专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
[ π π]
1．【2022年全国甲卷】函数y=(3x-3-x)cosx在区间 - , 的图象大致为( )
2 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
π π
令f(x)=(3x-3-x )cosx,x∈[- , ]，
2 2
则f(-x)=(3-x-3x )cos(-x)=-(3x-3-x )cosx=-f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
π
又当x∈(0, )时，3x-3-x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
2
故选：A.
2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则( )
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9
可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【详解】
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，
9 lg9 2 2
lg10 lg11
所以 > ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m-9<8log
8
9-9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则
该函数是( )
-x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx
A．y= B．y= C．y= D．y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】x3-x
设f(x)= ，则f(1)=0，故排除B;
x2+1
2xcosx π
设h(x)= ，当x∈(0, )时，0<cosx<1，
x2+1 2
2xcosx 2x
所以h(x)= < ≤1，故排除C;
x2+1 x2+1
2sinx 2sin3
设g(x)= ，则g(3)= >0，故排除D.
x2+1 10
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，
❑ 22
则∑f(k)=( )
k=1
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f (3)+f (5)+…+f (21)=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得
到f (1)的值即可求解.
【详解】
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2-x)=g(x+2)，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(-2)×5=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(-2)×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=-2-f (0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g(2-x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5-g(3)=-1.
所以
❑ 22
∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=-1-3-10-.10=-24
k=1
故选：D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，
然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且
22
f(x+ y)+f(x- y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f(k)=( )
k=1
A．-3 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数f (x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)
的值，即可解出．
【详解】
因为f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，
令x=0可得，f (y)+f (- y)=2f (y)，即f (y)=f (- y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得，
f (x+1)+f (x-1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知
f (x+2)=-f (x-1)，f (x-1)=-f (x-4)，故f (x+2)=f (x-4)，即f (x)=f (x+6)，所以
函数f (x)的一个周期为6．
因为f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1，f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2，
f (4)=f (-2)=f (2)=-1，f (5)=f (-1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．
k=1
故选：A．
1
6．【2022年北京】己知函数f(x)=
，则对任意实数x，有( )
1+2x
A．f(-x)+f(x)=0 B．f(-x)-f(x)=0
1
C．f(-x)+f(x)=1 D．f(-x)-f(x)=
3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
1 1 2x 1
f (-x)+f (x)= + = + =1，故A错误，C正确；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x
1 1 2x 1 2x-1 2
f (-x)-f (x)= - = - = =1- ，不是常数，故BD错误；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x 2x+1 2x+1
故选：C．
7．【2022年北京】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的
状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论
中正确的是( )
A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】
根据T与lgP的关系图可得正确的选项.
【详解】
当T=220，P=1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当T=270，P=128时，2<lgP<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当T=300，P=9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.
当T=360，P=729时，因2<lgP<3, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8．【2022年浙江】已知2a=5,log 3=b，则4a-3b=(
)
8
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
1 4a (2a) 2 52 25
因为2a=5，b=log 3= log 3，即23b=3，所以4a-3b= = = = ．
8 3 2 43b (23b) 2 32 9
故选：C.
9．【2022年新高考1卷】(多选)已知函数f(x)及其导函数f' (x)的定义域均为R，记
(3 )
g(x)=f' (x)，若f -2x ，g(2+x)均为偶函数，则( )
2( 1)
A．f(0)=0 B．g - =0 C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)
2
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判
断即可得解.
【详解】
3
因为f( -2x)，g(2+x)均为偶函数，
2
3 3 3 3
所以f( -2x)=f( +2x)即f( -x)=f( +x)，g(2+x)=g(2-x)，
2 2 2 2
所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；
3
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称，
2
又g(x)=f' (x)，且函数f(x)可导，
3
所以g( )=0,g(3-x)=-g(x)，
2
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
1 3
所以g(- )=g( )=0，g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；
2 2
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定
f(x)的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函
数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
| 1 |
10．【2022年全国乙卷】若f (x)=ln a+ +b是奇函数，则a=_____，b=______．
1-x
1
【答案】 - ； ln2．
2
【解析】【分析】
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
| 1 |
因为函数f (x)=ln a+ +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1-x
1 a+1 1
由a+ ≠0可得，(1-x)(a+1-ax)≠0，所以x= =-1，解得：a=- ，即函数的
1-x a 2
定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，再由f (0)=0可得，b=ln2．即
| 1 1 | |1+x|
f (x)=ln - + +ln2=ln ，在定义域内满足f (-x)=-f (x)，符合题意．
2 1-x 1-x
1
故答案为：- ；ln2．
2
1
11．【2022年北京】函数f(x)= +√1-x的定义域是_________．
x
【答案】(-∞,0)∪(0,1]
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
1
解：因为f (x)= +√1-x，所以¿，解得x≤1且x≠0，
x
故函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1]；
故答案为：(-∞,0)∪(0,1]
12．【2022年北京】设函数f(x)=¿若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a
的最大值为___________．
【答案】 0(答案不唯一) 1
【解析】
【分析】
根据分段函数中的函数y=-ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不
符合条件，a>0时函数y=-ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x-2) 2的最小值，根据定义域讨论可知-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2) 2， 解得 0<a≤1.
