文档文本内容
知识解构
知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算
知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式
题型破译 (含超链接）
题型
1 复数的四则运算
题型
2 复数的高次方计算
题型
3 复数的实部与虚部
题型
4 复数的分类（纯虚数）
题型
5 复数相等
题型
6 共轭复数
题型
7 复数的几何意义
题型
8 复数的模长及与模相关的轨迹问题
【方法技巧】与模长相关的轨迹问题解题策略
题型
9 复数范围内解方程
【方法技巧】在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法
题型
10
复数的三角表示
第04 讲 复数
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
的
复数
实部、虚部
全国一卷T1（5 分）
的
复数
四则运算
全国**
的
错误
表达式**
卷T1（5 分）
全国二卷T2（5 分）
全国Ⅰ卷T2（5 分）
的模
复数
、综合运算
全国Ⅰ卷T9（5 分）
全国**
的
错误
表达式
**卷T1（5 分）
考情分析
复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；近三年高
考均以小题稳定考查.三年考情显示，试题以单选、多选、填空形式出现，侧重
运算化简、模长计算与坐标几何应用。
复习目标
1.通
方程的解，
复数
识
过
认
.
2.理解复数代数表示及其几何意义.
3.掌握复数的四
运算，了解加减法的几何意
则
义.
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是．
2、虚数单位：把平方等于－1 的数用符号i 表示，规定i2＝－
1 ，我们把i 叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C 表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi 与c＋di 相等的充要条件是a＝c 且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a －
b i ．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数
满足
，则
均为实数
【答案】D
【详解】对于A 中，由虚数单位
，可得A 错误；
对于B 中，若
，那么
，所以B 错误；
对于C 中，虚轴上的点
对应复数
，所以C 错误；
对于D 中，若复数
满足
，虚数不能比较大小，则
均为实数，D 正确.
故选：D.
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋
c ) ＋
( b ＋
d )i ；
（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a －
c ) ＋
( b －
d )i ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝( ac
－
bd
) ＋
( ad
＋
bc
)i ；
（4）除法：
必记结论
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
（3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
2、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数
满足
（i 是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意
.
故选：C.
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平
面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z( a ，
b ) 是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序
实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量⃗OZ的r 叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi 的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数
满足
，则
的最大值是
【答案】CD
【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复
数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，其对应的点位于复平面第三象限，故B 错误；
对于C，因
，故
，故C 正确；
对于D，由
可知，复数
对应的点的轨迹为以点
为圆心，半径为5 的圆，
而
可理解为点
到圆
上的点的距离，如图所示.
由图知，当且仅当圆
上的点在
处(三点共线)时，距离最大，为
，
故D 正确.
故选：CD.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数
的辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
（1）乘法：z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数
的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解.
【详解】∵
，
，
∴
，
，故选项A，C 错误；
∵
，
，
∴
，
，故选项B 正确，选项D 错误.
故选：B.
题●型●破●译
题型1 复数的四则运算
例1-1
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
例1-2 设为虚数单位，若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法化简复数
即可.
【详解】
.
故选：A.
例1-3 已知复数
，
.
(1)求
；(2)求
；(3)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
，
.
（2）
.
（3）因为
，所以
.
【变式训练1-1】已知为虚数单位，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．−3
【答案】D
【详解】
．
故选:D．
【变式训练1-2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
．
故选：C.
【变式训练1-3】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用复数的乘法化简，即可得.
【详解】
.
故选：D
【变式训练1-4·变载体】（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
（是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，
，所以
.
故选：A
【变式训练1-5·变考法】（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z 满足
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
题型2 复数的高次方计算
例2-1（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则
（ ）
A．2
B．0
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
化简原式，计算求解．
【详解】
，
，
．
故选：B
例2-2（2026·湖北黄石·一模）若复数
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，所以
.
故选：D
【变式训练2-1·变考法】
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果.
【详解】由题意得
故选：A．
【变式训练2-2·变考法】（2026·四川宜宾·一模）若复数z 满足
，则复数
______．
【答案】
【详解】由
，得
，则
.
