文档文本内容
知识解构
知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算
知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式
题型破译 (含超链接）
题型
1 复数的四则运算
题型
2 复数的高次方计算
题型
3 复数的实部与虚部
题型
4 复数的分类（纯虚数）
题型
5 复数相等
题型
6 共轭复数
题型
7 复数的几何意义
题型
8 复数的模长及与模相关的轨迹问题
【方法技巧】与模长相关的轨迹问题解题策略
题型
9 复数范围内解方程
【方法技巧】在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法
题型
10
复数的三角表示
第04 讲 复 数
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
的
复数
实部、虚部
全国一卷T1（5 分）
的
复数
四则运算
全国**
的
错误
表达式**
卷T1（5 分）
全国二卷T2（5 分）
全国Ⅰ卷T2（5 分）
的模
复数
、综合运算
全国Ⅰ卷T9（5 分）
全国**
的
错误
表达式
**卷T1（5 分）
考情分析
复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；近三年高
考均以小题稳定考查.三年考情显示，试题以单选、多选、填空形式出现，侧重
运算化简、模长计算与坐标几何应用。
复习目标
1.通
方程的解，
复数
识
过
认
.
2.理解复数代数表示及其几何意义.
3.掌握复数的四
运算，了解加减法的几何意
则
义.
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是 ，虚部是 ．
2、虚数单位：把平方等于－1 的数用符号i 表示，规定i2＝ ，我们把i 叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C 表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi 与c＋di 相等的充要条件是a＝c 且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝ ．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数
满足
，则
均为实数
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；
（4）除法：
必记结论
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
（3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
2、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数
满足
（i 是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平
面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z 是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序
实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量⃗OZ的r 叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi 的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数
满足
，则
的最大值是
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成 的形式，其中r是
复数的模，θ是复数的辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
（1）乘法：z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数
的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题●型●破●译
题型1 复数的四则运算
例1-1
（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 设为虚数单位，若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-3 已知复数
，
.
(1)求
； (2)求
； (3)若
，求
.
【变式训练1-1】已知为虚数单位，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．−3
【变式训练1-2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4·变载体】（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
（是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-5·变考法】（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z 满足
，则
__________.
题型2 复数的高次方计算
例2-1（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则
（ ）
A．2
B．0
C．
D．
例2-2（2026·湖北黄石·一模）若复数
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1·变考法】
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式训练2-2·变考法】（2026·四川宜宾·一模）若复数z 满足
，则复数
______．
【变式训练2-3·变载体】已知为虚数单位，设复数
满足
，则
.
题型3 复数的实部与虚部
例3-1（2026·山东临沂·一模）
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 设
，则
的实部和虚部分别为（ ）
A．1，
B．1，
C．
，
D．1，3
【变式训练3-1】若复数
满足
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【变式训练3-2】复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3·变考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数
满足
，则复数
虚部为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练3-4·变载体】（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数
，则下列说法
正确的有（ ）
A．实部为
B．虚部为
C．
D．复数
对应的点在第一象限
【变式训练3-5·原创题】在复平面内，点
对应的复数为
，则复数
的虚部为__________.
题型4 复数的分类及纯虚数的概念
例4-1 若复数
为实数，则实数a 等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2
例4-2（2026·宁夏银川·一模）若
（
）为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
例4-3【新思维】复数z 满足
(1)若复数z 为实数，求m 的值；
(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值；
(3)设复数
，若
，求
的取值范围．
【变式训练4-1·变考法】已知复数
为纯虚数，（为虚数单位），则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变考法】设
，则“
是复数
”
“
为实数的（
”
）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练4-3·变考法】设
，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A．
一定是纯虚数
B．若
，则
C．
D．若
，则
是纯虚数．
【变式训练4-4·变角度】若复数
，则实数
的取值为__________.