【详解】
1 ,x<0
解：若a=0时， f(x)={ ，∴f(x) =0；
(x-2) 2,x≥0 min
若a<0时，当x<a时，f(x)=-ax+1单调递增，当x→-∞时，f(x)→-∞，故f(x)没有
最小值，不符合题目要求；
若a>0时，
当x<a时，f(x)=-ax+1单调递减，f(x)>f(a)=-a2+1，
0 (0<a<2)
当x>a时， f(x) ={ ¿
min (a-2) 2 (a≥2)
∴-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2) 2，
解得0<a≤1，
综上可得0≤a≤1；
故答案为：0(答案不唯一)，1
( (1))
13．【2022年浙江】已知函数f(x)=¿则f f = ________；若当x∈[a,b]时，
2
1≤f(x)≤3，则b-a的最大值是_________．
37
【答案】 3+√3##√3+3
28
【解析】
【分析】
结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【详解】
1 (1) 2 7 7 7 4 37
由已知f( )=- +2= ，f( )= + -1= ，
2 2 4 4 4 7 28
[ 1 ] 37
所以 f f( ) = ，
2 28
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3，所以-1≤x≤1，1
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+ -1≤3，所以1<x≤2+√3，
x
1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+√3，所以[a,b]⊆[-1,2+√3]，
所以b-a的最大值为3+√3.
37
故答案为： ，3+√3.
28
1．(2022·河南·模拟预测(文))已知函数 ，若 ，则
( )
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设 ，
则 ，即函数 是奇函数，
，则 ，而
所以 .
故选：C
2．(2022·全国·模拟预测(理))若幂函数 满足 ，则下列关于
函数 的说法正确的是( )
① 不是周期函数 ② 是单调函数 ③ 关于原点对称 ④
关于点 对称
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C【解析】
【分析】
根据题意可得 ，求导利用函数单调性解不等式可得 ，即
，结合性质分析判断．
【详解】
∵ ，即 ，则
构建 ，则
令 ，则
在 上单调递减，在 上单调递增
则 当且仅当 时等号成立
∴ ，则 ，
若 是周期函数，则存在非零实数 ，使得 对任意的 总成立，
但 时， 无意义， ，故两者不相等，故 不是周期函数，
①正确；
不是单调函数，②错误；
， 不是奇函数，③错误；
关于点 对称，④正确；
故选：C．
3．(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))已知函数 ，则
( )
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】B【解析】
【分析】
构造函数 ，由 为奇函数，
即可得解.
【详解】
将 的图像向左平移1个单位长度，
得到 的图像，
则 ，
令 ，
显然 为奇函数，
所以
．
故选：B．
4．(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在 上的函数 ，对任意的 ，都有
，且 ，则下列说法正确的是( )
A． 是以2为周期的偶函数 B． 是以2为周期的奇函数
C． 是以4为周期的偶函数 D． 是以4为周期的奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 ，结合 可得出 ，再由 即可求出 的周期，再由
，即可求出 为奇函数.
【详解】
即 ①，
在①中将 变换为 ，则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ②，
在②将 变换为 ，所以 ，所以 ，
所以 的周期为 .
因为 ，所以 ，
所以 为奇函数.
故选：D.
5．(2022·河南安阳·模拟预测(理))关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为( )
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定函数，计算 判断①；探讨 在 上单调性判断②；探讨 在
和 上单调性判断③；求出 的零点判断④作答.
【详解】函数 的定义域为 ，
对于①， ，则 ，
， 的图象关于直线 对称，①正确；
对于②，当 时， ， 在 单调递增，②不正确；
对于③，当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上
单调递减，
又 在 单调递增，因此 在 处取极大值 ，③正确；
对于④，由 得： ，即 或 ，解得 或
，
于是得 有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得
，则函数 图象关于直线 对称.
6．(2022·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数 满足 ，且
是奇函数，则( )
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
【答案】C【解析】
【分析】
由周期函数的概念易知函数 的周期为2，根据图象平移可得 的图象关于点
对称，进而可得奇偶性.
