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单元集训卷17 平面向量与复数
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量
，设
的夹角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意知，
，则
，
，则
不成立，A 错误；
，
，则
与不平行，B 错误；
，
，则
不成立，C 错误；
，则
，
则
，
又
，
，D 正确．
2．已知复数
，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】依题意，复数
，则
，
因此在复平面内
对应的点
位于第一象限.
3．如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用基底
表示
，再设
，即可构造关于
的方程组.
【详解】因
，则
，
故
，
因
三点共线，故设
，则
，
因
，则
，解得
．
故选：D．
4．设
，若
为实数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】先求出
的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为
列方程求解参数
.
【详解】首先根据共轭复数的定义，可得
，
，
因为该复数为实数，故其虚部为
，且
恒成立，
因此
，解得
.
故选：B.
5．已知在三角形ABC 中，
是BC 的中点，且
，则
（ ）
A．-9
B．-16
C．-21
D．-24
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三角形形状，再建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积的坐标
表示求解.
【详解】在三角形ABC 中，
，三角形ABC 为直角三角形，
是BC 的中点，
则
，由题意得，
是AD 的中点，
以
为坐标原点，AB，AC 所在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系，
则
，由
，即
，得
，
则
，
，所以
．
故选：C
6．在复平面内，已知复数
和
对应的向量分别是
和
（其中
是坐标原点，为虚数单位），向量
对应的复数是
，若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得.
【详解】由题意可得
，则
，所以
，对应点
.
表示复数
在复平面对应的点
，在以原点
为圆心、半径
的圆上.
的几何意义是：圆
上的点
到定点
的距离.
先算原点
到定点
的距离
，
因此
的最大值为
.
7．如图所示，已知
，点
，
满足
，
，
与
交于点
，
交
于点
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，由
共线，存在
使
，
由
共线，存在
使
，
联立系数相等：
，解得：
，
，因此：
，故选项 A 错误；
对于B，
，
若
，则：
，显然系数不相等，选项B 错误；
对于C，由于
，且
在
上，故设
，
则
，
结合
，得：
，解得
，选项C 错误；
对于D，由
，
所以
，故选项 D 正确.
8．在
中，
，
，
为
所在平面内的一个动点，若
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】D
【详解】
，
以
为原点，分别以
，
所在直线为
，
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，
设
，则
，
，则
，
.
令
，则
，
.
；
的最小值为
，
，
，解得
.
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的虚部为
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的相关概念及除法运算逐项判断.
【详解】对于A，由纯虚数不能比较大小，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，故B 正确；
对于C，若
，根据复数虚部的概念，得
的虚部为
，故C 正确；
对于D，
，所以
，故D 正确.
10．下列结论中，正确的是（ ）
A．若向量
，
，且
，则
B．若
，
，
与
的夹角为
，则
C．已知向量
，
，则
与
的夹角为
D．若向量
，
，且
//
，则
【答案】AB
【分析】直接利用向量的共线的充要条件的应用，向量垂直的充要条件的应用，向量的模的应用，向量夹角公式
的应用求出结果．
【详解】A.因为
，所以
，解得
，故A 正确；
B.因为
，所以
，故B 正确；
C.因为
，所以
与
夹角的大小为
，故C 不正确，
D.因为
//
，根据公式
，解得
或
，所以D 不正确，
故选：AB．
11．在菱形
中，
，
，
与
交于点
，
，
分别是边
，
上的动点，且满足
，
，连接
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，向量
在向量
上的投影向量为
B．当
，
时，
C．当
，
时，
D．当
经过
中点时，
【答案】BCD
【分析】对于A，建立平面直角坐标系，求出
，
代入投影向量公式求解即可；对于B，根据向量的模长公
式求解即可；对于C，根据向量数量积的坐标表示求解即可；对于D 根据向量共线的坐标表示可整理得到
，即
.
【详解】以
为原点，以
，
所在直线为
轴，
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
对于A，当
时，
为
中点，则
，所以
，
.
向量
在向量
上的投影向量为
，A 错误.
