文档文本内容
第04 讲 指数与指数函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 指数与指数幂的运算
题型02 指数函数的图象与性质
题型03 指数应用题
题型04 值域
题型05 定点及图象问题
题型06 单调性问题
题型07 比较指数幂大小
题型08 解指数不等式
题型09 指数的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 指数与指数幂的运算
1．
的分数指数幂表示为（ ）
A．
B．
C．
D．都不对
【答案】A
【详解】原式
．
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．64
D．
【答案】D
【详解】
．
3．（多选）下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.
【详解】对于AB，
，A 错误，B 正确；
对于CD，
，C 错误，D 正确.
故选：BD
4．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【详解】由
，得
，故A 正确；由
，得
，则
，所以
，故B 正确；由
得
，所以
，解得
或
，故C 错误；令
，则
，解得
或
，即
或
，则
或
，故D 错误．
5．（2026 高三·全国·专题练习）化简与求值．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质直接求解即可；
（2）将根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算法则求解.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
02 指数函数的图象与性质
6．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可.
【详解】由题意可得：
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
7．（多选）已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数定义建立方程组求出
判断AC；利用指数、对数运
算计算判断BD.
【详解】由
，得
，而
是奇函数，
是偶函数，
则
，解得
，
则
，ACD 正确，B 错误.
故选：ACD
8．已知函数
（
且
）满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】由题意知
，解得
，所以
，所以
．
9．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知
，
，则下列等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】代入即可逐一求解.
【详解】对于AD，
，
而
，故A 正确，D 错误；
对于B，∵
，又
，
∴
，故B 正确；
对于C，∵
，
又
，
∴
，故C 正确．
故选：ABC.
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数
满足
，则
．
【答案】27
【分析】令
且
，根据题设得
，即可求解.
【详解】令
且
，因为
，
则
，即
，解得
或
（舍），
所以
，则
，
故答案为：
.
03 指数应用题
11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是
，
后的温度是
，则
，其中
表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C 的咖啡放在24℃
的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据:
） （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得．
【详解】由题意
，即
，
，
，
设降温到35℃大约需要
，则
，
即
，
，
，
所以
，
故选：B．
12．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1 代1 粒种子可以得到第2 代120 粒种子，以后各代每粒种子
都可以得到下一代120 粒种子，则第10 代得到的种子数为（ ）参考数据：
，
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数模型计算即可.
【详解】由题意，第10 代得到的种子数为
故第10 代得到的种子数约为
故选：C.
13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14 含量
会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年，碳14 含量
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，
与死亡年数之间的函数关系式为
（其中
为
常数）.2024 年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14 残余量约占原始含量的81%，则
可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：
，②参考时间轴如图：
A．东汉
B．三国
C．西晋
D．东晋
【答案】C
【分析】由条件可得
时，
，由此可求
，再由
列方程求判断结论.
【详解】因为大约每经过5730 年，碳14 含量
衰减为原来的一半，
所以可近似认为
时，
，
又
与死亡年数之间的函数关系式为
，
所以
，故
，
所以
，
令
，可得
，
两边取以
为底数的对数可得
，又
，
所以
，
，
所以该生物体大约死亡于公元
年，即该生物体死亡时间属于西晋.
故选：C.
14．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为
，经过天后，体积
与天数
的关系式为
.已知新丸经过25 天后，体积变为
，则新丸经过75 天，体积变为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题干中的指数函数模型得
，进而将
代入模型计算即可.
【详解】分别设
和
时的体积为
，则
，即
.
又当
时
.
故选：C.
04 值域
15．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先化简求解集合
、
，再求
即可.
【详解】
，
，
因为
，函数
单调递增，
所以
，所以
，即
.
所以
.
故选：C
16．已知函数
的值域为
的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
【答案】A
【分析】由指数函数的单调性可得函数
的值域为
，可得
的值，再结合对数函数
的单调性得
的最小值为9，从而可得
的值，即可得解．
【详解】因为
，所以
，
即函数
的值域为
，所以
，
因为
的值域为
，
所以
的最小值为9，所以
，解得
，
所以
．
故选：A．
17．（多选）设函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
的值域是
C．
值域为
D．函数
是偶函数
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义判断即可A、D；对
化简，根据分段函数求值域的方法求解可判断B；根
据复合函数求值域的方法求解可判断C.
