文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 充分条件与必要条件的判断..........................................................................................4
考点二 充分条件与必要条件的应用..........................................................................................6
考点三 判断命题的真假..............................................................................................................9
考点四 含有量词命题的否定....................................................................................................11
考点五 全称量词命题、存在量词命题的应用........................................................................12
三阶突破训练...............................................................................................................14
基础过关......................................................................................................................................14
能力提升......................................................................................................................................19
真题感知......................................................................................................................................24
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年天津卷，第2 题，5
分
充分条件、必要条件
三角函数
2025 年北京卷，第7 题，5
分
充分条件、必要条件
单调性与最值
2024 年新Ⅱ卷，第2 题，5
分
判断命题的真假
全称量词命题的否定及其真
假判断
存在量词命题的否定及其真
假判断
单绝对值不等式
一元三次方程
2023 年新I 卷，第7 题，5 分
充分条件与必要条件
等差数列通项公式及前n 项和
二、命题规律及备考策略
【命题规律】新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，
题型以单选题为主，分值5 分。
近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，
难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题
和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若
，则
”为真(记作
)，则
是
的充分条件；同时
是
的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（2）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（3）若
且
，则
是
的的充要条件(也说
和
等价)；
（4）若
且
，则
不是
的充分条件，也不是
的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：
，则
是
的充分条件，同时
是
的必要条件.所谓“充分”是指只要
成立，
就成立；所谓“必要”是指要使得
成立，必须要
成立
(即如果
不成立，则
肯定不成立).
二、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对
中的任意一个
，有
成立”
可用符号简记为“
”，读作“对任意
属于
，有
成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“
”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在
中的一个
，使
成
立”可用符号简记为“
”，读作“存在
中元素
，使
成立”（存在量词命题也
叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题
的否定
为
，
.
（2）存在量词命题
的否定
为
.
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看
设
.
（1）若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不必要
条件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小
大”.
（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件.
考点一 判断元素与集合的关系
典例1．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知等差数列
的前
项和为
，对任意
，“数列
为递增数列”是“数列
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要的定义判断．
【详解】对于充分性：当
时，
单调递增，但
不是单调递增的，
所以“数列
为递增数列”不能推出“数列
为递增数列”，充分性不成立；
对于必要性：当
时，
单调递增，
但
不是单调递增的，
所以“数列
为递增数列”不能推出“数列
为递增数列”，必要性不成立；
所以“数列
为递增数列”是“数列
为递增数列”的既不充分也不必要条件．
故选：
．
典例2．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正
时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述
材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案.
【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正
令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不
正，虽令不从”，即令行
身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”
的充要条件.
故选：C．
跟踪训练1．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知
是非零向量，则“
与
是相等向量或相反向
量”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若
，则
，所以
，
若
，则
，所以
，
故由“
或
”推得出“
”，即充分性成立；
若
，则
，所以
，
所以由“
”推不出“
或
”，故必要性不成立；
所以“
与
是相等向量或相反向量”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
跟踪训练2．（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B 发生的概率分别为
，且
则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断.
【详解】若
，则
，
若
，则
不一定成立，则
不一定成立，
如
，
时，
，满足
，但不满足
，
若
，则
，故
，即
，
所以
是
的必要不充分条件，
故选：B.
跟踪训练3．对于实数
，“
”是“
且
”的 条件．（填“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】由
，可得
且
，可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立.
【详解】由
，可得
且
，所以
且
，
所以“
”是“
且
”的充分条件；
满足
且
，但
，
所以“
”不是“
且
”的必要条件．
所以“
”是“
且
”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
考点二 集合中元素的特性
典例1．“
“是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】先由
为奇函数得到
，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数
的充要条件，即可得
是函数为奇函数的充分不必要条件.
【详解】若
为奇函数，则
，
即
，整理得
，
即
，解得
.
当
时，函数
的定义域为
关于原点对称，且
，所以
为奇函数；
当
时，函数
的定义域为
关于原点对称，且
，所以
为奇函数.
所以函数
为奇函数的充要条件是
或
.
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件．
故选：A.