故答案为：
【变式训练2-3·变载体】已知为虚数单位，设复数
满足
，则
.
【答案】
/
【详解】因为
，故
，可得
，因此，
.
故答案为：
.
题型3 复数的实部与虚部
例3-1（2026·山东临沂·一模）
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
的虚部为
.
故选：D
例3-2 设
，则
的实部和虚部分别为（ ）
A．1，
B．1，
C．
，
D．1，3
【答案】D
【分析】利用复数的除法及加减运算求解，再根据共轭复数概念作答.
【详解】由题意得，
，得
，
所以
，故
的实部和虚部分别为1，3.
故选：D.
【变式训练3-1】若复数
满足
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】借助复数运算法则计算即可得.
【详解】由
，则
，则复数
的虚部为.
故选：C.
【变式训练3-2】复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.
【详解】因为复数满足
，因此，复数的虚部为
.
故选:D.
【变式训练3-3·变考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数
满足
，则复数
虚部为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
，所以复数
虚部为
.
故选：C
【变式训练3-4·变载体】（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数
，则下列说法
正确的有（ ）
A．实部为
B．虚部为
C．
D．复数
对应的点在第一象限
【答案】AD
【分析】根据复数的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可得
，所以
的实部为
，虚部为
，
，
复数
对应的点为
，在第一象限.
故选：AD
【变式训练3-5·原创题】在复平面内，点
对应的复数为
，则复数
的虚部为__________.
【答案】
/
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的概念及复数的乘法和除法运算计算即可.
【详解】由题意知
，则
，所以
，故虚部为
.
故答案为：
/
题型4 复数的分类及纯虚数的概念
例4-1 若复数
为实数，则实数a 等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算可得
，集合复数的有关概念计算即可求解.
【详解】
，又
为实数，所以
，解得
.
故选：C
例4-2（2026·宁夏银川·一模）若
（
）为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】D
【详解】
，
因为
为纯虚数，所以
，且
，所以
.
故选：D
例4-3【新思维】复数z 满足
(1)若复数z 为实数，求m 的值；
(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值；
(3)设复数
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【分析】（1）由复数z 为实数，则虚部为0 可解；
（2）由复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0；
（3）由复数相等的条件，可得
，然后利用二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）复数z 为实数，所以
.
（2）复数z 为纯虚数，
所以
，解得
.
（3）
，
，即
，
又
，所以
时，
，
时，
，所以
的取值范围为
.
【变式训练4-1·变考法】已知复数
为纯虚数，（为虚数单位），则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求
.
【详解】
，因为复数
为纯虚数，故
，
故
，故
，
故选：D.
【变式训练4-2·变考法】设
，则“
是复数
”
“
为实数的（
”
）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数为实数求得
的值，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】若复数
为实数，则
，即
．
又
是
的真子集，故“
是复数
”
“
为实数的充分不必要条件．
”
故选：C．
【变式训练4-3·变考法】设
，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A．
一定是纯虚数
B．若
，则
C．
D．若
，则
是纯虚数．
【答案】C
【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断.
【详解】对于选项A：
设
，则
，
所以
，
当
时，
，所以不一定是纯虚数.所以A 错误.
对于选项B：设
，
为实数，
所以
.
则
，令
，
则
，符合题意，但是
.所以B 错误.
对于选项C ：设
，
,则
，若
，则
，此时
；
若
，则
，所以
成立，所以C 正确.
对于选项D：设
，
,则
，
若
，则
，所以
.
则
，当
时为纯虚数，当
时，为实数，所以D 错误.
故选：C.
【变式训练4-4·变角度】若复数
，则实数
的取值为__________.
【答案】
【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，
化简求解即可.
【详解】
，
，解得
，故实数
的取值为
.
故答案为：
题型5 复数相等
例5-1 已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出
，再逐一判断.
【详解】因
，则
，
则
，
，解得
或
，
若
，则AB 错误，D 正确；若
，则C 错误，D 正确；
故选：D
例5-2【新思维】若复数
，实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】D
【分析】法一：利用复数运算法则得到
，从而得到方程组，求出
，得
到答案；
法二：变形得到
，
是
的根，故
是方程的另一个根，由韦达定理得
到
，求出答案.
