文档文本内容
第04 讲 复 数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 复数的四则运算
...................................................................................................................2
题型02 复数的高次方计算.....................................................................................................................2
题型03 复数的实部与虚部
...............................................................................................................3
题型04 复数的分类（纯虚数.................................................................................................................3
题型05 复数相等
...............................................................................................................................3
题型06 共轭复数
...............................................................................................................................4
题型07 复数的几何意义
...................................................................................................................4
题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题.........................................................................................5
题型09 复数范围内解方程.....................................................................................................................6
题型10 复数的三角表示.........................................................................................................................6
重难·创新演练........................................................................................................................................................7
真题·实战演练........................................................................................................................................................9
模拟·基础演练
考查重点：复数四则运算、复数高次幂运算、复数实部与虚部判断、纯虚数参数求解、复数相等应
用、共轭复数相关计算、复平面内点的象限判断与对称旋转、复数模长计算及轨迹最值问题、复数
范围内解方程、复数三角形式、棣莫弗公式与欧拉公式、复数几何旋转变换。
题型01 复数的四则运算
1．已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
为实数，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，
，计算
．
6．已知复数
，化简得
____________.
题型02 复数的高次方计算
7.（2026·山西朔州·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.若复数
，则
____________.
10.若复数
，则
的虚部为 .
题型03 复数的实部与虚部
11．（2026·陕西商洛·一模）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.（2025·江西新余·模拟预测）若
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数
满足
（i 为虚数单位），则
的实部与虚部和为
（ ）
A．0
B．
C．
D．2
14．（25-26 高三上·江苏南京·测试）（多选）已知复数
（为虚数单位），则下列说法错误的是
（ ）
A．的实部为1
B．的虚部为
C．
D．
15．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）复数
的虚部为____________.
题型04 复数的分类（纯虚数）
16．已知
为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
17.设
，则“
”是“复数
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
18．（多选）已知复数
、
，则（ ）
A．若
，则
B．若
为纯虚数，则
也为纯虚数
C．若
，则
是实数
D．若
，则
19．（25-26 高三上·江苏·期中）若复数
是纯虚数，则实数m 的值为______．
题型05 复数相等
20．若
（a，
，i 为虚数单位），则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
21．已知复数
满足
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
22．（2026·湖北·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．i
B．
C．
D．
23．（25-26 高二下·广东广州·期末）复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知复数
，则
__________.
题型06 共轭复数
25．设
，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
26．已知为虚数单位，复数
，则的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026·山东济南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（多选）若复数
满足
（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．
的模为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限D．
29．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z 满足
（i 为虚数单位），记
为z 的共轭复数，
则（ ）
A．
B．复数z 的虚部为
C．
D．复数z 在复平面内对应的点在第一象限
题型07 复数的几何意义
30．已知复数
满足
，则复数
在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
31.在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
32．若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
33.已知复数z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34．已知复数
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，
在复平面
内对应的点分别为
，
，若
，求
的值.
题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题
35．（2026·河北张家口·一模）已知复数
，复数
为复数
的共轭复数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
36．（2026·山东青岛·一模）已知复数
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
37．若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为 ．
38.（多选）已知复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在复平面内对应的点可能是
B．
C．
的实部与虚部之积小于等于3 D．复数
，则
的最大值为
39.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若
，则复平面内
对应的点位于第二象限
C．复数
，
D．若复数
满足
，则
的最大值为6
题型09 复数范围内解方程
40.（多选）（2026·河北沧州·一模）已知
为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
是方程
的两根，则
41．（25-26 高三上·浙江温州·期中）若
是关于的方程
的复数根，则
____________．
42.已知复数
是关于
的方程
的根，则
.
43.方程
的复数根为
，则
，使得
为纯虚数的实数
的值为 .
题型10 复数的三角表示
44.（多选）任何一个复数
都可以表示为
，且可以表示为三角形式
代表复数
的模，
是以
轴的非负半轴为始边，以
所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发
现
，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数
满足
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
45.殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式
，从而
建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数
表示成
（
，i 为虚
数单位）的形式____________.
46．在复平面内，常把复数
和向量
进行一一对应．现把复数
对应的向量绕
原点
按顺时针方向旋转
，所得的向量对应的复数虚部为____________.
47.任何一个复数
（其中
，为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通
常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，
我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
，
时，则
________；对于
，
，
________．
重难·创新演练
设题创新: 融合复平面旋转对称变换求复数模、利用数形结合解决复数轨迹最值问题、复数与概率
直角三角形实系数二次方程韦达定理综合命题、多选项辨析复数基础性质、拓展欧拉公式棣莫弗三
角形式拓展类新颖题型。
1．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P 对应复数．将点
绕原点逆时针旋转
，再关于实轴对称，
所得点对应复数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
3．【新考法】若复数满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．（多选）已知复数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
为纯虚数
D．
5．（25-26 高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数
（为虚数单位），下列说法正确的是
（ ）
A．
的对应点在第三象限
B．
的虚部为
C．
D．满足
的复数对应的点在以原点为圆心，
为半径的圆上
6．（多选）若复数
（i 为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．
B．若
，则
C．若
为虚数，则
也为虚数
D．若
，则
的最大值为
7．【新考法】（多选）若
，
为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
8．【新考法】若复数
（其中是虚数单位）的实部、虚部均为
十个数字中的一个，则
该复数为纯虚数的概率是___________．
9．【新角度】已知直角三角形ABC 的顶点坐标分别为
，若虚数
是
实系数一元二次方程
的根，则实数
__________.
10．【新考法】已知复数
，复数
在复平面内对应的点为
．
(1)若复数
是关于的方程
的一个根，
，求
的值：
(2)若复数满足
，求复数的共轭复数
．
真题·实战演练
高频考点：复数基础四则化简、共轭复数运算、复数模长求解、利用复数相等求参数、复数简单代
数求值计算。
1. （2026·北京·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C. 2
D. 8
2. （2026·上海·高考真题）已知
，
为复数，当
为实数或
的共轭复数为实数时，称
和
互
相伴随．则当
和
互相伴随时，
和
互相伴随的充要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
6．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
____________.