典例2．不等式
对一切实数
恒成立的
的取值集合为
，集合
．
(1)求集合
；
(2)若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，显然成立；当
时，由
求解即可；
（2）由题设得
，即
在
上恒成立，由
解出m 的取值范围即可.
【详解】（1）当
时，
显然恒成立；
当
时，不等式
对一切实数
都成立，
则
，解得
．
综上，
．
（2）因为“
”是“
”的充分条件，
所以
．
又
，即
在
上恒成立．
令
，
则
， 解得
，
所以
的取值范围为
．
跟踪训练1．设集合
，则B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解方程得A，再分析
的根，得出B 是A 的子集时对应的
，再由充分不必要条件的概念，
真子集的概念得解.
【详解】
，
若
，则
，BA，
若
，则
，BA，
若
，则
，BA，
∴BA 的一个充分不必要条件是
.
故选：B
跟踪训练2．函数
有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】由题意得函数
的图象过点
，把问题转化为：函数
没有零点
函数
的图象与直线
无交点，数形结合可得解．
【详解】因为
时，
，可知函数
的图象过点
，
所以函数
有且只有一个零点
函数
没有零点
函数
的图象与直线
无交点．
当
时，
，
由图可知，函数
的图象与直线
无交点
或
．
即函数
有且只有一个零点的充要条件是
或
．
故选：D．
跟踪训练3．已知
，
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p 和q 对应的等价条件，再结合
是
的充分不
必要条件得到集合间的包含关系，则参数m 的范围可求．
【详解】由
可得
，即
，
由
可得
，
即
，
又因为
是
的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
所以
或
，解得
，
故答案为：
．
考点三 集合间的基本关系
典例1．（2025·四川·三模）已知
，
；
，
.下列结论正确的是（ ）
A．p 是真命题，q 是真命题
B．p 是真命题，
是真命题
C．
是真命题，q 是真命题
D．
是真命题，
是真命题
【答案】C
【分析】特殊值法
、
分别判断
的真假，即可得.
【详解】当
时，
，则p 是假命题，即
是真命题.
当
时，
，满足
，则q 是真命题，即
是假命题..
故选：C
典例2．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知命题
：若
，
，则方程
表示椭圆；命题
：已知复数
，若
，则
，下列选项中正确的是（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【分析】对命题
，举出反例
即可；对命题
，求出
和
即可判断，再利用原命题和命题的
否定的关系即可判断.
【详解】命题
，当
时，此时方程
表示圆，故命题
为假命题，则
为真命题；
命题
，若
，则
，则
，即
，则
，故命题
为真命题，则
为假命题.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是“
”的必要不充分条件，
是虚
数单位，
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义及存在命题的性质结合非的定义判断即可.
【详解】因为
解得
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，
是假命题，
是真命题；
当
时，
，
是真命题，
是假命题．
综上可知，
和
都是真命题．
故选：B.
跟踪训练2．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质判断命题
的真假，通过取特殊值判断命题
的真假，再根据
命题的真假
进行判断，即可做出判断.
【详解】对于命题
，因为
在
上单调递增，
所以
，有
，所以
为假命题，
为真命题；
对于命题
，当
时，
，所以
为真命题.
故选：C
跟踪训练3．已知命题
，
，命题
，
恒成立.若
和
至多
有一个为真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，先求出命题
和命题
同时为真命题时
的取值范围，再求其补集，即可求解.
【详解】当命题
为真命题，即
，使
成立，得到
，即
，
当命题
为真命题，即对
，
恒成立，得到
，
即
，
所以当命题
和命题
同时为真命题时，有
，即
，
又命题
和命题
至多有一个为真命题，所以
或
，
故选：D.
考点四 集合的基本运算
典例1．命题“
，有
”的否定是（ ）
A．
，使得
B．
，有
C．
，使得
D．
，有
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“
，有
”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即“
，使得
”.
故选：C.
典例2．已知命题
：
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：根据含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”可知，
∵命题
：
，
∴
：
.
故选：D.
跟踪训练1．命题“对于任意
，都有
”的否定命题是（ ）
A．存在
，使
B．存在
，使
C．对于任意
，不都有
D．对于任意
，都没有
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“对于任意
，都有
”是全称量词命题，
所以其否定命题为存在量词命题，即“存在
，使
”.