【详解】法一：因为
，
所以
，
所以
，解得
，故
；
法二：
，故
，
因为
是
的根，故
是方程的另一个根，
由韦达定理得
，
，故
，所以
.
故选：D
【变式训练5-1·变考法】（2026·河北邯郸·一模）已知复数
的共轭复数为
，若
，则
可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
，由
，得
，解得
，
结合选项可知
可能为
．
故选：D
【变式训练5-2·变考法】（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数
，且
（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可.
【详解】因为
，所以
，又
，所以
，
即
，所以
，解得
.
故选：AC
【变式训练5-3·变考法】（2026·福建泉州·一模）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0 或
D．0 或
【答案】C
【详解】设复数
，则
，所以
，
所以
，解得
或
，所以
或
.
故选：C
【变式训练5-4·变考法】（（25-26 高三上·上海·期中）已知
，其中为虚数单位，则
______.
【答案】
【分析】根据复数相等得到
的值，从而求出
的值.
【详解】已知
，其中
，则
，
，因此
.
故答案为：
题型6 共轭复数
例6-1（2026·广东江门·一模）已知
（其中是虚数单位），则
的共轭复数为（ ）
A．2
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数.
【详解】
，则
.
故选：A
例6-2（2026·湖北荆州·一模）已知复数z 满足
（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数
＝
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】由题意
，
则z 的共轭复数
故选：C
例6-3【新角度】已知复数z 的共轭复数为
，且
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】A
【详解】设
，
，
，则
，
，
所以，
，
因为
，所以，
，
则
，解得
，故
，
.
故选：A
【变式训练6-1】已知复数
，
，复数
，则
的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项.
【详解】由
，则
对应的点为
位于第一象限，所以A 正确，
故选：A.
【变式训练6-2】复数z 满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，化简得到
，得到
，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数
满足
，可得
，
则
，所以复数
的虚部为
.
故选：A.
【变式训练6-3】（2026·河北唐山·一模）
表示复数z 的共轭复数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，所以
.
故选：B.
【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z 满足
，
是z 的共轭复
数，则下列说法正确的是（ ）
A．z 的虚部为
B．复数
在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的运算法则，求得
，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算
公式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由复数z 满足
，可得
，
A，复数
的虚部为
，正确；
B，由
，得
，则复数
在复平面内对应的点为
位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得
，错误；
D，因为复数
和
都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
【变式训练6-5·变考法】（多选）已知
为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘
法运算可判断.
【详解】对于A，
，此时
，故A 错误；
对于B，若
，由共轭复数的定义可得
，故B 正确；
对于C，设
，由
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，如
，
，满足
，但
，故D 错误.
故选：BC.
题型7 复数的几何意义
例7-1（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点所在的象限
为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限.
【详解】由题意得复数
，
复数z 在复平面内对应的点为
，该点位于第一象限.
故选：A.
例7-2【新思维】已知复数
．
(1)求
；
(2)在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求
的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的定义求
，再根据复数的运算法则求结论；
（2）结合复数的几何意义求向量
的坐标，再结合向量夹角求
的大小.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，
所以
（2）依题意向量
于是有
，
为
与
的夹角，
，
，
.
【变式训练7-1】（2026·北京平谷·一模）若复数
满足
，则
在复平面内的对应点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算可得
，再根据复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可知：
，即
，
所以z 在复平面对应的点为
在第四象限.
故选：D
【变式训练7-2 变考法】已知复数
，
在复平面内对应的点分别为A，B，则“A 在第二象限是
”
“B 在第三
象限的（
”
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解.
【详解】设
，则
.若A 在第二象限，则
，
，则
，
，所以B
在第三象限.反之亦成立，所以“A 在第二象限是
”
“B 在第三象限的充要条件
”
.
故选：A.
【变式训练7-3 变载体】（2026·山东烟台·一模）已知复数
，则
在
复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】因为复数
，
所以
，
所以复数
在复平面内对应的点的坐标为
，又
，
，
所以
在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【变式训练7-4 变考法】（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数
，则下列结论正
确的有（ ）
A．
对应的点在第四象限
B．
C．
的共轭复数为
D．
的虚部为1
【答案】BCD
【分析】利用复数的几何意义即可判断.
