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专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
[ π π]
1．【2022年全国甲卷】函数y=(3x-3-x)cosx在区间 - , 的图象大致为( )
2 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
π π
令f(x)=(3x-3-x )cosx,x∈[- , ]，
2 2
则f(-x)=(3-x-3x )cos(-x)=-(3x-3-x )cosx=-f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
π
又当x∈(0, )时，3x-3-x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
2
故选：A.
2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则( )
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9
可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【详解】
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，
9 lg9 2 2
lg10 lg11
所以 > ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m-9<8log
8
9-9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则
该函数是( )
-x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx
A．y= B．y= C．y= D．y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】x3-x
设f(x)= ，则f(1)=0，故排除B;
x2+1
2xcosx π
设h(x)= ，当x∈(0, )时，00，故排除D.
x2+1 10
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，
❑ 22
则∑f(k)=( )
k=1
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f (3)+f (5)+…+f (21)=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得
到f (1)的值即可求解.
【详解】
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2-x)=g(x+2)，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(-2)×5=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(-2)×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=-2-f (0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g(2-x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5-g(3)=-1.
所以
❑ 22
∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=-1-3-10-.10=-24
k=1
故选：D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，
然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且
22
f(x+ y)+f(x- y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f(k)=( )
k=1
A．-3 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数f (x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)
的值，即可解出．
【详解】
因为f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，
令x=0可得，f (y)+f (- y)=2f (y)，即f (y)=f (- y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得，
f (x+1)+f (x-1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知
f (x+2)=-f (x-1)，f (x-1)=-f (x-4)，故f (x+2)=f (x-4)，即f (x)=f (x+6)，所以
函数f (x)的一个周期为6．
因为f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1，f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2，
f (4)=f (-2)=f (2)=-1，f (5)=f (-1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．
k=1
故选：A．
1
6．【2022年北京】己知函数f(x)=
，则对任意实数x，有( )
1+2x
A．f(-x)+f(x)=0 B．f(-x)-f(x)=0
1
C．f(-x)+f(x)=1 D．f(-x)-f(x)=
3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
1 1 2x 1
f (-x)+f (x)= + = + =1，故A错误，C正确；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x
1 1 2x 1 2x-1 2
f (-x)-f (x)= - = - = =1- ，不是常数，故BD错误；
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x 2x+1 2x+1
故选：C．
7．【2022年北京】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的
状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论
中正确的是( )
A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】
根据T与lgP的关系图可得正确的选项.
【详解】
当T=220，P=1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当T=270，P=128时，20时函数y=-ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x-2) 2的最小值，根据定义域讨论可知-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2) 2， 解得 00时，
当xf(a)=-a2+1，
0 (0a时， f(x) ={ ¿
min (a-2) 2 (a≥2)
∴-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2) 2，
解得01时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+ -1≤3，所以1