故选：B.
跟踪训练2．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“
，
”的否定是
“
，
”.
故选：A.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
考点五 集合新定义
典例1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“
”是真命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由判别式
即可求解.
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：A
典例2．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“
，都有
”为真命题，则
的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可得出：命题：“
，都有
”为真命题；再构造函数
，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“
，都有
”为真命题，
所以命题：“
，都有
”为真命题.
令
，
.
则
.
因为
，
所以
，
所以函数
为增函数.
又因为
，
所以
.
故选：B.
跟踪训练1．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得命题“
”是真命题，利用二次函数的性质计算即可得.
【详解】由命题“
”是假命题，
则命题“
”是真命题，
则有
，解得
.
故答案为：
.
跟踪训练2．已知命题
：
，
；命题
：
，
，若p 和q 都是真
命题，则实数
的取值范围是 ；
【答案】
【分析】若
为真命题则可解出m 的取值范围，若
为真命题，则
在
上有解，利用导数求出
函数
的值域即可求得m 的范围，再进行交集运算即可得.
【详解】若
，
，
则
，解得
；
若
，
，则
在
有解，
设
，则
，
当
时，
，函数
在
单调递减；
当
时，
，函数
在
单调递增；
所以当
时，
，当
.
故当
时，
的值域为
，
所以要使
在
上有解，则
.
若p 和q 都是真命题，则
，即
.
故答案为：
.
1．（25-26 高三上·江苏南通·阶段练习）已知命题
，则
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题
的否定
：
.
故选：B
2．（24-25 高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）函数
在
上单调递增的必要不充分
条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数
在
上单调递增，则
在
上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求
解即可.
【详解】函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
即
，
解得
，
所以A 是充分条件，B 是充要条件，C 是既不充分也不必要条件，D 是必要条件.
故选：D.
3．已知命题p：
，
，q：
，
，则下列均是真命题的是（ ）
A．p 和q
B．p 和
C．
和q
D．
和
【答案】B
【分析】利用基本不等式求最值即可判断.
【详解】
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
则
为真命题；
当
时，
，则
，等号成立时
，
则
为假命题，
为真命题．
故
与
均为真命题．
故选：B
4．已知单位向量
，
，则（ ）
A．
是
的必要不充分条件B．
是
的必要不充分条件
C．
是
的充分不必要条件D．
是
的充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据向量模长等式进行平方运算，结合向量的运算性质，判断充分性和必要性.
【详解】由
，得
，解得
，所以
，充分性成立，
当
时，得
，
，即
，必要性成立，
故“
”是“
”的充要条件，A，C 错误；
若
，则
，解得
，则
，所以
，即
，充分性
成立，
当
时，则
或
，所以
或
，必要性不成立，
故
是
的充分不必要条件，B 错误，D 正确．
故选：D.
5．已知抛物线
上有两点
，焦点为F，则“
”是“直线
过
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设AB 为
，联立方程组
，消x 得
，设
，
，
则
，
．结合
判断充分性与必要性．
【详解】设AB 为
，
，消去x 得
，设
，
，
则
，
．
充分性：当
时，则
，即
，又
，
则
，故直线
不一定过
，充分性不成立；
必要性：当直线
过
时，
方程为
，此时
，故
，
此时有
，必要性成立．
故“
”是“直线AB 过F”的必要不充分条件．
故选：B.
6．（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案.
【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题，
所以命题
，
的否定为：
，
.
故选：D.
7．记
，
分别为正项数列
的前n 项和与首项，设甲：
是公差为
的等差数列；乙：
为
等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意利用等差数列的定义和
与
的递推关系求解即可.