【详解】对于A 选项，因为
，所以复数 z 对应的点为
，在第一象限，故 A
错误；
，故B 正确；
，故C 正确；
，
的虚部为1，故D 正确.
故选：BCD.
题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题
例8-1【新载体】（2026·福建龙岩·一模）已知复数
，则
的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】由复数模计算公式可得答案.
【详解】由题意
，则
.
故选：D
例8-3【新设问】（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z 满足
，且
，则
的最小
值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，先由
得到
，再由
，结合复数的几何意义可得z 在复
平面内对应的点
的运动轨迹，最后由
表示点
和
之间的距离，数形结合可得
结果.
【详解】设
，
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知z 在复平面内对应的点
在半径为3 的圆内部（含边界）的
坐标轴上运动，如图所示即在线段
，
上运动，
设
，则
，由图象可知
，所以
.
故选：C
方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略
（1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式
或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
（2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z = x + yi，则|z -(a+bi)|表示复平面内点
( x , y)与点(a,b)之间的距离，则|z -(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点．
【变式训练8-1】（2026·河北邢台·一模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】
，故
.
故选：B
【变式训练8-2·变载体】已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先设复数，再根据模长得出
，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计
算求解.
【详解】设
，故
；而
，
故
的最小值为
，
故选:C．
【变式训练8-3·变考法】已知复数
满足
（为虚数单位），则复数
在复平面上不可能位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】设
，由已知得
在复平面的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，由图即可判
断.
【详解】设
，由
得
，
可得
在复平面上对应的点的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，（如图）.
由图知圆
显然不经过第三象限，故复数
在复平面上不可能位于第三象限.
故选：C.
【变式训练8-4·变考法】（25-26 高三上·重庆·期中）已知复数
（
为实数），且
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的模的公式结合
可求出
的取值范围，确定复数
实部和虚部的符
号，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由
，则
，得
，复数
化简得
，
由
可得
，
，则复数
对应的点在第三象限.
故选：C.
【变式训练8-5 变题型】（多选）已知
为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
为纯虚数 D．若
，则
的最小值为1
【答案】ABD
【分析】选项A，根据复数除法运算，求得
，再根据模长运算即可求解；选项B，令
，
分别计算
和
，即可判断；选项C，设
，由
得
，可解得
，但要注意
的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断.
【详解】对于A，根据复数除法，
，
则
，所以A 正确；
对于B，令
，则
，
所以
，
，所以
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
，
所以
，
，
因为
，即
，解得
，
，
所以当
，
，不是纯虚数，故C 错误；
对于D，当
，复数
对应的点在单位圆上，即
，
表示复数
对应的点到点
的距离，最小值为圆心到点
的距离减去半径，即最小值为
，故D 正确.
故选：ABD.
题型9 复数范围内解方程
例9-1（2026·湖北黄冈·一模）设复数
是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．20
B．15
C．10
D．8
【答案】A
【详解】由复数
是关于
的方程
的一个根，
得复数
是该方程的另一个根，则
，所以
.
故选：A.
例9-2 已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，.
(1)求
、
的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到
，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，原方程为
，化简得到
，进而求得原方程的另一根.
【详解】（1）解：因为
为方程
的一个根，可得
，
整理得
，所以
，
解得
.
（2）解：由（1）得，原方程为
，
配方得
，于是
，
解得
或
，所以原方程的另一根为
.
方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练9-1】若
为
的复数根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据复数的三次方结合已知条件计算求解.
【详解】因为
为
的复数根，则
，即得
，
则
.
故选：A.
【变式训练9-2·原创题】（多选）方程
在复数集C 的两个根分别为：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据求根公式求出
，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断.
【详解】方程
，判别式
，
故方程的根为：
.
不妨取
，
，
选项A：
，故A 错；
选项B：
，
，
；故B 对.
选项C：
，
，故C 错.
选项D：
，故D 对.