【详解】
由 可得2是函数 的周期，
因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 是奇函数，
故选：C.
7．(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，
则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ， ，
，则( )
A． ， ， 为“同形”函数
B． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
C． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
D． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中“同形”函数的定义和 、 均可化简成以3为底的指数形式，可得答案．
【详解】
解： ，，
故 ， 的图象可分别由 的图象向左平移 个单位、向右平移1个单位
得到，
故 ， ， 为“同形”函数．
故选：A．
8．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))定义在R上的函数 满足
，当 时， 若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数t的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得 ，两边平方转为
恒成立求解即可.
【详解】
当 时， 单调递减， ；当 时， 单调递减，
故 在 上单调递减：由 ，得 的对称轴方程为 ．若对任
意的 ，不等式 恒成立，所以 ，即，即 对任意的 恒成立，所以
解得 ．
故选：D．
9．(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数 满足
，且当 时， ，则 ( )
A． B．10 C．4 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到 的周期，再根据函数的周期性计算可得；
【详解】
解：由 ，得 ，
∴函数 是周期函数，且4是它的一个周期，
又当 时， ，
∴ ；
故选：B.
10．(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)下列函数中，既是偶函数又在 上单调递
减的是( )
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时 ，函数 单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数，
由幂函数的性质知函数 在R上单调递增，
所以函数 在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时 ，又 ，
所以函数 在 上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
所以 是奇函数，又 ，
令 ，令 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
11．(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数 ，若对任意
，存在 使得 恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】
根据题意可得只需 即可，由题可知a为对数底数且 或
.当 时，此时 在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知
在 上单调递减， 在 上单调递减，所以 ，
，所以 ，即 ，
可得 ；当 时，由复合函数单调性可知 在 上单调递减， 在
上单调递增，所以 ， ，所以
，即 ，可得 .综上： .
故答案为： .
12．(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知函数 是偶函数，则 _________．
【答案】-1【解析】
【分析】
利用偶函数的定义直接求解.
【详解】
函数 的定义域为R.
因为函数 是偶函数，所以 ，即 对任
意 恒成立，
亦即 对任意 恒成立，
所以 .
故答案为：-1
13．(2022·全国·模拟预测(理))已知函数 为偶函数，则
______．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函数定义列出关于 的方程，解之即可求得实数 的值
【详解】
函数 为偶函数，则有 ，
即 恒成立
则 恒成立
即 恒成立
则 ，经检验符合题意.
故答案为：1
14．(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))已知定义在(0，+ )上的函数f(x)满足：，若方程 在(0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围
是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知直线 与函数 的图像有三个交点，利用导数研究函数 的性质，
结合数形结合的数学思想即可求出k的取值范围.
【详解】
方程 在(0，2]上恰有三个根，
即直线 与函数 的图像有三个交点，
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以f(x)在(0， )上单调递减，f(x)在( ，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f(x)在(0，2]上的图像如下：
由于直线l； 过定点A(0， ).如图连接A，B(1，0)两点作直线 ，
过点A作 的切线l，
2设切点P( ， )，其中 ，则斜率
切线 过点A(0， ).
则 ，即 ，则 ，
当直线 绕点A(0， )在 与 之间旋转时.
直线 与函数 在[-1，2]上的图像有三个交点，故
故答案为：
15．(2022·北京·景山学校模拟预测)已知函数 ， ，若存在实数m，使得对于
任意的 ，都有 ，则称函数 ， 有下界，m为其一个下界；类似
的，若存在实数M，使得对于任意的 ，都有 ，则称函数 ，
有上界，M为其一个上界．若函数 ， 既有上界，又有下界，则称该函数为
有界函数．对于下列4个结论中正确的序号是______．
①若函数 有下界，则函数 有最小值；
②若定义在 上的奇函数 有上界，则该函数是有界函数；
③对于函数 ，若函数 有最大值，则该函数是有界函数；
④若函数 的定义域为闭区间 ，则该函数是有界函数．
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可．
【详解】解：①当 时， ，则 恒成立，则函数 有下界，但函数
没有最小值，故①错误；
②若定义在 上的奇函数 有上界，不妨设当 时， 成立，则当 时，
，则 ，
即 ，则 ，该 的下界是 ，则函数是有界函数，故②正确；
③对于函数 ，若函数 有最大值，设 ，则 ，该函数
是有界函数，故③正确；
④函数 ，则函数 的定义域为闭区间 ，
则函数 的值域为 ，则 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数．故④
错误；
故答案为：②③．
