文档文本内容
第04 讲 复 数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 复数的四则运算
...................................................................................................................2
题型02 复数的高次方计算.....................................................................................................................3
题型03 复数的实部与虚部
...............................................................................................................4
题型04 复数的分类（纯虚数.................................................................................................................5
题型05 复数相等
...............................................................................................................................7
题型06 共轭复数
...............................................................................................................................8
题型07 复数的几何意义
.................................................................................................................10
题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题.......................................................................................11
题型09 复数范围内解方程...................................................................................................................13
题型10 复数的三角表示.......................................................................................................................15
重难·创新演练......................................................................................................................................................17
真题·实战演练......................................................................................................................................................22
模拟·基础演练
考查重点：复数四则运算、复数高次幂运算、复数实部与虚部判断、纯虚数参数求解、复数相等应
用、共轭复数相关计算、复平面内点的象限判断与对称旋转、复数模长计算及轨迹最值问题、复数
范围内解方程、复数三角形式、棣莫弗公式与欧拉公式、复数几何旋转变换。
题型01 复数的四则运算
1．已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】复数
，
.
故选：B.
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
3.若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
4．
为实数，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为复数
是实数，所以
，所以
.
故选:B.
5．已知
，
，
，计算
．
【答案】
【详解】因为
，
，
，
所以
．
故答案为：
6．已知复数
，化简得
____________.
【答案】
【详解】
，
故答案为：
题型02 复数的高次方计算
7.（2026·山西朔州·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】化简得
.
故选：C.
8．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数的乘方、除法得
，结合虚部的概念即可得解.
【详解】因为
，所以复数
的虚部为
.
故选：C.
9.若复数
，则
____________.
【答案】
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
10.若复数
，则
的虚部为 .
【详解】因为
，
，
故复数
，故
的虚部为
，
故答案为：
题型03 复数的实部与虚部
11．（2026·陕西商洛·一模）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
.所以
的虚部是
．
故选：B.
12.（2025·江西新余·模拟预测）若
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等式利用复数的乘法和除法，求出复数
，从而确定复数
的虚部.
【详解】依题意，
，
故
的虚部为
.
故选：C.
13．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数
满足
（i 为虚数单位），则
的实部与虚部和为
（ ）
A．0
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果.
【详解】由
，可得
，
所以
的实部为
，虚部为
，则实部与虚部和为
.
故选：C.
14．（25-26 高三上·江苏南京·测试）（多选）已知复数
（为虚数单位），则下列说法错误的是
（ ）
A．
的实部为1
B．的虚部为
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据实部、虚部的定义，可判断A、B 的正误；根据求模公式及共
轭复数的定义，可判断C、D 的正误.
【详解】由题意
，所以z 的实部为1，虚部为1，故A 正确，B 错误，
模为
，共轭复数为
，故C 正确，D 错误.
故选：BD.
15．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）复数
的虚部为____________.
【答案】
【详解】因为
，所以
的虚部为
.
故答案为：
题型04 复数的分类（纯虚数）
16．已知
为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解.
【详解】设
，则
，
所以
，所以
，所以
．
故选：B．
17.设
，则“
”是“复数
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【详解】复数
，则
，解
得，
或
，
解
得，
或.综上，
；
，则
，充分性成立；
，则
，必要性成立，
“
”是“复数
”的充要条件．
故选：C．
18．（多选）已知复数
、
，则（ ）
A．若
，则
B．若
为纯虚数，则
也为纯虚数
C．若
，则
是实数
D．若
，则
【答案】AC
【分析】设
，根据共轭复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC 选项；取
，
，结合复数的运算、复数的概念可判断BD 选项.
【详解】对于A 选项，设
，若
，则
，
所以
，A 对；
对于B 选项，不妨取
，
，则
为纯虚数，
但
为实数，B 错；
对于C 选项，设
，若
，则
，所以
为实数，C 对；
对于D 选项，不妨取
，
，则
，但
且
，D 错.
故选：AC.
19．（25-26 高三上·江苏·期中）若复数
是纯虚数，则实数m 的值为______．
【答案】0
【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0 且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可.
【详解】根据纯虚数的定义：对于复数
，当且仅当
且
时，该复数为纯虚数，
因为复数
为纯虚数，m 为实数，
所以
，即
，解得
.
