数
，则“
在
上单调递减”的充
要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，令
，
利用对勾函数的性质求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
即
，
在
上恒成立，
令
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
13．（2026 高三·山东济宁·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为
在
上恒成立，由此可求结论.
【详解】函数
求导得
，
已知
在区间
上单调递减，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
则
是极小值点，
，
，
在
的上确界为3，
．
14．（2026 高三·山东东营·期末）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对
求导得：
，由题意
在
恒成立，
即
在
恒成立，
时，
，故
.
15．（基础点10 利用导数研究函数的单调性）若函数
在
单调递减，则a
的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出
定义域，求出
，求出
的单调递减区间，列关于
的不等式即可求解.
【详解】
的定义域为
，
，
令
，即
，
解得
，即
的单调递减区间为
，
因为
在
单调递减，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
16．（2026 高三·云南昆明·期中）设
，若函数
在区间
上单调，则
的取
值范围是__________.
【答案】
【分析】利用导数求
的单调区间，由
在区间
上单调，求
的取值范围.
【详解】因为
，
所以
，
设
，则
，
所以
时，
，故
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
又
，所以
时
；
时
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
17．【多选】（2026 高三·河北·期中）已知函数
是增函数，则下列结论一定
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】问题化为
上
恒成立，且
，结合对应二次函数的性质列不等式求参
数范围.
【详解】由题设，
上
恒成立，
所以，
上
恒成立，且
，
所以
，而
的对称轴为
，
，
当
，即
，只需
即可，此时可能有
，
当
，即
，只需
，且
，
综上，必有
，
.
故选：AC
18．（2026 高三·山东淄博·开学考试）已知函数
在
单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求出函数
的单调增区间为
，利用集合关系列不等式求解即可.
【详解】由
得
，令
，得
．
当
时，
，所以
的单调增区间为
，
因为
在
单调递增，所以
，
所以
.
故选：D.
19．（2026 高三·安徽·阶段检测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，依题意
在
上恒成立，参变分离可得
在
上恒成立，令
，
，利用导数求出
，即可得解.
【详解】因为
，
所以
，
依题意
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
，
则
，
当
单调递增，当
单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
即
的取值范围是
.
故选：A
20．（2026 高三·云南昭通·期中）若函数
在区间
上是减函数，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
在
上恒成立，即
在
恒成立，据此可得答案.
【详解】因为
，
而
时，函数
单调递减，所以
在
恒成立，
即
恒成立，因为
，所以
，
即
在
恒成立，
因为
在
上单调递增，
则
，所以
.
故选：A．
21．（2026·陕西·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
恒成立，进而分
，
两种情况讨论求解即可.
【详解】由
，
得
，
因为
是
上的增函数，则
恒成立，
即
恒成立，
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，等价于
对
恒成立，
则
.
故选：C.
22．（2026 高三·吉林四平·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得
，转化为
恒成立，令
，得到
，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
，
可得
，
因为
在
上单调递增，有
恒成立，
整理为
，
令
，可得
，
由二次函数的单调性，则满足
，可得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：D.
23．（2026 高三·重庆·阶段检测）已知函数
在区间
上是减函数，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意得到
，
恒成立.从而得到
，
恒成立，再根
据
的单调性求解即可.
【详解】因为
，函数
在区间
上是减函数，
所以
，
恒成立.
所以
，
恒成立.
设
，
，
因为对称轴为
，所以
在
为增函数，
所以
，所以
.
故选：C
24．（2026 高三·全国·课后作业）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意将问题转化为
恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即
可.
【详解】因为
在
上单调递减，
所以
恒成立，
即
恒成立，
而
（当且仅当
时，等号成立），
所以只需
，解得
.经检验，当
时，仅有
使
，符合题意.
故选：B.
25．（2026 高三·贵州黔南·期中）若函数
（
且
）是增函数，则实数a 的取
值范围是______．
【答案】
【分析】求导可得
，利用单调递增可得
，分类讨论可求
的取值范围.
【详解】由题意可知在
上，
，
因为
且
，所以
，则
，
由此有：（1）
；
（2）
．
当
时，
为常函数，所以
，
综上所求：
．
故答案为：
26．（2026 高三·湖北·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】根据题意，分
和
两种情况，作出函数的图象，结合图象，利用二次函数的对称性，列
出不等式，即可求解.