对于B，当
，
时，
为
中点，
与
重合，则
，
，
所以
，故
，B 正确.
对于C，当
，
时，
，
，则
，
所以
，
，所以
，C 正确.
对于D，由
，则得
，
由
，则得
，
设
的中点为
，则
，
，
.
因为
，
，
共线，所以
与
共线，即
，
整理得
，即
，故
，D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若复数
，则
________．
【答案】
【分析】先根据复数三角形式乘法法则化简复数
，再计算其共轭复数的模
【详解】
.
13．已知向量
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
_____.
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及向量数量积的运算律求解.
【详解】由
在
上的投影向量为单位向量，得
，
则
①;
又由
，两边取平方，得
，即
，
将其代入①，可得
，即
,
而
，故
.
14．已知
，
，
，则
的最小值为_______．
【答案】
【分析】不妨设
，利用坐标法计算，结合一元二次函数求最值.
【详解】不妨设
，
则
，则
，
因为
，
所以
，
当
时，
有最小值，最小值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知向量
与
的夹角为
，
，
．
(1)求
和
的值；
(2)若向量
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义求
，根据数量积的运算律求
的值.
（2）根据
，且向量
与
不共线，列式求
的取值范围.
【详解】（1）由题意
，
因为
，所以
.
（2）由
，
所以
，解得
.
由
.
综上，当
时，向量
与
的夹角为锐角.
16．已知复数
，
（
，是虚数单位）．
(1)若复数
在复平面上的对应点落在第一象限，求实数
的取值范围；
(2)若虚数
是实系数一元二次方程
的根，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复数的加法求
，根据其所在的象限可得
，即可求
的范围；
（2）由
是实系数一元二次方程
的根，则
也是它的根，进而可知
，即可求
.
【详解】（1）
．
∵
在复平面内对应的点落在第一象限，
∴
，解得：
．
∴实数
的取值范围是
；
（2）∵虚数
是实系数一元二次方程
的根，
．
∴
也是实系数一元二次方程
的根，
∴
，可得
，.
∴
的值为13.
17．已知复数
，其中
.
(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析出若
是纯虚数，需满足实部为0 且虚部不为0，据此列出方程组，计算即可求出m 的值；
（2）分析出若z 在复平面内对应的点位于第二象限，需满足实部小于0 且虚部大于0，据此列出不等式组，计算
即可求出m 的取值范围.
【详解】（1）若z 是纯虚数，则需满足
，
由
解得
或
，
由
解得
且
，
综上，实数m 的值为
；
（2）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足
①，
由
解得
，
由
解得
或
，
所以不等式组①的解为
，
即实数m 的取值范围为
.
18．已知
，
，
与
的夹角为45°.
(1)求
在
方向上的投影向量；
(2)求
的值；
(3)若向量
与
平行且方向相同，求实数
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；
（2）平方后求出
，得到模长；
（3）根据两向量平行得到方程，求出
的两个解，检验是否方向相同，得到答案.
【详解】（1）∵
，
，
与
的夹角为45°，
∴
，
∴
在
方向上的投影向量为
；
（2）∵
，
∴
；
（3）∵
与
平行，
∴
∴
，解得：
或
，
当
时，
，此时方向相同
当
时，
，此时方向相反，故舍去.
∴
19．如图，在
中，
，
，
．点D，E 分别为边AC 上的三等分点，点M 满足
，设
，
．
(1)用
，
分别表示向量
，
；
(2)求
；
(3)求
的大小．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算，结合
和
为
三等分点的条件，将
用
表
示，再通过向量加法得到
和
.
（2）先由已知条件计算
和
，再利用向量模长公式计算
.
（3）利用向量夹角公式
，先计算
和
，再求出
，进而得到
.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
因为点D，E 分别为边AC 上的三等分点，所以
，
，
所以
，
．
（2）由
可知，
的夹角为
，
所以
，
由（1）知，
，
所以
.
（3）由图形可知，
的大小等于
与
的夹角，
由（1）（2）可得，
，
，
所以
，
又
，则
，故
．