题型5 复数相等
例5-1 已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2【新思维】若复数
，实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【变式训练5-1·变考法】（2026·河北邯郸·一模）已知复数
的共轭复数为
，若
，则
可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2·变考法】（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数
，且
（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3·变考法】（2026·福建泉州·一模）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0 或
D．0 或
【变式训练5-4·变考法】（（25-26 高三上·上海·期中）已知
，其中为虚数单位，则
______.
题型6 共轭复数
例6-1（2026·广东江门·一模）已知
（其中是虚数单位），则
的共轭复数为（ ）
A．2
B．2
C．
D．
例6-2（2026·湖北荆州·一模）已知复数z 满足
（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数
＝
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-3【新角度】已知复数z 的共轭复数为
，且
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【变式训练6-1】已知复数
，
，复数
，则
的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练6-2】复数z 满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式训练6-3】（2026·河北唐山·一模）
表示复数z 的共轭复数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z 满足
，
是z 的共轭复
数，则下列说法正确的是（ ）
A．z 的虚部为
B．复数
在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【变式训练6-5·变考法】（多选）已知
为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
题型7 复数的几何意义
例7-1（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点所在的象限
为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例7-2【新思维】已知复数
．
(1)求
；
(2)在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求
的大小．
【变式训练7-1】（2026·北京平谷·一模）若复数
满足
，则
在复平面内的对应点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练7-2 变考法】已知复数
，
在复平面内对应的点分别为A，B，则“A 在第二象限是
”
“B 在第三
象限的（
”
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-3 变载体】（2026·山东烟台·一模）已知复数
，则
在
复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练7-4 变考法】（25-26 高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数
，则下列结论正
确的有（ ）
A．
对应的点在第四象限
B．
C．
的共轭复数为
D．
的虚部为1
题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题
例8-1【新载体】（2026·福建龙岩·一模）已知复数
，则
的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
例8-3【新设问】（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z 满足
，且
，则
的最小
值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略
（1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式
或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
（2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z = x + yi，则|z -(a+bi)|表示复平面内点
( x , y)与点(a,b)之间的距离，则|z -(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点．
【变式训练8-1】（2026·河北邢台·一模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练8-2·变载体】已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3·变考法】已知复数
满足
（为虚数单位），则复数
在复平面上不可能位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练8-4·变考法】（25-26 高三上·重庆·期中）已知复数
（
为实数），且
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练8-5 变题型】（多选）已知
为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
为纯虚数 D．若
，则
的最小值为1
题型9 复数范围内解方程
例9-1（2026·湖北黄冈·一模）设复数
是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．20
B．15
C．10
D．8
例9-2 已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，.
(1)求
、
的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练9-1】若
为
的复数根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练9-2·原创题】（多选）方程
在复数集C 的两个根分别为：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3 变考法】（多选）已知
为关于
的方程
在复数范围内的一个根，
则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
为关于
的方程
的另一个根
题型10 复数的三角表示
例10-1 已知复数
（为虚数单位），则
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．
例10-2【新情境】棣莫弗公式
（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-1·变考法】（多选）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2·变情境】任何一个复数
都可以表示成
的
形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算
．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1. （多选）（2026·全国I卷·高考真题）设
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2026·全国II卷·高考真题）
（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
6．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·北京·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
9．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
10．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.复数
与
的积是实数的充要条件是( ).
A.
B.
C.
D.
2.复数
的共轭复数是( ).
A.
B.
C.
D.
3.当
时，复数
在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.若复数z 的模为5，虚部为-4，则复数
________.
5.已知复数
，那么
________.
6.复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为________.
7.在复数集C 中解下列方程：
（1）
；
（2）
.
8.已知
，
，
，求z.
9.已知
，求z 及
.
10.已知复数
，
，并且
，求
的
取值范围.
11.若
，则复平面内满足
的点Z 的集合是什么图形?
12.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，
，点A 所对应的复数是
，求另外两个顶
点B，C 所对应的复数.