故选：BD.
【变式训练9-3 变考法】（多选）已知
为关于
的方程
在复数范围内的一个根，
则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
为关于
的方程
的另一个根
【答案】AD
【分析】根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模
长公式即可逐一判断各选项.
【详解】对A，
，
，故A 正确；
对C，
，故C 错误；
对D，又
为关于
的方程
的一个根，故
也是方程的根，即D 正确；
对B，
，
，故B 错误.
故选：AD.
题型10 复数的三角表示
例10-1 已知复数
（为虚数单位），则
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数
，
根据复数的运算法则，可得
.
故选：C.
例10-2【新情境】棣莫弗公式
（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，
，
由棣莫弗公式，得
，所以
.
故选：C.
【变式训练10-1·变考法】（多选）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，
，
，
A 选项，
，所以A 选项正确；
B 选项，
，所以B 选项错误；
C 选项，
，所以C 选项正确；
D 选项，
，所以D 选项正确.
故选：ACD.
【变式训练10-2·变情境】任何一个复数
都可以表示成
的
形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算
．
【答案】
【分析】根据
，即可根据棣莫弗定理求解.
【详解】因为
，
所以
，
故答案为：
．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1. （多选）（2026·全国I卷·高考真题）设
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，复数
的共轭复数
，因此
，A 选项正确.
对于B 选项，复数的模
，因此
，B 选项错误.
对于C 选项，∵
，
∴
，该选项正确.
对于D 选项，
∵ 分子
，分母
，
∴
，
是实数，故
，该选项正确.
故选ACD.
2. （2026·全国II卷·高考真题）
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】
故选：B.
3．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
5．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若
，则
.
故选：C.
6．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
7．（2024·北京·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得
.
故选：C.
8．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简
，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得
，所以
.
故答案为：
9．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
【答案】2
【分析】设
且
，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设
，
且
.
则
，
，
，解得
，
故答案为：2.
10．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设
，利用复数的乘方运算及概念确定
，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知
在复平面内对应的点
在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段
上运动，
设
，则
，由图象可知
，
所以
.
故答案为：
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.复数
与
的积是实数的充要条件是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】由题意得
是实数，所以
.
故选：A
2.复数
的共轭复数是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】因为
，所以其共轭复数为
.
故选：B
3.当
时，复数
在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【详解】
.因为
2
1
3
m
，
所以3
2
0
m
，
1
0
m
，即
对应的点在第四象限.
故选：D
4.若复数z 的模为5，虚部为-4，则复数
________.
【答案】
或
【详解】设
，
，
，
或
.
故答案为：
或
5.已知复数
，那么
________.
【答案】
【详解】
，
，故
.
故答案为：
6.复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为________.
【答案】
【详解】
故答案为：
7.在复数集C 中解下列方程：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
，
方程
的根为
.
（2）原方程可转化为
，
，
方程的根为
.
8.已知
，
，
，求z.
【答案】
【详解】因为
，
，
所以
，所以
.
9.已知
，求z 及
.
【答案】
，
【详解】设
，则
.
，
，
即
，则必有
.
.
10.已知复数
，
，并且
，求
的
取值范围.
【答案】
【详解】由
得
，
由复数相等的定义知，必有
得
.
.
，
，
.故
.
11.若
，则复平面内满足
的点Z 的集合是什么图形?
【答案】Z 的集合是以
为圆心，以3 为半径的圆
【详解】解法1：由复数的几何意义可知，复平面内满足
的点Z 的集
合是以
为圆心，以3 为半径的圆.
解法2：
，
，
，即
，故复平面内满足
的点Z 的集合是以
为圆心，以3 为半径
的圆.
12.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，
，点A 所对应的复数是
，求另外两个顶
点B，C 所对应的复数.
【答案】B，C 所对应的复数分别为
，
【详解】如答图，由题意可知，
和
均为等边三角形.
又
，其中
为
的辐角.
将
绕原点O 按逆时针方向旋转60°，120°可得
，
，则
，
.
又
，
，
，
，
，
，
，
，
B，C 所对应的复数分别为
，
.
