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专题六 函数与导数 第2 讲 基本初等函数、函数的应用 一、学习目标： 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、 解不等式是常见题型； 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现. 二、真题扫描 1．（2025·天津·高考真题）函数 的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知： 在 上单调递减， 在 单调递增，所以 在定义域上单调递减， 显然 ， 所以根据零点存在性定理可知 的零点位于 . 故选：B 2．（2025·上海·高考真题）设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ） A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且 【答案】D 【详解】∵ ，∴ ， 当 时， 定义域上严格单调递减， 此时若 ，则一定有 成立，故D 正确，C 错误； 当 时， 定义域上严格单调递增，要满足 ，需 ，即A、B 错 误. 故选：D 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知 ，则x，y，z 的大小关 系不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设 ，所以 令 ，则 ，此时 ，A 有可能； 令 ，则 ，此时 ，C 有可能； 令 ，则 ，此时 ，D 有可能； 故选：B． 法二：设 ，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线 的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所 需要的时间 （单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从 个 单位增加到 个单位时，训练时间增加（ ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N 取 个单位、 个单位、 个单位时所需时间分别为 , 由题意， ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以当训练数据量N 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加4 小时. 故选：B. 三、考点透析 考点1 基本初等函数性质 1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线 ，但不与该直线相交，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数 的图象无限接近于直线 ，但不与该直线相交可得 ， 又因函数 的图象过原点，则 ，故 . 故选：C. 2．（2025·湖南长沙·一模）已知 为奇函数，则实数a 的值是 ． 【答案】4 【详解】由题意知 ，得 ， 令 ，解得 或 ， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以 ，解得 ，即 ， 令 ，其定义域为 ， ，满足题意， 故答案为：4． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数 ，下列说法不正确的是（ ） A． 的定义域为 B． 在区间 上单调递增 C． 的值域为 D． 的图象关于原点对称 【答案】C 【详解】选项A：由题意 ，即 ， 所以 ，即 ，解得 ，故A 正确； 选项B：令 ， 当 时， 单调递减， 所以 在 上单调递增， 又当 时，函数 在 上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知 在 上单调递增，故B 正确； 选项C：因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， 则 ， 所以 值域为 ，故C 错误； 选项D：因为定义域为 关于原点对称，且 ， 所以 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，故D 正确. 故选：C 考点2 函数与方程 热点1 函数零点的判断 1．（2025·安徽·一模）已知点 在幂函数 的图象上，则函数 的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于点 在幂函数 的图象上，所以 ， 所以 ，则 . 又因为函数 在 上都单调递增， 则函数 在定义域 上单调递增， ， 因为 ，即 ，所以 ， ， 因为 ，即 ，所以 ， 因为 在 上单调递增， ， 所以 在 上只有一个零点，且在 内. 故选：C. 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 的零点分别为 、 、 与 的交 点横坐标为 ， 它们的大致图象如上图示，易知 ，其中 . 故选：A 热点2 根据零点求参数值或范围 1．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数 恰好有一个零点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，可得 .因为函数 恰好有一个零点 ， 所以由指数函数图象可知，直线 与曲线 相切. 易知 ，设切点坐标为 ，则 ，解得 . 又切点 在切线 上，所以 ， 所以 . 故选：B 2．（2025·四川泸州·一模）已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的 都满足 ．若函数 与 的图象恰有两个交点，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】因为 ，所以 关于 对称，且 的图象是过 点 的折线， 由 时， ，作出 与 的图象如下图所示， 当 时，函数 是过定点 ，开口向上的折线， 如图，只有当直线 与 在 上的图象相切时，函数 与 的图象恰有两个交点， 设切点 ，其中 ， 的导数为 ，所以 处切线斜率为 ， 所以 ，解得 ，满足条件，所以 ； 当 时，函数 与 的交点情况如下图所示， 所以 时，函数 与 的图象有 个交点，满足条件； 当 时，函数 是过定点 ，开口向下的折线，如图所示， 此时函数 与 的图象恒有两个交点，满足条件； 综上所述，实数 的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 . 