故答案为：0
题型05 复数相等
20．若
（a，
，i 为虚数单位），则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据复数的乘法计算结合复数相等得出参数即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
，得
，
，所以
．
故选：A．
21．已知复数
满足
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】设
，
，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数
，根据复数的模长公式即可求解.
【详解】设
，
，由
，
∴
，解得
，∴
，∴
.
故选：D.
22．（2026·湖北·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．i
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，设
，
，根据共轭复数结合复数运算可得
，列式求解即可.
【详解】因为
，即
，
设
，
，则
，
可得
，
，则
，
可得
，解得
，所以
.
故选：C.
23．（25-26 高二下·广东广州·期末）复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，代入题干所给的等式求解
，根据模长公式计算模长，代入即可求解．
【详解】设
，则
，则
，
则
，解得
；故
，
；故
．
故选：D.
24．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知复数
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，解得
.
故答案为：
题型06 共轭复数
25．设
，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断.
【详解】因为
，所以
，所以在复平面内
对应的点为
在第一象限.
故选：A.
26．已知为虚数单位，复数
，则
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】复数
，则
的共轭复数为
.
故选：D.
27．（2026·山东济南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由复数
，可得
，所以
28．（多选）若复数
满足
（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．
的模为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限D．
【答案】ACD
【分析】利用复数的除法化简得出复数
，可判断A 选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判
断B 选项；利用复数的几何意义可判断C 选项；利用复数的运算可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，A 对；
对于B 选项，
，则
，B 错；
对于C 选项，
在复平面内对应的点的坐标为
，位于第四象限，C 对；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ACD.
29．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z 满足
（i 为虚数单位），记
为z 的共轭复数，则
（ ）
A．
B．复数z 的虚部为
C．
D．复数z 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】AC
【分析】由已知计算出
，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的
加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
【详解】因为
，所以
，对于A：
，A 正确；
对于B：因为复数
，所以复数
的虚部为
，B 错误；对于C：因为
，所以
，所以
，又
，所以
，C 正确；
对于D：因为复数
，所以复数
在复平面内对应的点坐标为
，在 第四象限，D 错误；
故选：AC.
题型07 复数的几何意义
30．已知复数
满足
，则复数
在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出
，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
【详解】由题意可得
，所以
在复平面对应点
，在第一象限，
故选：A
31.在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解.
【详解】∵
，∴
对应的点为
，∴
对应的点
位于第二象限.
故选：B.
32．若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简复数，利用复数的几何意义得到关于
的不等式组，求解即得.
【详解】因
在复平面内所对应的点
在第四象限，
所以
，解得
，故a 的取值范围是
．
故选：B．
33.已知复数z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用复数的除法运算法则化简
，再根据对称性求解即可.
【详解】
，因为z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以
．
故选：B.
34．已知复数
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，
在复平面
内对应的点分别为
，
，若
，求
的值.
【答案】(1)1
(2)1 或
【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解；
（2）由题，利用复数的几何意义求得
，
，利用两向量垂直的坐标关系求解.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
.
（2）由题，
，所以
，
，则
，
由
，则
，解得
或
.
题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题
35．（2026·河北张家口·一模）已知复数
，复数
为复数
的共轭复数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】由复数
可得
，
因此
，所以
.
故选：A.
36．（2026·山东青岛·一模）已知复数
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】B
【详解】由
，则
，所以
.
故选：B.
37．若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】根据
可得z 的轨迹为以
为圆心，以3 为半径的圆，
表示点
到
的距
离，结合几何意义可得结果.
【详解】设
，因为
即
，
所以z 的轨迹为以
为圆心，以3 为半径的圆，
所以
，其表示上述圆上的点
到点
的距离，
所以其最大值为
到
的距离加半径，为
.
故答案为：
.
38.（多选）已知复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在复平面内对应的点可能是
B．
C．
的实部与虚部之积小于等于3 D．复数
，则
的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据复数的几何意义，可知
在复平面对应的点为以原点为中心，半径为
的圆上，从而判断
AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D.
【详解】
，则
在复平面对应的点为以原点为中心，半径为
的圆上，
复平面的点
，其模为
正确；
错误；
令
，则有
，所以实部与虚部之积
，C 正确；
，则
，D 正确.
故选：ACD.
