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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（22）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，所以 ，所以复数 的共轭复数的虚部为1.
故选：C．
2．若非零向量 满足 ，且向量 与向量 的夹角 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．6
【答案】B
【解析】由 有 ，所以
，
所以 ，
故选：B．
3. 若 个数据的平均值为 ，方差为 ，现加入数据 和 ，则这 个数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设这 个数据为 ，依题意， ，
则 ，
加入数据 和 后，这 个数据的平均值为 ，
则方差为 .
故选：A．
4.函数 的图象向左平移 后关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 向左平移 后解析式为 ，
若其图象关于 轴对称，则 ，
则 ，又因为 ，则当 时， 取得最小值，为 .
故选：C.
5．已知 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为 ，故可得 ，
则在点 处的切线斜率 ；
又因为 .
故选：A.
6．在正四棱台 中， ，侧棱和底面所成角为 ，则该正四棱台的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，则 ，过 作 于 ，
则 ，由正四棱台的性质可得 平面 ，故 即侧棱和底面所成角，
所以 ，在 中，可得 ，
过 作 于 ，连接 ，因为 平面 ，
所以 ，而 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，则 ，
所以该正四棱台的侧面积为 ，故选：B．
7．已知函数 的定义域为 ， ，其导函数 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可令 ，
所以 在 上单调递增，则原不等式等价于 ，
由 ，解之得 ．
故选：B．
8．已知函数 有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 有两个零点，
得直线 与函数 的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
观察图象，当 ，即 时，
直线 与函数 的图象有两个交点，
所以m的取值范围是 .
故选：A
二、多选题
9．已知函数 的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ）A．
B．
C． 是函数 的一条对称轴
D．函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位得到.
【答案】ABD
【详解】A，由函数 的图象，可得 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
B，由 ，可得 ，可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，所以B正确；
C，由 ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 不是函数 的一条对称轴，所以C错误；
D，将函数 的图象向左平移 个单位，
可得 ，所以D正确.
故选：ABD.
10．若 ，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．展开式中所有项的二项式系数的和为
C．奇数项的系数和为
D．
【答案】ABD【解析】对于A：因为 ，因此 ，故A正确；
对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为 ，故B正确；
对于C：令 ，可得 ；
再令 ，可得 ，
将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为 ，故C错误；
对于D：令 ，则 ，
再令 ，可得 ，所以 ，故D正确．
故选：ABD.
11．下列结论正确的是（ ）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B．若一组样本数据 的方差 ，则这组样本数据的总和为
60
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】选项A，样本共 个数据， ， 为整数，第 百分位数为第 项和第 项数据的平均
值，即 ，A错误
选项B，方差 ，因为 ，故样本均值 ,样本
总和 ，B正确
选项C，若 ，则 ，根据期望性质 ，得
，C正确选项D，正态分布 的对称轴为 ，由对称性得 ，则
，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中 的系数是______.
【答案】
【解析】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
二项式系数最大值出现在中间项，
当 为偶数时，最大项为第 项，
因此有 ，解得 ，
展开式的通项公式为：
令 ，解得 ，代入通项，得系数为：
因此，展开式中 的系数为 .
故答案为： .
13.已知 均为非负数，且 ，则 的最小值为______.
【答案】2.
【解析】由题可得 ，
所以 ,由于 ,
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
则 的最小值为 .
故答案为：2.
14.双曲线 的左右焦点分别为 ，双曲线右支上一点 满足 ，则直线 的斜
率为 ．
【答案】 或2.
【解析】设 ， ，由双曲线的定义及勾股定理得
，可得 ， ，设 ，
则 ， .又 ，
即 ，解得 或 （舍去），
的
所以直线 的斜率为 ，结合双曲线对称性可知，直线 斜率为 或2．
故答案为： 或2.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，PB是圆柱 的母线，四边形 是底面内接正方形．点 是棱 上的动点（ 不与
端点重合），且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)已知圆柱 的体积为 ， ，点 到直线 的距离是1．
（i）求 的长度；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)（i） ；（ii） .
【解析】（1）在正方形 中，由 ，得 ， ，
则 ， ，因此 ，
由 是圆柱 的母线，得 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 .
（2）（i）设圆柱 的底面圆半 径为 ，圆柱 的体积为 ， ，得
，
解得 ，则 ，显然直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ，
，由点 到直线 的距离是1，
得 ，则 ，而 ，解得 ，
所以 .
（ii） ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