【详解】当
时，
，
作出函数
的图象，如图（1）所示，可得函数
在
上单调递增，满足题意；
当
时，
，由二次函数的性质，可得函数
在
上单调递增，满足题意；
当
时，
，
作出函数
的图象，如图（2）所示，
要使得
在
上单调递增，则满足
或
，解得
或
，
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
.
27．（2026·山东济宁·模拟预测）若函数
且
在区间
内单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，利用导数求出函数
的单调区间，再分
和
两种情况讨论，
结合复合函数的单调性即可得解.
【详解】令
，则
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上递减，在
上递增，
当
时，
为增函数，且函数
在区间
内单调递增，
所以
，解得
，
此时
在
上递增，则
恒成立，
当
时，
为减函数，且函数
在区间
内单调递增，
所以
，无解，
综上所述，
的取值范围是
.
故选：A.
题型02 由分段函数的单调性求参
1. 三层约束缺一不可：
① 左段：
时，解析式单调，导数满足
（增）/
（减）；
② 右段：
时，解析式单调，导数满足对应不等关系；
③ 分段点衔接：整体递增
左段右端点函数值
右段左端点函数值；整体递减
左段右端点
右段左端点；
2. 解题顺序：先分别求两段参数范围，再结合分段点不等式取交集；
3. 特殊：含一次、二次、指数分段时，二次看对称轴，指数看底数范围。
28．（2026 高三·四川·开学考试）已知函数
在
上单调递增，则
的最大值
为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．8
【答案】C
【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
当
时，
，对称轴为
，则
，
当
时，
，则
，
要使函数
在区间
上单调递增，则
在区间
上恒成立，得到
.
又因为
，即
，
综上所述，
，
，所以
则
的最大值为6，
故选：C.
29．（2026 高三·北京西城·期末）若函数
，在区间
上单调递增，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在
时
恒成立，
在
时
恒成立，且
在
时
的值小于
在
时的最小值，从而计算即可得.
【详解】当
时，
，
则
在
时恒成立，
则
与
共零点，
故
，解得
，即
，
当
时，
，
则
在
时恒成立，则
，
由
在区间
上单调递增，
则
，解得
，
综上可得
.
故选：B.
30．（2026 高三·江苏·期末）已知
在
上对任意
满足
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围.
【详解】由题意，
在R 上单调递减，
当
时，
，即
，
当
时，
，
，
可知
在
恒成立，可得
，解得
，
且当
时，
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
故选：D．
31．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；
的部分利用二次函数的性质即可判定；分
段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
32．（2026 高三·山东聊城·阶段检测）若
是
上的单调函数，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当
时，
在
上单调递增，因
此可得
在
上恒成立，且
，进而求解即可.
【详解】因为
，
当
时，
，
则
，
所以
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
当
时，
，
由题意知，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
，
又由
，得到
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当
时，
的单调性，从而确定
在
上
的单调性，从而得解.
题型03 与同构结合
构造辅助
简化不等式，再利用单调性求参数最值。
33．（2026 高三·湖南怀化·期末）若
，有
成立，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简已知不等式得出
在
上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最
值得出参数范围.
【详解】由题得
，
∴
在
上单调递减，
恒成立，即
恒成立，
又
，所以
．
故选：B.
34．（2026 高三·北京丰台·期中）若对于任意的
，都有
，则实数m 的最小值
为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，都有
转化为
，得到函数
在
上单调递减，求出函数的导数，得到
在
恒成立，求出
的最小值.
【详解】由
，都有
,
转化为
，
构造
在
上单调递减，
求导
在
上恒成立，
则
，解得
,
故
，即
的最小值为
.
故选：D.
35．（2026 高三·上海·阶段检测）已知函数
，若对任意两个不相等的实数
，都有
，则实数
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】令
，由题意可得函数
在R 上单调递增，由
在R 上恒成立，可得
在R 上恒成立，令
，利用导数求出函数
的最小值，即可得答案.
【详解】解：因为对任意两个不相等的实数
，都有
，
即
，
令
，不妨设
，
则有
，
所以
，
所以
在R 上单调递增，
所以
在R 上恒成立，
即
在R 上恒成立，
令
，
则
，令
，得
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，
所以
.
即
的最大值为
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，
再参变分离求解即可.
36．（2026 高三·江苏无锡·期中）
，
，当
时，都有
，则实数
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】由题意分析可知：
在
上单调递减，求导，可得
在
上恒成立，结合恒
成立问题分析求解.
【详解】因为
，
，当
时，都有
，
即
，可得
，
令
，
，则
恒成立，
即
在
上单调递减，且
，
可知
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
又因为
在
上单调递减，
所以
最大值1，即实数
的最小值为1.