【详解】正项等差数列
中，
，则
，
则
，即
，数列
是等差数列，充分性成立；
设等差数列
的公差为
，
，则
，
则有
，
当
时，
，即从第二项起，数列
为等差数列，公差为
，要使
得
为等差数列，则还需满足
，
即
，解得
，题目中并未给出相应条件，必要性不成立．
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A
8．若数列
的前
项和为
，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列
是递增数列，则数列
也是递增数列
B．数列
是递增数列的充要条件是数列
的各项均为正数
C．若
是等差数列（公差
），则
的充要条件是
D．若
是等比数列，则
的充要条件是
【答案】D
【分析】对于ABC，通过举特例可判断选项正误；对于D，设
公比为q，由
，可得
；由
，可得
，据此可判断选项正误.
【详解】数列
的前
项和为
，故
.
对于A，若数列
是递增数列，则数列
不一定是递增数列，如当
时，数列
是递减数列，
A 不正确；
对于B，由数列
是递增数列，不能推出数列
的各项均为正数，
如数列：
，满足
是递增数列，但不满足数列
的各项均为正数，B 不正确；
对于C，若
是等差数列（公差
），则由
不能推出
，例如数列：
，满足
，但
，C 不正确．
对于D，若
是等比数列，则
.设
公比为q，
若
，则
，不满足题意；
若
，则
，从而
，故有
；
由
可得数列的
公比为
，
可得
，故D 正确．
故选：D．
9．对直线系
，有下列四个命题：
（1）
中所有直线均经过同一个定点；
（2）存在定点
，其不在
中的任一条直线上；
（3）对于任意整数
，存在正
边形，其所有边均在
中的直线上；
（4）
中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用定点
到动直线系的距离为定值1，可知直线系为圆
的切线的集合．从而利
用圆与切线的关系可以作出判断.
【详解】由点
到直线系
中每条直线的距离
，
所以直线系
：
是圆
的切线的集合．
对于（1），由于直线系表示圆
的所有切线，其中存在两条切线平行，所以
中所有直线均
经过同一个定点不可能，故（1）为假命题；
对于（2），由（1）得
中的任一条直线不过圆心
，所以存在定点
，其不在
中的任一条直
线上，故（2）为真命题；
对于（3），由于圆的所有外切正多边形的边都在圆的切线上，所以对于任意整数
，存在正
边形，
其所有边均在
中的直线上，故（3）为真命题；
对于（4），如图所示，
中的直线所能围成的正三角形有两类，第一类，如
，此类正三角形面积
都相等，第二类，如
，此类正三角形面积相等，但两类之间面积不等，故（4）为假命题．
故选：B．
10．下列命题：①“
”是“存在
，使得
成立”的充分条件；②“
”是“存在
，使得
成立”的必要条件；③“
”是“不等式
对一切
恒成立”的充要条
件.其中为真命题的序号是（ ）
A．③
B．②③
C．①②
D．①③
【答案】B
【分析】对于①，可以举反例说明；对于②利用指数函数的性质即可判断；对于③，利用指数函数的在正
整数集上的值域即可判断.
【详解】对于①，若取
，满足
，由
，显然
，故①是假命题；
对于②，因对于
，必有
，故由
可得
，
即由“存在
，使得
成立”可推得“
”，故 ②是真命题；
对于③，根据指数函数的性质，对一切
，都有
成立，
故“不等式
对一切
恒成立”等价于“
”，故 ③是真命题.
故选：B.
1.“
”是“函数
在区间
上单调递减”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果.
【详解】充分性：当
时，
，
易知函数
在区间
上单调递减．
必要性：若
在区间
上单调递减，
则需
，即
，
故“
”是“函数
在区间
上单调递减”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由
得：
存在
，满足
，
若
，则直线垂直平面
中任意一条直线，
，
，
，
，
，
，
，
是否相交不确定，
不一定成立，
“
，
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B
3．（24-25 高三下·上海·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体中，点
是线段
上一动点（不与
，
重合），则下列命题中：①平面
平面
；②
一定是锐角；③
；④三棱锥
的体积为定值．其中真命题的有（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【分析】根据线线垂直，线面垂直，面面垂直相互转化判断得出.
【详解】如图
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
又因为
平面
，故平面
平面
，所以①正确；
当
为
的中点时，
，再由①知平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，得
，所以
，
一定是锐角错误，故②错误；
因为正方形中，所以有
，又由正方体中有
平面
，得平面
平面
，
因为平面
平面
，所以
平面
，且
平面
，故
，
得③正确；
三角形
的面积
，三棱锥
的高即为点
到平面
的距离，距离为
，
故三棱锥
的体积
为定值，所以④正确.