热点3 多零点关联问题 1．（24-25·安徽·阶段练习）已知函数 ，若函数 有零 点，记为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．任意直线 都与函数 的图象有交点 C．当 时， 的取值范围为 D．当 时， 的取值范围为 【答案】ACD 【详解】 对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数 和 的图象， 由图象知 ，故A 正确； 对于B，过点 作直线，与函数 的图象没有交点，故B 不正确； 对于C，当 时， ， 由 ，则 ， 由 可得 ，从而 ， 所以 ，故C 正确； 对于D， ，则 ，故D 正确； 故选：ACD． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，函数 有三 个零点 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当 时， ，为开口向下，对称轴为 的抛物线， 因为 有三个零点 ，不妨令 ， 所以 有三个不相等的根 ， 即 与 图象有三个不同的交点 ， 作出图象，如图所示 所以 ， 因为 为方程 ，即 的两个不相等实根， 所以 ， 因为 为方程 的根，所以 ， 所以 ， 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ， 所以 . 故选：D 考点3 函数模型及其应用 1．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、 计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中 函数： 是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是 执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限 制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险． 函数是 函数的改进版， ， 那么下列说法正确的是（ ） A． 函数可以将所有输入值映射到 范围内 B． 函数和 函数图象的对称中心相同 C．复合模型 函数 有偶数个零点 D． 函数和 函数的图象仅有一个公共点 【答案】D 【详解】对于A， ，所以 函数不能将所有输入值映射到 范围内，故A 错误； 对 于 B ， 函 数 和 函 数 的 定 义 域 均 为 ， 即 图象的对称中心为 ； ，所以 函数是奇函数，图象的对称中心是 ， 故B 错误； 对于C， 的定义域为 , ， ∴ 是奇函数，零点关于原点对称. 而 ,函数 有奇数个零点. 对于D，令 则 即 ， 解得 ，∴ .故D 正确. 故选：D. 四、跟踪练习 1．（2025·河北·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，由余弦函数性质可知 ， 又 ，且函数 在 上单调递增，得 . 所以当 时， ，BD 错误. 又 时， ，得 ，A 错误. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如 果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数 由 提高到 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得 ，则 ，即 ， 所以 . 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ， 对于选项AB：可得 ，即 ， 根据函数 是增函数，所以 ，故B 正确，A 错误； 对于选项D：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故D 错误； 对于选项C：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故C 错误， 故选：B. 4．（25-26 高二上·安徽·阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确的 有（ ） A． B． 有3 个实数根 C．若 有4 个实数根，从小到大分别为 ，则 D．若 有8 个实数根，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意， ，故A 正确； 对于B，当 时，由 可得 ， 解得 ，因 ，故得 ； 当 时，由 可得 ，或 ，解得 或 ， 故 有 、 、 共三个实数根，故B 正确； 对于C，作出函数 的图象，由 时， ， 且 ，可知当 时，直线 与函数 有两个交点； 又由 时， ，当 时，直线 与函数 均有两个 交点， 故由 有4 个实数根可得， ，由图知， ， ，则 ，解得 ， 又由 解得 ，由 解得 ，则有 ， 于是 ，因函数 在 单调递减，故 ， 则 ，故C 正确； 对于D，设 ，则方程 即 ， 由图知，要使原方程有8 个实数根，需使 有两个相异实根 ， 且 ， ，则由 解得 或 ， 设 ，依题意，需使 ，则得 ， 综上，可得 ，故D 错误. 故选：ABC. 5．（2025·山东烟台·三模）已知函数 ，若 ，则实数t 的取值范围 是 ． 【答案】 【详解】已知 ，其中 和 均为单调递增函数，且 定义域 为 ， 所以 在 上单调递增，且 ， 可得 ，可得 ，解得 ， 故答案为： . 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 的定义域为R B．函数 的值域为 C． D．函数 为减函数 【答案】ABC 【详解】A：因为 ，所以 ，因此函数 的定义域为R，所以本选项说法正 确； B： ， 因为 ，所以 ， 因此函数 的值域为 ，所以本选项说法正确； C：因为 ， 所以本选项说法正确； D：因为 ， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 7．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数 ，若关于 的方程 有4 个不同的实数根，则 的取值范围是 【答案】 【详解】作出 的图象， 令 ，则方程 ，即为 ， 有4 个不同的实数根，则 在 内有两个不等实 根， 所以 ，解得 ， 所以实数m 的取值范围为 . 故答案为： .
