文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 求平面向量的数量积......................................................................................................4
考点二 辨析数量积的运算律......................................................................................................6
考点三 模长综合计算..................................................................................................................7
考点四 夹角综合计算..................................................................................................................8
考点五 垂直综合计算..................................................................................................................9
考点六 求投影向量......................................................................................................................9
考点七 求参数值或范围的综合计算........................................................................................10
考点八 数量积范围的综合问题................................................................................................11
三阶突破训练...............................................................................................................12
基础过关......................................................................................................................................12
能力提升......................................................................................................................................14
真题感知......................................................................................................................................16
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国二卷，第12 题,5 分
向量垂直的坐标表示
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表示
2024 年新I 卷，第3 题,5 分
向量垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2024 年新Ⅱ卷，第3 题,5 分
数量积的运算律
已知数量积求模
垂直关系的向量表示
模长的相关计算
2023 年新I 卷，第3 题,5 分
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
平面向量线性运算的坐标表示
2023 年新Ⅱ卷，第13 题,5 分
数量积的运算律
向量的模长运算
2022 年新Ⅱ卷，第4 题,5 分
数量积及向量夹角的坐标表
示
平面向量线性运算的坐标表示
2021 年新I 卷，第10 题,5 分
数量积的坐标表示
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021 年新Ⅱ卷，第15 题,5 分
数量积的运算律
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5 分
【备考策略】1 通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5 会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。
知识点1 平面向量的数量积的定义及性质
（1）数量积的定义
一般地，当⃗a与⃗b都是非零向量时，称 为向量⃗a与⃗b的数量积（也称内积），记作⃗a⋅⃗b，即⃗
a⋅⃗b= ．
（2）数量积的性质
①|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|
②⃗a⋅⃗a= ，即|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
③⃗a⊥⃗b⇔ ．
知识点2 平面向量的夹角及其公式
定义：已知两个非零向量⃗a,⃗b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，则∠AOB =θ (0≤θ≤π)叫
做向量⃗a与⃗b的夹角．
注意：①当θ =0时，向量⃗a与⃗b ；
②当θ =π
2 时，向量⃗a与⃗b ，记作⃗a⊥⃗b；
③当θ =π时，向量⃗a与⃗b ．
注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量⃗CA与⃗AB
的夹角．作⃗AD =⃗CA，则∠BAD才是向量⃗CA与⃗AB的夹角．
向量的夹角公式： .
知识点3 平面向量数量积的运算律
已知向量⃗a,⃗b,⃗c和实数λ，则
（1）交换律： ；
（2）数乘结合律： ；
（3）分配律： ．
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若⃗a,⃗b,⃗c均为非零向量，且⃗a⋅⃗c =⃗b⋅⃗c，但得不到⃗a=⃗b．
（2）(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c≠⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)，因为⃗a⋅⃗b，⃗b⋅⃗c是数量积，是实数，不是向量，所以(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c与向量⃗c共
线，⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)与向量⃗a共线，因此，(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)在一般情况下不成立．
（3）推论：(⃗a±⃗b)
2=⃗a
2±2⃗a⋅⃗b+⃗b
2．
知识点4 平面向量数量积中的坐标运算
若⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，⃗a与⃗b的夹角为θ.则：
（1）⃗a⋅⃗b= ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ；
（2）|⃗a|
2= ，或|⃗a|= ；
（3）⃗a⊥⃗b⇔ =0；
（4）若⃗a，⃗b为非零向量，则cosθ = = .