39.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若
，则复平面内
对应的点位于第二象限
C．复数
，
D．若复数
满足
，则
的最大值为6
【答案】AD
【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；
对于C，利用复数的四则运算化简复数
，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得
到.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，由
，则
，
则复平面内
对应的点位于第三象限，故B 错误；
对于C，因
，则
，故C 错误；
对于D，由
可知复数
对应的点表示以原点为圆心，半径为1 的单位圆
，
而
则可以理解为点
到该圆上的点的距离，
故该距离最大值为
.故D 正确.
故选：AD.
题型09 复数范围内解方程
40.（多选）（2026·河北沧州·一模）已知
为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
是方程
的两根，则
【答案】ABD
【分析】设
，
，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取
，
判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D.
【详解】A，设
，
，
，
，所以
，正确；
B，设
，则
，
由
，得
，所以
，正确；
C，若
，不妨取
，
，此时
，但
不成立，错误；
D，若
是方程
的两根，根据韦达定理可知
，
则
，正确．
故选：ABD
41．（25-26 高三上·浙江温州·期中）若
是关于的方程
的复数根，则
____________．
【答案】31
【分析】易知
是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解.
【详解】因为
是关于的方程
的一个复数根，
所以
是关于
的方程
的另一个复数根，
由韦达定理得
，解得
，
所以
.
故答案为：31
42.已知复数
是关于
的方程
的根，则
.
【答案】26
【分析】依据题意可知
也是方程的根，然后利用韦达定理可知
.
【详解】由题可知：复数
是关于
的方程
的根，则
也是方程
的根，所以
.
故答案为：26
43.方程
的复数根为
，则
，使得
为纯虚数的实数
的值为 .
【答案】
【分析】在复数范围内求解二次方程的根，结合复数的运算法则进行运算.
【详解】由
，得
，则
.
若
，则
，所以
，解得
.
若
，则
，所以
，解得
.
故答案为：①
；②
.
题型10 复数的三角表示
44.（多选）任何一个复数
都可以表示为
，且可以表示为三角形式
代表复数
的模，
是以
轴的非负半轴为始边，以
所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发
现
，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数
满足
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】根据棣莫弗定理可得
的一般形式，求出
、可得答案.
【分析】设
，其中
，则
，
所以
，而
，则
，
故
即
，故
，故B，D 正确，A，C 错误.
故选：BD.
45.殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式
，从而
建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数
表示成
（
，i 为虚
数单位）的形式____________.
【答案】
【分析】根据欧拉公式可得
，结合复数的加法可得
.
【详解】
，
，所以
．
故答案为：
.
46．在复平面内，常把复数
和向量
进行一一对应．现把复数
对应的向量绕
原点
按顺时针方向旋转
，所得的向量对应的复数虚部为____________.
【答案】
【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即
可.
【详解】由题意，复数
对应的向量绕原点
按顺时针方向旋转
，
可得
，
所以，所得的向量对应的复数虚部为
.
故答案为：
.
47.任何一个复数
（其中
，为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通
常称之为复数
的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，
我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
，
时，则
________；对于
，
，
________．
【答案】
;
【详解】当
，
时，
，
所以
；
，令
，
则
，
，
，
而
，
则
，
，
所以
．
重难·创新演练
设题创新: 融合复平面旋转对称变换求复数模、利用数形结合解决复数轨迹最值问题、复数与概率
直角三角形实系数二次方程韦达定理综合命题、多选项辨析复数基础性质、拓展欧拉公式棣莫弗三
角形式拓展类新颖题型。
1．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
的共轭复数为
.
故选：A
2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P 对应复数．将点
绕原点逆时针旋转
，再关于实轴对称，
所得点对应复数
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【详解】将复数
对应的点绕原点逆时针旋转
，对应复数变为
；再关于实轴对称，对应复数变为
，
所得点对应复数为
，旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长，所以
．
故选：B
3．【新考法】若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】先利用复数模的几何意义，将复数
转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心
到定点的距离加半径求解即可.
【详解】因为
，所以复数
对应的点的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆，
表示圆上的点与定点
的距离，
而圆心到定点的距离为4，则
的最大值为
．
故选：C
4．（多选）已知复数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
为纯虚数
D．
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断
；根据复数的分类可判断
；根据纯虚数的定义可判断
；
表示点
到
的距离，数形结合即可判断
.