【详解】对于A，已知函数
，
因为函数的定义域为
，定义域关于原点对称，
且
，
则函数
为偶函数，故A 正确；
对于B，函数化为分段函数为
因为当
时，
，
，
同理可得
时，
，
则函数
的图象如图所示：
由图象可得函数的值域为
，故B 错误；
对于C，已知
，令
，
，
，解得
，
即
，而函数
的值域为
，函数
取不到
，
即
的值域中没有
，C 错误；
对于D，函数
,
，
故
是偶函数，故D 正确．
故选：AD．
18．已知函数
的值域为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可先确定
时的值域，再利用函数的值域为
，得到
时，函数的单调性及端点函
数值的范围即可求
.
【详解】因为
时，
，所以
，
又
的值域为
，所以
时，
的值域至少要取到
，
则
.
故答案为：
.
05 定点及图象问题
19．已知幂函数
在区间
上单调递减，则函数
的图象过定点
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由幂函数的性质求出
，再由指数函数的性质可得.
【详解】因为幂函数
在区间
上单调递减，
则
解得
，
所以，
，则
，即函数
的图象过定点
.
故选：A.
20．（多选）已知实数a，b 满足等式
，则下列关系可以成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】如图，观察易知，
或
或
，因此A，B，D 均可成立
21．函数
与
的图象关于（ ）
A．
轴对称
B．
轴对称
C．直线
对称
D．原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.
【详解】令函数
，
，
对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，
，
，
，B 错误；
对于C，点
在
的图象上，而
，即点
不在
的图象上，C 错误；
对于D，
，
，两个函数图象关于原点中心对称，D 正确.
故选：D
22．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断
为奇函数，再结合
的符合及排除法，即可得.
【详解】由
，且定义域为R，
所以
为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
23．已知函数
且
的图象过定点
，若角
的终边过点
，则
.
【答案】
/
【分析】先利用指数函数定义求出定点
坐标，再利用正弦函数定义可得
.
【详解】因为函数
过定点
，由指数函数性质可知
点横坐标为3，
代入可得
，由正弦函数定义可知
.
故答案为：
.
06 单调性问题
24．下列函数中，在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断.
【详解】函数
、
、
在
上都单调递减，ABC 不是；
函数
在
上单调递增，D 是.
故选：D
25．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.
【详解】函数
中，令
，则函数
在
上单调递减，
上单调递增，
而函数
为减函数，因此函数
在
上单调递增，
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
26．（2025·重庆·三模）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解.
【详解】依题意，函数
在
上单调递减，则
，解得
，
又函数
在
上单调递减，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
27．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
的最大值为2，求
的值．
【答案】
【分析】设
，由
有最大值2，结合复合函数的单调性，知
有最小值
，则可将
问题转化为二次函数的最值问题，求解即可．
【详解】设
，则
．
∵
为减函数，又
有最大值为2，∴
有最小值
．
因此
，解得
．
的值为
.
07 比较指数幂大小
28．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】
，则
，因此
，
，因此
，
所以a，b，c 的大小关系为
.
故选：D
29．（2025·山东泰安·模拟预测）
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得
的取值范围，即可求解.
【详解】由幂函数
为增函数，得
；
由指数函数
为减函数，得
；
由对数函数
为减函数，得
.
所以
.
故选：A.
30．（2025·甘肃白银·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定
的正负，进而做出
判定.
【详解】∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
；
又
，且
，
∴
，∴
，
∴
.
故选：C
31．（2025·河南许昌·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【详解】由题意知
，
，
又函数
在
上单调递增，而3.4
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，即
.
故选:D.
08 解指数不等式
32．（2025·福建泉州·模拟预测）设
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可
得.
【详解】由
，
，
所以
，即
是
的充分不必要条件.
故选：A
33．（2025·湖北·模拟预测）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再应用交集定义计算求解.
【详解】由
，所以
.
又
，所以
.
故选：D.
34．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是
．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；当
时，
，
因此函数
为奇函数，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
，
于是
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
09 指数的综合应用
35．（2025·天津和平·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数
在区间
上的最小值，根据题意得出
，解该不等
式即可得解.