故选：D
37．（2026 高三·江苏·开学考试）对
，当
时，
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将不等式等价变形，再构造函数
，
，再结合函数的单调性、最值即可
求解．
【详解】由
，当
时，
则
等价于
，即等价于
，
即等价于
，即等价于
，
令
，
，
即等价于对
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，
即对
，
，即
，
由
，则
，所以
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：将题目中的不等式条件等价转化为
，再构造函数
是解答本题的关键．
题型04 双（多）区间单调性求参
1. 特征：函数两段区间一增一减，极值点固定在区间分界；
2. 核心结论：两段单调性切换点为导函数变号零点（极值点）；
3. 二次导函数：两根分别落在两个给定区间，用 零点分布 列不等式：
端点函数值异号、判别式
；
4. 三次/高次：极大、极小值点分别对应题目增减区间，结合韦达定理锁定参数范围。
38．【多选】（2026·湖北·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，在
上单
调递减，且方程
有实数根
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由函数的单调性得到
，解得
；由
得
，令
，解得
或
，结合函数单调性得到
，解得
；从而
；由方程的根得到
，整理后，对照系数得到
，
，从而得到
，从而
求出
．
【详解】
，
，
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
为
的极大值点，所以
，所以
，故A 正确；
此时
，则
，
依题意可得
，即
，故
，
令
，解得
或
，
所以
，解得
，故B 正确；
，故C 错误；
因为
，
，
是方程
的三个实数根，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，
，
，
，
，即
，故D 正确.
39．（2026 高三·湖北·期中）已知函数
在
，
上为增函数，在（1，
2）上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导得到
，然后根据在
，
上为增函数，在（1，2）上为减函数，
由
求解即得.
【详解】由
，得
，
∵
在
，
上为增函数；
上为减函数,
∴
两根分别位于
和
中，
得
，即
，解得
.
故选：B
40．（2026 高三·全国·中职高考）函数
在区间
内单调递减，且在区间
及
内单调递增，则实数p 的取值集合是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得
是函数
的极值点，再借助导数求解并验证作答.
【详解】因为函数
在
内单调递减，在
及
内单调递增，
因此
分别是函数
的极大值、极小值点，而
，
于是
，且
，解得
，此时
，
当
时，
，当
或
时，
，
因此函数
在
内单调递减，在
及
内单调递增，符合题意，
所以实数p 的取值集合是
.
故答案为：
题型05 在区间上单调
1. 题意：函数在该区间全程单调（无增、减交替）；
2. 两种解题路径：
路径 1 求导后，导函数在区间内无变号零点，导恒正/恒负；
路径 2 先求出
完整单调区间，题目区间包含于增区间 或 包含于减区间；
3. 反向思路（补集法）：先求区间不单调的参数范围，再取全集补集。
41．（2026 高三·山东济宁·期中）若函数
在区间
上单调，则实数的取值范围
是_________.
【答案】
【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间
上单调判断极值点与区间关系可得.
【详解】
，
令
，
时
，
时
，
所以
在
单调递减，在
上单调递增，
又函数
在区间
上单调，
所以
或
，解得
或
.
故答案为：
.
42．（2026 高三·北京朝阳·期中）若函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求导，将问题转化成
或
在
上恒成立的问题，然后分离参数处理.
【详解】由题知，
，而
在区间
上是单调函数，
则
或
在
时恒成立，
当
在
恒成立时，
，
由幂函数性质可知
在
上递增，则
，
故当
在
恒成立时，等价于
，即
；
当
在
恒成立时，
，
此时
，即
.
综上，
.
故选：A
43．（2026 高三·山东淄博·期中）已知函数
在其定义域内的一个子区间
内
不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得
，进而解不等式即可.
【详解】由题知函数的定义域为
，
，
所以，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
因为函数
在区间
上不单调，
所以，
，解得
，
所以，实数
的取值范围是
.
故选：D．
44．（2026 高三·山西·开学考试）函数
（其中
，且
）是其定义域上的单
调函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导后再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.再构造函数
，得到单
调性，求出范围即可.
【详解】由
.若
单调递增，则
恒成立，即
.
设
，
，又函数
在
时函数值趋近于0，不满足条件；
若
单调递减，则
恒成立，即
，
当
时，函数
在
时函数值趋向于
，不满足条件，所以
，
令
，则
，所以
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，所以
，即
，
所以
，即
，解得
.
