文档文本内容
第04 讲 指数与指数函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 根式与指数幂的运算.................................................................................................................2
题型02 指数函数的概念、定义域及解析式.........................................................................................2
题型03 指数函数的定点问题
........................................................................................................... 2
题型04 指数函数的图象问题.................................................................................................................3
题型05 指数函数的单调性
...............................................................................................................3
题型06 指数函数的值域（最值）
...................................................................................................4
题型07 根据指数函数的最值求参数.....................................................................................................4
题型08 比较指数幂的大小.....................................................................................................................5
题型09 解指数不等式
.......................................................................................................................5
题型10 指数应用题
...........................................................................................................................6
重难·创新演练........................................................................................................................................................7
真题·实战演练......................................................................................................................................................10
模拟·基础演练
考查重点：考查指数幂的化简与运算、指数函数的概念、定义域与解析式求解；重点考查指数函数
定点、图象识别、单调性、值域与最值问题，同时涵盖指数幂大小比较、指数不等式求解、指数模
型实际应用等核心考点。侧重考查基本公式运用、函数图象性质理解以及分类讨论、数形结合的数
学思想，题目难度以基础、中档为主，全面夯实指数函数基础知识与常规解题方法。
题型01 根式与指数幂的运算
1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.计算：
__________.
3.已知
，则
的最小值为__________.
4.（2026·陕西安康·三模）若
，则
___________．（用m，n 表示）
题型02 指数函数的概念、定义域及解析式
5.（25-26 高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
6.函数
的定义域为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7.下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.若指数函数
满足
，则
___________．
9.（2026·湖南长沙·三模）若
为指数函数，且
，则
______
题型03 指数函数的定点问题
10.（25-26 高三·全国·一轮复习）函数
（
且
）的图象必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·山西太原·模拟）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图
象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
12.（2026·上海·三模）已知函数
是指数函数，则函数
的图象过定点
___________．
题型04 指数函数的图象问题
13.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.函数f(x)＝(
1
8)
|x ＋2|
的部分图象大致为（ ）
15．（多选）（25-26 高三上·山西·阶段检测）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（
）
A．
B．
C．
D．
16.（2026 高三·全国·专题练习）已知
，且
，若函数
与
的图像有两个交点，则实
数的取值范围是___________．
17.若函数
的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是___________．
题型05 指数函数的单调性
18.“
”是函数
在R 上单调递增的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19.（25-26 高三上·贵州安顺·期末）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增 B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增 D．
是偶函数，且在
上单调递减
20.（25-26 高三下·江西赣州·开学）若函数
在
上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 指数函数的值域（最值）
22.函数
的定义域为
，则函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（25-26 高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数
则
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
24.函数
的值域为___________．
25.（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
．已知函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 根据指数函数的最值求参数
26．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上的最大值是14，则实数
的值是（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．5 或
27.已知函数
，
的值域为
，则的取值范围是___________．
28．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知函数
，其中
且
．
（1）若
，求
的最小值；
（2）当
时，
恒成立，求实数的取值范围．
题型08 比较指数幂大小
29.设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
30.当
时，下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
31.（2026·北京大兴·三模）若
，
，
，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
32.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 解指数不等式
33.设
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
34.（2026·四川内江·二模）已知
，则关于的不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
35.（2026·江西萍乡·一模）设
和
分别为
上的偶函数和奇函数，若
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
36.（2026 高三·全国·专题练习）不等式
的解集为___________．
37.已知函数
，则不等式
成立的实数m 的取值范围为___________．
38.（2026·福建福州·模拟检测）已知函数
（其中，为常数，且
，
）的图象经过点
，
．
（1）求
的解析式；
（2）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
题型10 指数应用题
39．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规
定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．假设某
驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精
含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
40．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.
已知该物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
41.（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）碳14 是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14 含量按确
定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14 推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一
半所用的时间称为一个半衰期，碳14 的半衰期是5730 年.假设某生物死亡时其体内碳14 的含量为
，则
此生物的死亡时间t（
，单位：年）和死亡后体内碳14 的剩余含量M 的函数关系可以是
___________.
重难·创新演练
设题创新: 本板块在常规考点基础上进行题型创新、情境创新与设问创新。结合新定义、新考法、
新载体、新情境命题，融合函数奇偶性、对称性、恒成立、存在性等综合问题；设置多选、分段函
数、复合函数综合题型，深度考查指数函数与其他知识的交汇应用。侧重考查逻辑推理、转化与化
归能力，区分度较高，贴合新高考命题趋势，强化知识综合运用与数学思维拓展。
1．【新考法】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东广州·阶段检测）已知函数
的图象如图所示，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3. 【新考法】（2026·安徽合肥·模拟）已知指数函数
的图象过点
，函数
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．
4．【新考法】若不等式
在
上恒成立，且
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5.比较大小
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．【新考法】（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 【新载体】（2026·河北保定·二模）已知函数
若关于z 的不等式
在
上有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 【新题型】（多选）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图象如图
所示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点 B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于的方程
有两个不等实根 D．
在区间
上单调递增
9．（2026·江苏南通·模拟）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
在
上单调递增
C．若
，则实数的最大值为
D．若
，则实数的最大值为1
10．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增 D．
在
上单调递减
11．【新情境】（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：
次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足
，其中为正整数，
表示不超过的最大整数.当
时，心
率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时
的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
12. 【新定义】若函数
对于任意
，总存在
使得
，则称
是
上的“a 阶依赖函数”.若函数
是
上的“a 阶依赖函数”，则实数
的取值范
围是___________．
13.已知a>0 且a≠1,函数f(x)＝{
a
x , x ≤1,
- x＋a, x>1,
若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大5
2
,则a 的值为
___________．
14. 【新考法】（2026 高三上·四川成都·专题练习）已知函数
，
（1）判断并用定义证明函数
的单调性；
（2）当
时，
恒成立，求的取值范围；
（3）若存在
，使得不等式
对任意
恒成立，求的取值范
围．
15. 【新定义】（2026·河北廊坊·阶段检测）对于函数
，若存在实数对
，使得等式
对定义域中的任意都成立，则称函数
是“
型函数”.
（1）判断函数
，
是否是“
型函数”；
（2）若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若函数
（其中
，为常数，且
）是“
型函数”，且存在满足条件的实
数对
，求实数
，满足的关系式.
真题·实战演练
高频考点：汇总近年高考真题高频考查方向：指数式大小比较、指数型函数零点判断、指数函数单
调性综合应用、函数性质综合辨析。命题常结合幂函数、二次函数、不等式等知识交汇考查，以选
择题为主，难度中等，重点考查学生对指数函数核心性质的灵活运用，是高考高频命题模块。
1．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