【详解】当
时，
恒成立，则
，
因为定义域为
的函数
满足
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
因为
，此时
；
当
时，
，
则
，
因为
，则
，则
，所以
，
所以，函数
在
上的最小值为
，
所以，
，即
，即
，解得
或
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
36．（多选）已知
为偶函数，
为奇函数，且满足
．若存在
，使得不等式
有解，则实数m 的值可以为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】AB
【详解】因为
①，所以
．又
为偶函数，
为奇函数，所以
②，联立①②，得
，
．由
得
．因为
为增函数，所以当
时，
，所以
，结合选项知m 的值可以为
．
37．若不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】从已知不等式中分离出实数a，得
.因为函数
在R 上是减函数，
所以当
时，
，从而得
，所以
.
38．已知函数
与
，若对任意的
，总有
恒成立，则实
数
的取值范围是 ．
【答案】
.
【分析】将条件转换为若对任意的
，总有
恒成立，分离参数结合基本不等
式即可求解.
【详解】
，
所以若对任意的
，总有
恒成立，
即对任意的
，总有
恒成立，
即对任意的
，总有
恒成立，
而当
时，
，等号成立当且仅当
，
所以当
时，
有最小值且最小值是2，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
1．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
的定义域、奇偶性及其在
时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数
，有
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为偶函数，排除AB 选项，
当
时，
，
，则
，排除C 选项.
故选：D.
2．
是
的偶函数，且在
上单调递增，设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合指数函数和对数函数的性质，判断出三者的大小关系.
【详解】由于
为偶函数，则
，
又
，
，
所以
，因为
是
的偶函数，且在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，则
.
故选：A
3．
已知幂函数
在
上单调递增，函数
，任意
时，总存在
使得
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
【分析】由题意，求得
，根据幂函数的单调性，求得当
时，
，再由指数函
数的单调性，求得当
时，
，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数
在
上单调递增，
可得
，解得
，即
，
当
时，函数
为单调递增函数，所以当
时，
，
又由函数
为单调递增函数，
可得
时，
，
又因为任意
时，总存在
使得
，
所以
，解得
.
故选：D.
4．
（多选）已知函数
，下面说法正确的有（ ）
A．
的图象关于
轴对称
B．
的图象关于原点对称
C．
的值域为
D．
，且
恒成立
【答案】BC
【分析】判断
的奇偶性即可判断选项AB，求
的值域可判断C，证明
的单调性可判断选项
D，即可得正确选项.
【详解】
的定义域为
，关于原点对称,
，所以
是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A 不正确，选项B 正确；
，因为
，所以
，所以
，
，所以
，可得
的值域为
，故选项C 正确；
设任意的
，
则
，
因为
，
，
，所以
，
即
，所以
，故选项D 不正确；
故选：BC
5．
已知函数
若实数
，
，满足
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出函数
得图象，根据图象先确定
，再由函数
确定出的取值范围，再由
确定出
，即可求解.
【详解】作出函数
的图象，如图，
当
时，
，
由图可知，
，即
，
得
，则
．
由
，即
，得
，求得
，
，
故选：D．
6． 若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用
的单调性得
，再利用函数
和函数
的单调性判断
的大小关系.
【详解】若
，且
，
由函数
在
上为减函数，
，
则
，
又函数
在
上为减函数，则
，
又函数
在
上为增函数，则
，
因此可得
.
故选：C.
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
2．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真
数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
3．已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，且幂函数
在
上单调递增，所以b<a<c.
故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出
各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比
较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
C．ac＜bc
D．ca＞cb
【答案】B
【详解】试题分析：对于选项A，
，
，
，而
，所以
，但不能确定
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，
,
，两边同乘以一个负数
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C，利用
在第一象
限内是增函数即可得到
，所以C 错误;对于选项D，利用
在
上为减函数易得
，所以D
错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的
单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
5．已知函数
的定义域和值域都是
，则
.
【答案】
【详解】若
，则
在
上为增函数,所以
，此方程组无解；
若
，则
在
上为减函数,所以
，解得
，所以
.
考点：指数函数的性质.