故选：B
题型06 单调区间是
单调区间是
若y=f(x)的单调区间为(a,b),则{
f '(a)=0
f '(b)=0
注：单调区间和在区间上单调的区别
一个函数的单调区间不一定是一个区间，可能是多个区间，单调区间是指一个函数中所有递减或递
增性质的区间；在区间上单调是指在某单一区间上的单调性。
45．（2026·海南三亚·模拟预测）若函数
的减区间为
，则函数
的值域为
______．
【答案】
【分析】先根据函数的单调性确定
的值，再分析函数的单调性求函数值域.
【详解】因为
，
，
由题意，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
因为
，由
.
此时
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
满足题意.
此时
，
所以函数
的值域为
.
46．（2026 高三·全国·课堂例题）若函数
的单调减区间为
，求a 的值．
【答案】
【分析】根据导数正负分析函数单调性，再结合已知单调区间求出参数a 的值.
【详解】由题意可得：
，
①当
时，
，
在
上为增函数，
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在
上为减函数，
的单调递减区间为
，
，即
．
47．（2026·湖北孝感·模拟预测）函数
的单调递增区间为
，
，单调递
减区间为
，则
________．
【答案】
【分析】对函数
求导，
可求解
值，分析导函数符号即可得到函数的单调
递增以及递减区间，即可求解.
【详解】根据题意可知
，
则可得
，令
，即
，
解之可得
或
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
所以可知
，
，所以
.
故答案为：
48．（2026 高三·全国·课后作业）已知函数
.（1）若
的单调减区间为
，则
的取值集合为________；（2）若
在区间
内单调递减，则
的取值集合为________.
【答案】
【详解】
.
（1）
的单调减区间为
，
和1 是方程
的两根，
，
，
的取值集合为
.
（2）
在区间
内单调递减，
在
内恒成立，又二次函数
开口向上，一根为
，
必有
，
，
的取值集合为
.
49．（2026 高三·天津津南·期中）若函数
的单调递减区间为
，则
________．
【答案】
【详解】由
，得
，
因为函数
的单调递减区间为
，
所以不等式
的解集为
，
因此一元二次方程
的两个实数根为
，
根据韦达定理，可得方程组：
，解得
，
则
.
50．（2026 高三·甘肃白银·期末）若函数
的单调递减区间为
，则
的值为（ ）
A．6
B．3
C．-3
D．-6
【答案】B
【分析】先求出导函数，再根据减区间求
.
【详解】由题意得
，
因为函数
的单调递减区间为
，
所以
的解集为
，
即方程
的两根为
，
所以
，解得
，
故选:B.
51．（2026 高三·天津滨海新区·阶段检测）若函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【分析】先对函数求导，再根据单调递减区间与导数不等式解集的关系，利用韦达定理求参数．
【详解】解：易知
，由题意知
的解集为
，
则
与4 是方程
的两个根，故
．
故选：A．
52．（2026·吉林松原·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得
，结合
的解集为
，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
因为函数
的减区间为
，即不等式
的解集为
，
所以
，且
，解得
，
所以
且
，解得
.
故选：A.
53．（2026 高三·四川凉山·期中）函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
的导函数
，因为
有单调递减区间，所以
；再根据
与
，求
出
的单调递减区间为
，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可.
【详解】由题可知
，因为函数
有单调递减区间，所以
；
令
，则
，又
，故
，
即
的单调递减区间是
，可得
.
故选：A.
54．（2026 高三·湖北咸宁·阶段检测）已知函数
，若
的单调减区间为
，则实数
______．
【答案】1
【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得
；
【详解】函数
，
则
，
若
的单调减区间为
，
则
的解集为
，
所以
，则
，检验符合，
故答案为：1.
题型07 存在单调递增（减）区间
f(x)在区间M 上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0 在M 上有解⇔f ′(x)max＞0
f(x)在区间M 上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0 在M 上有解⇔f ′(x)min＜0
55．（2026 高三·山东德州·期末）已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为
在
有解，构造函数求其区间最大值，再验证临
界值得到
的取值范围.
【详解】由
，得
，
因为函数
在
上存在单调递减区间，
所以存在
，使得
，即
在
上有解，
所以
，
设
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
又
，
，
，因此
在
上的最大值为，
当
时，
在
上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正），
函数单调递增，不存在递减区间，因此
，
即
的取值范围是
.
56．（2026 高三·江西赣州·期末）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】转化为存在
使
，求
在区间最大值
，故
.
