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专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
[ π π]
1．【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为
2 2
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
π π
令f(x)=(3x−3−x )cosx,x∈[− , ]，
2 2
则f(−x)=(3−x−3x )cos(−x)=−(3x−3−x )cosx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
π
又当x∈(0, )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
2
故选：A.
2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9
可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【详解】
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，
9 lg9 2 2
lg10 lg11
所以 > ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则
该函数是（ ）
−x3+3x x3−x 2xcosx 2sinx
A．y= B．y= C．y= D．y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】x3−x
设f(x)= ，则f(1)=0，故排除B;
x2+1
2xcosx π
设ℎ(x)= ，当x∈(0, )时，00，故排除D.
x2+1 10
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，
❑ 22
则∑ ❑f(k)=（ ）
k=1
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f (3)+f (5)+…+f (21)=−10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=−10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而
得到f (1)的值即可求解.
【详解】
因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2−x)=g(x+2)，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(−2)×5=−10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(−2)×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=−2−f (0)=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g(2−x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1.
所以
❑ 22
∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=−1−3−10.−10=−24
k=1
故选：D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，
然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且
22
f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑❑f(k)=（ ）
k=1
A．−3 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数f (x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)
的值，即可解出．
【详解】
因为f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，
令x=0可得，f (y)+f (−y)=2f (y)，即f (y)=f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1
得，f (x+1)+f (x−1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知
f (x+2)=−f (x−1)，f (x−1)=−f (x−4)，故f (x+2)=f (x−4)，即f (x)=f (x+6)，所
以函数f (x)的一个周期为6．
因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，
f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．
k=1
故选：A．
6．【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
7．【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据
V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法
的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】
由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
8．【2021年甲卷文科】设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】
由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进
行转化是解决本题的关键.9．【2021年甲卷理科】设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，
进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到
简便计算的效果．
10．【2021年乙卷文科】设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
11．【2021年乙卷理科】设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大
小关系，将0.01换成x,分别构造函数 ,
，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，
结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当00时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即,即b0,代入可得 ，结合奇偶性可得 .
【详解】
是奇函数， 时， ．当 时， ， ，得 ．故选D．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利
用转化与化归的思想解题．
29．【2019年新课标3卷理科】函数 在 的图像大致为
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】
设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又 排除选项D；
，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题
较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
30．【2019年新课标3卷理科】设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较
大小．
【详解】
是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，∴ ，
，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
31．【2018年新课标1卷理科】已知函数 ．若g（x）
存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为
有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数
解析式，画出函数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，
从图中可以发现，当 时，满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，
解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两
条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结
合思想，求得相应的结果.
32．【2018年新课标1卷文科】设函数 ，则满足 的x的
取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有
成立，一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参
数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函
数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确
定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
33．【2018年新课标2卷理科】函数 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解： 为奇函数，舍去A,舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右
的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
34．【2018年新课标2卷理科】已知 是定义域为 的奇函数,满足
.若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，
，从而 ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行
变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
35．【2018年新课标3卷理科】函数 的图像大致为A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点 ，排除 ，
求得函数的导数 ，
由 得 ，
得 或 ，此时函数单调递增，排除 ，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年
高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无
路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特
殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题
意的选项一一排除.36．【2018年新课标3卷理科】设 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
37．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)及其导函数f' (x)的定义域均为R，记
(3 )
g(x)=f' (x)，若f −2x ，g(2+x)均为偶函数，则（ ）
2
( 1)
A．f(0)=0 B．g − =0 C．f(−1)=f(4) D．g(−1)=g(2)
2
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判
断即可得解.【详解】
3
因为f( −2x)，g(2+x)均为偶函数，
2
3 3 3 3
所以f( −2x)=f( +2x)即f( −x)=f( +x)，g(2+x)=g(2−x)，
2 2 2 2
所以f(3−x)=f(x)，g(4−x)=g(x)，则f(−1)=f(4)，故C正确；
3
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称，
2
又g(x)=f' (x)，且函数f(x)可导，
3
所以g( )=0,g(3−x)=−g(x)，
2
所以g(4−x)=g(x)=−g(3−x)，所以g(x+2)=−g(x+1)=g(x)，
1 3
所以g(− )=g( )=0，g(−1)=g(1)=−g(2)，故B正确，D错误；
2 2
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定
f(x)的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函
数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
38．【2021年新高考2卷】设正整数 ，其中 ，
记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】
对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；
对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
| 1 |
39．【2022年全国乙卷】若f (x)=ln a+ +b是奇函数，则a=_____，b=______．
1−x
1
【答案】 − ； ln2．
2
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
| 1 |
因为函数f (x)=ln a+ +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1−x
1 a+1 1
由a+ ≠0可得，(1−x)(a+1−ax)≠0，所以x= =−1，解得：a=− ，即函数
1−x a 2
的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，再由f (0)=0可得，b=ln2．即| 1 1 | |1+x|
f (x)=ln − + +ln2=ln ，在定义域内满足f (−x)=−f (x)，符合题意．
2 1−x 1−x
1
故答案为：− ；ln2．
2
40．【2021年新高考1卷】已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】
因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
41．【2021年新高考1卷】函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单
调性，即可求 最小值.
【详解】
由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
42．【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】
取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
43．【2019年新课标2卷理科】已知 是奇函数，且当 时， .若
，则 __________.
【答案】-3【解析】
【分析】
当 时 ， 代入条件即可得解.
【详解】
因为 是奇函数，且当 时 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
44．【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，若 ，则 ________．
【答案】-7
【解析】
【详解】
分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得
到 ，从而求得 ，得到答案.
详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，
在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
45．【2018年新课标3卷文科】已知函数 ， ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】发现 ，计算可得结果.
【详解】
因为 ，
，且 ，则 .
故答案为-2
【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现 是关键，属于中档题.