故选：D.
4．（2023·北京·三模）已知函数
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质
求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得.
【详解】若
为奇函数，则
，
所以
，即
恒成立，
所以
.
综上，“
”是“
为奇函数”的充要条件.
故选：C
5．（2025·全国·二模）设等比数列
的各项均为正数，其
前项和为
，则“
”是“数
列
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】把
转化为
，得
，即
是增数列，反之推导即可求解．
【详解】由
得
，所以
，
又
，所以
是递增数列，
反之，等比数列
的各项均为正数，且数列
是递增数列，所以
，即有
，
所以
，即
，
所以
是数列
是递增数列的充要条件．
故选：C．
6．（多选）下列命题中的假命题是（ ）
A．命题“
，
”的否定是：
，
B．设
，则“
”是“
”的充分而不必要条件
C．若
，则
的最小值为4
D．
【答案】BCD
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BCD.
【详解】对于A，命题“
，
”的否定是：
，
，A 正确；
对于B，取
，满足
，而
，则“
”不是“
”充分条件，B 错误；
对于C，取
，满足
，而
，C 错误；
对于D，当
时，
，D 错误.
故选：BCD
7．（25-26 高一·全国·假期作业）已知函数
的定义域为
，则“
，
，
”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据赋值法结合充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】先说明充分性：因为
，
，
，
令
，得到：
，所以
，
再令
，得到
，
所以
，充分性成立；
再说明必要性，因为
，所以
，且
，
所以有
，必要性成立；
故“
，
，
”是“
”的充要条件.
故选：C
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线
的方程为
，则“抛物线
经过点
”是“抛物线
的焦点为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合抛物线定义和方程依次分析题设的充分性和必要性即可得解.
【详解】若抛物线
经过点
，
，
所以抛物线方程为
，则抛物线的焦点坐标为
，故充分性不成立；
若抛物线
的焦点为
，则
，
所以抛物线方程为
，则
，即抛物线
不经过点
，
所以必要性不成立，
故“抛物线
经过点
”是“抛物线
的焦点为
”的既不充分也不必要条件．
故选：D
9．已知
，
，
，
，
，
，
，
为各项都大于零的数列，命题①：
，
，
，
，
，
，
，
不是等比数列；命题②：
，则命题②是命题①的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据等比数列的知识和充分性、必要性的概念进行判断.
【详解】充分性：
假设
是等比数列，公比为
，则
.
所以
.
若
，则
.
因为
，所以
.
当
时，
；
当
时，
的正负性会随着
的取值不同而变化，
但无论
取何值，都能推出
，所以数列
不是等比数列，充分性成立；
必要性：
若数列
不是等比数列，例如取
，
此时
，所以必要性不成立.
故答案为：充分不必要.
10．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列
的前
项和
（
、
为常数），则“
”是“
为递增的等差数列”的 条件.
【答案】充要
【分析】由
时，
求出
，再证明
为等差数列，要使
为递增的等差数列则
即可，再结合充分条件和必要的条件定义即可得出答案.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
令
时，
，所以
，
，
所以
为公差为
的等差数列，
，
为公差
，所以
为递增的等差数列，
为递增的等差数列，则
，解得：
，
所以“
”是“
为递增的等差数列”的充要条件.
故答案为：充要.
1．（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存
在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·上海·高考真题）定义一个集合
，集合中的元素是空间内的点集，任取
，存在不
全为0 的实数
，使得
．已知
，则
的充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当
时，三个向量构成空间的一个基底，
则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量
共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，则当
无法推出
，故A 错误；
对B，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，则当
无法推出
，故B 错误；
对C， 由空间直角坐标系易知
三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由
能推出
，
对D，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，
则当
无法推出
，故D 错误.
故选：C．
4．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
6．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
8．（2023·北京·高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由
化简得到
即可判断；解法二：证明充分性可由
得到
，
代入
化简即可，证明必要性可由
去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把
代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把
代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
9．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等
差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