【详解】由题意
，所以
，
，
函数
在区间
内存在单调递增区间，
则
，
，即
，使得
，
即
，
设
，
，
则
，
，
单调递减；
，
，
单调递增，
，
，
，故
在
上最大值为
，
只要
，即
，就存在
满足
，
即
，函数存在递增区间.
57．（2026 高三·福建莆田·期末）若函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数a 的取值
范围是____________.
【答案】
【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果.
【详解】函数
，
，
依题意，存在
，使得
，即存在
，使得
，
显然函数
在
上单调递减，当
时，
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
58．【多选】（2026 高三·广东中山·阶段检测）若函数
在
上存在单调递减
区间，则
的取值可以是（ ）
A．1
B．0
C．
D．－1
【答案】AC
【分析】对函数
求导得到
，由函数在
存在单调递减区间转化为
在区间上有解，分
离参数得
有解，换元令
转化为二次函数在
上求值域，得其值域为
，只需
即
且
，据此判断
和
符合条件.
【详解】函数
在
上存在单调递减区间.
等价于
在
上有解.求导得
.
由
在
上有解，得
在
上有解.
令
，则
.
该函数在
上单调递减，最大值为
，最小值为
.
要使
在
上有解，只需
，即
且
.
选项中
和
均满足
且
，故A、C 正确.
59．（2026 高三·北京·期末）若函数
存在单调递增区间，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由题意得
在
上有解，进而得到
在
上有解，再利用
导数工具求出函数
的最小值即可得解.
【详解】由题得
在
上有解，
即
在
上有解，
因为
，
所以当
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A
60．（2026 高三·山东济南·阶段检测）已知函数
在
上存在单调递
减区间，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，只需存在区间
，使得当
时，
，根据导数的零点大
小分
，
和
讨论求解.
【详解】由题意得
，
要使
在
上存在单调递减区间，只需存在区间
，使得当
时，
，
当
时，
，显然不存在满足条件的区间
；
当
时，
的解集为
，因为
，
所以要使
在
上存在单调递减区间，则
，解得
；
当
时，
的解集为
，因为
，
所以要使
在
上存在单调递减区间，则
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
故选：A.
61．（2026 高三·重庆·期末）已知函数
在区间
上存在单调递减区间，则实数
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】问题转化为
在
上有解，分离参数
，通过求导分析函数的最小值可得实数
的取
值范围.
【详解】∵
，∴
，
由题意得，
在
上有解，即
在
上有解，
∴
，
，
设
，则
，
设
，则
，
∴
在
上为增函数，
∵
，
∴当
时，
，
，当
时，
，
，
∴
在
上为减函数，在
上为增函数，
∴
，
∴
，故实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
62．（2026 高三·重庆·期中）若函数
有单调递减区间，则实数
的取值范围为_____．
【答案】
【分析】依题意将函数
有单调减区间转化为导函数
在
上有解，构造函数求得其最值
可得结果.
【详解】易知函数
的定义域为
，
则
，
若函数
有单调递减区间，则
在
上有解，
即
，也即
有解，可得
；
令
，所以
，
由
可得
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
当
时，
，此时
在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，即
；
因此可得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
题型08 不存在单调递增（减）区间
f(x)在区间M 上不存在单调递增区间⇒f ′(x) ≤ 0 在M 上恒成立
f(x)在区间M 上不存在单调递减区间⇒f ′(x) ≥ 0 在M 上恒成立
63．已知函数
.若函数
不存在单调递减区间，求实数
的取值范围.
【答案】
【分析】先求出定义域和导函数，利用分离参数法和基本不等式求出实数
的取值范围.
【详解】由函数
有意义，则
由
且
不存在单调递减区间，则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立.
因为
，所以
（当且仅当
时等号成立）
所以
，解得：
所以
的取值范围为
.
64．（2026·江西新余·模拟预测）已知函数
，给出以下命题:
①若函数
不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是
;
②过点
且与曲线
相切的直线有三条;
③方程
的所有实数的和为16.
其中真命题的序号是_____.