知识点5 投影向量
向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，⃗AB = a，⃗CD = b，作如下的变换：过⃗AB的起点A和终点B，
分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，⃗
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
考点一 求平面向量的数量积
典例1．（2025·四川绵阳·三模）已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
典例2．（2025·云南昭通·模拟预测）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．36
B．18
C．
D．
典例3．（2025·江苏·一模）已知平面向量
是两个单位向量，
在
上的投影向量
，则
（
）
A．1
B．
C．
D．
典例4．（2025·河北·模拟预测）若
，
，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
典例5．（2025·河北保定·三模）如图，在四边形
中，
，
，
，
为线
段
的中点，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·河北邯郸·二模）已知平面向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知
为
的高，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
跟踪训练3．（2025·山西·三模）已知向量
，
，均为单位向量，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
跟踪训练4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切于
，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．
跟踪训练5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在
中，
，
，
，
则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
考点二 辨析数量积的运算律
典例1．设
、
是任意两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
典例2．设
为非零向量，
，则“
夹角为钝角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1．设
，
是两个非零向量，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
跟踪训练2．在△
中，“
”是“△
为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点三 模长综合计算
典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．2
典例3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
典例4．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方
向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路
程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
跟踪训练1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．6
C．9
D．
跟踪训练2．（2025·河南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
跟踪训练3．（2025·山东烟台·三模）已知向量
，
满足
，
，且
，则
（ ）．
A．
B．2
C．
D．6
跟踪训练4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向正东
．一艘小货船准备
从河南岸码头P 处出发，航行到河对岸Q（
与河的方向垂直）的正西方向并且与Q 相距
的码头M
处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
，则当小货船的航程最短时，小货船
航行速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 夹角综合计算
典例1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知向量
、
满足
，
，
，则
、
的夹角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量
与
不共线，且满足
，
与
的夹角为
，则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，
在
上的投影向量为
，则向量
与
夹角余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4．（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·重庆·模拟预测）已知
为单位向量，
，若
，则
与
的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）平面向量
满足
，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 垂直综合计算
典例1．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
典例2．（2025·辽宁·三模）若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 求投影向量
典例1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量
，
，则向量
在
方向上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在向量
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
，则向量
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量
，则向量
在向量
上的投影
向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 求参数值或范围的综合计算
典例1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知向量
，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
典例2．（2025·北京·二模）设圆
的圆心为
，直线
与该圆相交于两点
．若
，则实数
（ ）
A．1
B．3 或1
C．3
D．3 或
典例3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量
，若
在上的投影向量相
等，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
典例4．（2025·河南·三模）在
中，向量
，
，若
为锐角，则实数x
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·山东临沂·二模）已知
，若向量
与向量
互相垂直，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．
跟踪训练2．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆
上有两点
，
，设向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
跟踪训练3．（2025·安徽·一模）已知两个非零向量
的夹角为
，且
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 数量积范围的综合问题
典例1．（2025·北京海淀·三模）已知
中，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·四川巴中·二模）已知点
在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，
是两
段半圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·安徽滁州·二模）已知
三点在单位圆上运动，且
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·山东·一模）设
为单位向量，且
，若向量
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
，若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练4．（2025·江苏泰州·二模）在等边
中，
，P 为
所在平面内的一个动点，若
，则
的最大值为（）
A．4
B．
C．
D．6
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知向量
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2025·四川广安·模拟预测）已知向量
，
，若向量满足
且
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
4．（2025·四川达州·模拟预测）已知向量
，
的夹角为120°，
，
，则
A．
B．2
C．
D．
5．（2025·全国·模拟预测）已知向量
．则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．7
6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知
是边长为的等边三角形，点
，
分别是边
，
的中点，
连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，
为CD 的中点，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、多选题
8．（2025·河北·模拟预测）已知
，且向量
的夹角为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
和
的夹角为
D．若
，则
9．（2025·河北保定·三模）已知平面向量
．
与
的夹角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
10．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
不可能为单位向量
D．若
，则
一、单选题
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量
满足
，
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于非零向量
，
，“
”是“
与
方向相反”的
（ ）条件.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（2025·河南新乡·模拟预测）在
中，记
、
，向量
、
满足
，
，
，则此三角形AOB 的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·湖北·模拟预测）已知
是边长为1 的正三角形，点
在
上且
，
是
上
一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
15．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知直线
与
：
交于
两点，若
在
上的投影向量的模为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，
是单位向量，且
，若向量
满足
，
则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
17．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形
，若
，则正八边形的边长为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
二、多选题
18．（2025·安徽·三模）在
中，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
19．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形
中，
，
，
，
，其中
，
，
，则（ ）
A．
是定值
B．若
，则
C．
D．
20．已知
，
与
夹角为
，若
且
，则下列说法
正确的是（ ）
A．当
时，
在
上的投影向量为
B．当
时，
C．当
时，
D．
的最大值为0
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果
在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小
的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长
度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
22．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
24．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
26．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
27．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
28．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
29．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
33．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
34．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
35．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为
实数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
36．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
37．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