【详解】
，所以
，
对于
：
，故
正确；
对于
：
，
所以
，或
，或
，
当
时，
不是实数，故
错误；
对于
：若
，则
，所以
为纯虚数，故
正确；
对于
：
对应的点
表示圆
上的点，
对应的点
，
表示点
到
的距离，由图可知
，故
正确.
故选：
.
5．（25-26 高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数
（为虚数单位），下列说法正确的是
（ ）
A．
的对应点在第三象限
B．
的虚部为
C．
D．满足
的复数
对应的点在以原点为圆心，
为半径的圆上
【答案】ACD
【详解】由题可得：
，
则复数
在复平面内对应的点
位于第三象限，A 正确；
因为
，则复数
的虚部为
，B 错误；
，C 正确；
由
，
可知满足
的复数对应的点在以原点为圆心，半径为
的圆上，D 正确.
故选：
.
6．（多选）若复数
（i 为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．
B．若
，则
C．若
为虚数，则
也为虚数
D．若
，则
的最大值为
【答案】ABC
【分析】A 选项，
；B 选项，计算出
，故
；C 选项，化简得到
，由题意得
，故
也是虚数，C 正确；D 选项，根据复数的几何意
义得到
的几何意义为复平面内，到
的距离为1 的圆，从而求出
的最大值.
【详解】A 选项，
，则
，故
，A 正确；
B 选项，若
，则
，
，
，B 正确；
C 选项，
，
由题意得
，故
也是虚数，C 正确；
D 选项，
的几何意义为复平面内，到
的距离为1 的圆，
故此圆上的点到原点的距离最大值为
，D 错误.
故选：ABC
7．【新考法】（多选）若
，
为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】设
，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解.
【详解】设
，由
，
所以
，
，
所以
，故A 正确；
由
，
，所以
不一定成立，故B 错误；
由
，
，所以
，
故C 正确；
由
，
，所以
不一定成立，故D 错
误.
故选：
.
8．【新考法】若复数
（其中是虚数单位）的实部、虚部均为
十个数字中的一个，则
该复数为纯虚数的概率是___________．
【答案】
/
【详解】因为实部、虚部均为
十个数字中的一个，所以复数
共有
个，
若该复数为纯虚数，则
且
，故这样的纯虚数有9 个，所以该复数为纯虚数的概率是
.
故答案为：
/
9．【新角度】已知直角三角形ABC 的顶点坐标分别为
，若虚数
是
实系数一元二次方程
的根，则实数
__________.
【答案】
【分析】先利用韦达定理求出
的值，再分类讨论，利用向量的数量积，分别求出实数的值即可.
【详解】由题意可知
的两个根为
和
(
)，
由韦达定理可得
，
，即
,解得
，
，则
，
，
于是
，
，
.当
时，有
，
则
，解得
；当
时，有
，
则
，即
，解得
；
当
时，有
，则
，解得
.
综上所述，
的所有可能取值为
.
故答案为：
10．【新考法】已知复数
，复数
在复平面内对应的点为
．
(1)若复数
是关于的方程
的一个根，
，求
的值：
(2)若复数
满足
，求复数的共轭复数
．
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）由题意
，将
代入方程，可得m，n 的值，即可得答案.
（2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】（1）由题意
，将
代入方程可得
，
整理得
，即
，
所以
，解得
，所以
.
（2）由题意
，
所以
，则复数的共轭复数
真题·实战演练
高频考点：复数基础四则化简、共轭复数运算、复数模长求解、利用复数相等求参数、复数简单代
数求值计算。
1. （2026·北京·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C. 2
D. 8
【答案】A
【详解】由题意
，则
.
故选：A
2. （2026·上海·高考真题）已知
，
为复数，当
为实数或
的共轭复数为实数时，称
和
互
相伴随．则当
和
互相伴随时，
和
互相伴随的充要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】设
，
，由条件结合
和
互相伴随的定义可得
，根据充要条件判断结
论.
【详解】设
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
因为
和
互相伴随，所以
，
若
，则
为实数，所以
和
互相伴随，
若
和
互相伴随，则
，所以
和
互相伴随的充要条件为
.
故选：D
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出
，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，
，故
.
故选：D
4．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由
，则
.
故选：A
5．（2023·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简
，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得
，则
.
故选：C.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为
，
所以
，解得：
．
故选：C.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数
的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得
，则
.
故选：B.
9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
____________.
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】
.
故答案为：
.