【答案】②
【分析】求出函数
导数
，由题意可知
无解，根据二次函数的性质可得
的范围，即可
判断①是否正确； 设出切点
，根据斜率可得
，再将
代入，解方程求得
切点的横坐标，即可判断②是否正确； 由对称性可知，函数
与
的图象都关于点
成中心
对称，作出函数
与函数
的图像，再由图象观察它们共有4 个交点，根据对称性，即可求出
它们的横坐标值和，即可判断③是否正确．
【详解】因为
，所以
，
若函数
不存在单调递减区间，所以
无解
则
，解得
，所以①错误;
设过点
的直线与曲线
相切于点
，则有
(*)，
又点
在曲线
上，
所以
，将
代入(*)，
得
，
解得
或
或
，
所以过点
且与曲线
相切的直线有三条，②正确;
又
所以
的图象关于点
成中心对称，且函数
的图象也关于点
成中心对称，
又函数
的导数为
，
令
解得
或
，所以
递增区间为
和
；
令
可得
，所以
递减区间为
．
即
时取得极大值
，
时取得极小值
，
作出函数
与函数
的图像，
由图象可得
的图象与
的图像友4 个交点，它们关于
对称，则它们的横坐标和为
，故③错误.
综上所述，真命题的序号为②.
故答案为：②.
【点睛】本题考查三次函数的图象的运用，考查函数的导数的运用：求切线方程和单调区间以及极值，考
查函数的对称性以及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
题型09 在区间上不单调
在区间上不单调
思路一：函数在某一区间不单调，则在此区间内方程
有解，且在解的两侧
的符号相
反．即f(x)在区间M 上不单调⇒f ′(x)在M 上有变号零点（
若
f ( x ) 在
( a ，
b ) 内有极值，那么
f ( x ) 在
( a ，
b ) 内
绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
）
思路二：可求出函数在区间上是单调函数的参数的取值范围，求其补集即可得结果.
65．（2026 高三·北京西城·期末）若函数
在区间
上不是单调函数，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数求导得
，函数在
上不是单调函数，
等价于
，在
内有解，
设
，设两根
，则
，故两根异号，
要使正根在区间
内，则
，
解得
，故实数
的取值范围是
．
66．【多选】（2026 高三·全国·课后作业）若函数
在区间
上不单调，则实数
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】求出函数
的极值点，分析可知，函数
在区间
内存在极值点，可得出关于实
数
的不等式组，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】因为
，则
，
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的增区间为
,
，减区间为
，
所以，函数
的极大值点为
，极小值点为
，
因为函数
在区间
上不是单调函数，
则该函数在区间
内存在极值点，即
或
，
解得
或
，
所以，实数
的取值范围是
.
故选：CD.
67．（2026 高三·江苏苏州·期中）已知
，函数
在区间
上不单调，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数研究单调性，进而得
，解出即可求解.
【详解】由题意得：
，令
，
所以
，所以
在
单调递增，且
，
，
又因为
在
上不单调，所以
，解得
.
68．（2026 高三·浙江·期末）已知
函数
(1)若
求
的单调区间;
(2)若
在
上不单调，求
的取值范围.
【答案】(1)上单调递增区间为
单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导，令
即可求解；
（2）求导可得
，设
，则
，
解之即可求解.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
令
或
，
或
，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）
，
设
，
注意到
，要使
在
上不单调，
只需满足
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
69．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在
不单调，则a 可能为（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1
【答案】B
【分析】令
求出
，令
，求出
的单调性，求出
，求出
的取值范围即可求解.
【详解】令
得
，
令
，
，
则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
当
时，
，
所以
，又
在
上不单调，
所以
的取值范围是
（当
时，
在
恒成立，此时
单调递减，不满足
题意），
结合选项得
可能为
．
故选：B.
70．（2026 高三·江西南昌·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意转化为导数在
上有变号零点，列出不等式求解.
【详解】
，令
，
因为函数
在区间
上不单调，
所以
在
上有变号零点，
即
，解得
，
故选：C
71．（2026 高三·重庆城口·阶段检测）已知函数
，若
在
内不单调，则实
数
的取值范围是______________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，由
在
内不单调知
在
内有实数根且无重根，再通过分类
讨论结合二次方程根的分布求得实数
的范围.
【详解】由
，得
，
因为
在
内不单调，所以
在
内有实数根且无重根.
若
在
内有且只有一个实数根，
的图象如图，
则
，
即
，显然不等式无解；
若
在
内有两个不相等的实数根，
的图象如图，
则
，即
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
故答案为：
．
72．（2026 高三·河南南阳·阶段检测）已知函数
不是单调函数，则a 的取值范围
为________．
【答案】
或
【分析】求出函数
的导数，分类讨论解
或
即可.
【详解】函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，由
，得
，由
，得
，
函数
在
上递减，在
上递增，即
不是单调函数，因此
；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
；
当
时，
恒成立，
在
上递增，不符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
，
所以a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
73．（2026 高三·福建三明·期中）已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不
必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导
，令
，根据
在
上不单调，由
在
上有变号零点求解.
【详解】
，
令
，
因为
在
上不单调，
在
上有变号零点，即
在
上有变号零点，
当
时，
，不成立；
当
时，只需
，即
，
解得
或
，
所以
在
上不单调的充要条件是
或
，
所以
在
上不单调的一个充分不必要条件是
，
故选：B
题型10 根据单调区间的个数求参数
1.原理：单调区间个数=导函数变号零点个数
；
2.二次导函数：
两个不同零点
3 个单调区间；
无变号零点
仅1 个单调区间；
3.高次/含参导数：通过判别式、根的个数控制零点数量，反向求参数范围；
4.定义域限制：零点若在定义域外，不计入变号零点
74．【多选】（2026 高三·宁夏吴忠·阶段检测）若函数
恰好有三个单调区间，则实数
的
取值可以是（ ）
A．-2
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先求出函数的导数，根据导数有两个不同的零点的条件确定实数
的取值范围，再判断各选项是
否在该范围内即可.
【详解】由题意得
，
函数
恰好有三个单调区间，则函数
有两个极值点，
即
有两个不同的零点，
则判别式
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
，
，故A 正确；
，故B 错误；
，
，故C 正确；
，
，故D 正确.
故选：ACD.
75．【多选】（2026 高三·湖北襄阳·期中）函数
恰有3 个单调区间的充分不必要条件
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据函数
恰有3 个单调区间，可得导函数
有两个不同的
零点，从而可得
，求出
的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】
，
因为函数
恰有3 个单调区间，
所以函数
有两个不同的零点，
所以
，解得
且
，
所以
，
则函数
恰有3 个单调区间的充分不必要条件是BD 两个选项.
故选：BD.
76．（2026 高三·上海·期末）已知函数
有三个单调区间，则实数
的取值范围为
__________．
【答案】
【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b 的取值范围.
【详解】函数
的定义域为
，
.
∵函数
有三个单调区间，
∴方程
有两个不等的实根，即
有两个不等的实根，
∴
，解得
，∴实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
77．（2026 高三·湖北·期末）若函数
恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为
________.
【答案】
【分析】根据函数有三个单调区间，分析导函数恰有两个零点，根据导函数方程的根的情况即可求出参数
范围.
【详解】依题意知，当
时，
，只有两个单调区间，不符合题意，
则当
时，
，
因函数
恰有三个单调区间，即
恰有两个极值点，故
必有两个不相等的零点，
则
，解得
且
，
故答案为：
.
78．（2026 高三·全国·中职高考）若函数
有三个单调区间，则b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求导数，根据条件，转化为导数有2 个变号零点，即可求解.
【详解】
，因为函数有三个单调区间，所以
，
解得：
.
故选：A
79．【多选】（2026 高三·浙江杭州·期中）已知函数
在
上有三个单调区间，
则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】将问题等价于
在
有两个不同的实数根，进一步转化为
在
有唯一不为1 的根，构造函数
，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在
上有三个单调区间，等价
在
有两个不同的根.
，令
，则
，
即
在
有唯不为1 的一根，则有
有唯一不为1 的根，
令
，则
，故当
单调递增，
当
单调递减，且
即
，
故选：BD
题型11 综合应用
1.解题判断顺序：
第一步分清题干类型：恒成立/存在性/单调区间恰好是某段/区间不单调；
第二步求导，拆分导函数有效部分（恒正恒负简化分析）；
第三步参变分离或分类讨论导函数最值、零点；
第四步验证等号、常函数、定义域边界特殊情况；
2.易混对比记忆：
①恒成立：全部
满足；②存在性：有一个
满足；
③区间单调：题目区间是子集；④单调区间为
：解集等于区间；
⑤不单调：内部有变号零点。
80．（2026 高三·河北石家庄·阶段检测）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(2)若
在
上存在单调递减区间，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数
在
上单调递减，转化为
恒成立，进而用分离参数法求出
实数a 的取值范围；
（2）由在
上存在单调递减区间，得到
有解，用分离参数法求出实数a 的取值范围．
【详解】（1）
，
，
∵
在
上单调递减，
∴当
时，
恒成立，即
恒成立，
∵
，
时
，
∴当
，即
时，
取最大值
，
∴
，又
，
∴实数a 的取值范围是
．
（2）∵
在
上存在单调递减区间，
∴当
时，
有解，即
有解，
∵
，
时
，
∴当
，即
时，
取最小值
，
∴
，又
，
∴实数a 的取值范围是
．
81．（2026 高三·山西运城·阶段检测）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若函数
在区间
内单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
的单调递减区间是
，求实数a 的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
.
【分析】（1）根据函数的导函数分
三种情况得出函数的单调性；
（2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参；
（3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参；
【详解】（1）由题意知
.
①当
时，
恒成立，
所以
的单调递增区间是
；
②当
时，令
，得
或
，
令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
③当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
（2）由（1）知，若
在
内单调递减，
则
，解得
，
即a 的取值范围是
.
（3）由（1）知，若
的单调递减区间是
，
则
，解得
.
82．（2026 高三·四川自贡·期末）已知函数
．
(1)若
的单调递减区间为
，求实数
的值；
(2)若函数
在
单调递减，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据
的单调递减区间为
，可得
是
的
两根，即可求得答案；
（2）由函数
在
单调递减，可得
在
上恒成立，即可推出
在
上恒成
立，从而求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
因为
的单调递减区间为
，即
的解集为
，
故
是
的两根，即
，
当
时，
，由
，解得
，
等号仅在
时取得，即
的单调递减区间为
，符合题意，
故
.
（2）函数
在
单调递减，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，此时
，
即
在
上恒成立，而
，故
,
经验证当
时,
即
，
等号仅在
时取得，此时函数
在
单调递减，符合题意，
故
.
83．（2026 高三·天津静海·阶段检测）已知函数
．
(1)若
，求
的单减区间.
(2)若函数
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上存在减区间，求
的取值范围
(4)若函数
在区间
上不单调，求
的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）求导，利用导数求单调区间；
（2）分析可得：
对
恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算；
（3）分析可得：
，使得
成立，根据存在性问题结合二次函数分析运算；
（4）分析可得：
，使得
成立，根据零点问题结合二次函数分析运算；
【详解】（1）若
，则
，
可得
的定义域为
，且
，
令
，则
故
的单减区间为
.
（2）∵
，则
，
若函数
在区间
上单调递增，等价于对
，
恒成立，
可得
对
恒成立，
构建
，可知
开口向上，对称轴
，
∴
，
故
，解得
，
则
的取值范围为
.
（3）由（2）可得：
，
若函数
在区间
上存在减区间，等价于
，使得
成立，
可得
，使得
成立，
构建
，可知
开口向上，对称轴
，
∴
，
故
，解得
，
则
的取值范围为
.
（4）由（2）可得：
，
若函数
在区间
上不单调，等价于
，使得
，
可得
，使得
成立，
构建
，可知
开口向上，对称轴
，
∴
，
故
，解得
，
则
的取值范围为
.
84．（2026 高三·全国·课前预习）已知函数
.
(1)若
在R 上为增函数，求a 的取值范围；
(2)若
在
上为增函数，求a 的取值范围；
(3)若
在
上为减函数，求a 的取值范围；
(4)若
的单调递减区间为
，求a 的值；
(5)若
在
上不单调，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用导数的正负与函数的单调性之间关系，即可由导数的正负确定
单调性.
【详解】（1）因为
在R 上为增函数，所以
在R 上恒成立．
所以
对
恒成立．因为
，所以
.
又因为
时，
，
在R 上为增函数，
所以
的取值范围是
．
（2）因为
，且
在
上为增函数，
所以
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，
因为
，所以
，即
的取值范围是
.
（3）因为
，且
在
上为减函数，
所以
在
上恒成立，
因为
，所以
，
所以
，所以a 的取值范围是
.
（4）
.
①当
时，
，故
在R 上为增函数，不满足题意；
②当
时，由
得
，解得
.
故
的递减区间为
.
由题意得
，解得
.
（5）
.
①当
时，
，故
在R 上为增函数，不满足题意；
②当
时，因为
在
上不单调，
所以
在
内有解
，所以
，解得
；
所以a 的取值范围是
.
85．（2026 高三·四川绵阳·期中）已知函数
．
(1)若函数
的单调递减区间为
，求实数a 的值；
(2)若函数
在
单调递减，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数
的单调递减区间为
，得出
是
两个根，求出实
数a 的值并验证成立；
（2）由函数
在
单调递减，得出
对
恒成立，再求解实数a 的取值范围．
【详解】（1）
，
∵函数
的单调递减区间为
，
所以
是
的两个根，
所以
，解得
.
经检验当
时，由
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
.
所以
.
（2）∵
在
单调递减
∴
对
恒成立，
即
，
恒成立
∴
.
