文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 幂函数的图象..................................................................................................................5
考点二 幂函数的单调性与奇偶性..............................................................................................8
考点三 利用幂函数单调性进行大小比较................................................................................11
考点四 幂函数的综合应用........................................................................................................14
考点五 二次函数的综合应用....................................................................................................16
三阶突破训练...............................................................................................................19
基础过关......................................................................................................................................19
能力提升......................................................................................................................................23
真题感知......................................................................................................................................28
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年新I 卷，第1 题,5 分
解三次不等式
交集的概念及计算
2023 年新I 卷，第1 题,5 分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023 年新I 卷，第4 题,5 分
二次函数单调区间求参数值
或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握
的图
象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数
的单调性和奇偶性
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识点1 幂函数的定义及一般形式
一般地，函数 y = x
α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
知识点2 幂函数的图象和性质
（1）常见的五种幂函数的图象
（2）幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．
②如果α >0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数．
③如果α <0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图象在y
轴右方且无限地逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限地逼近x 轴．
（3）常见的五种幂函数的性质
解
析
式
y = x
y = x
2
y = x
3
y = 1
. x
y = x
1
2
图
象
定
义
域
R
R
R
{x∣x≠0}
[0,+∞)
值
域
R
[0,+∞)
R
{ y ∣y ≠0}
[0,+ ∞)
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单
调
性
增
(−∞,0]上
减，(0,+ ∞)
上增
增
(−∞,0)上
减，(0,+∞)上
减
增
定
(1,1)
点
知识点3 幂函数的奇偶性
知识点4 二次函数及其性质
一元二次函数y =a x
2+bx +c (a≠0)有如下性质：
（1）函数y =a x
2+bx +c的图象是一条 抛物线 ，顶点坐标是 (−b
2a , 4 ac−b
2
4 a ) ，对称轴是
直线 x =−b
2a ．
（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大．函数在x =−b
2a处有最小值，即 4 ac−b
2
4 a
．
当a<0时，抛物线开口向下．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小．函数在x =−b
2a处有最大值，即 4 ac−b
2
4 a
．
考点一 幂函数的图象
典例1．若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解.
【详解】当
时，幂函数
在
上单调递增，且
时，图象上凸，
．
当
时，幂函数
在
上单调递减．不妨令
，由图象得
，则
．
综上可知，
．
故选择：D.
典例2．（2025·江西·一模）若直线
与幂函数
，
，
的图象从左到右依次交于
不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得交点
的横坐标，比较大小可求
.
【详解】当
时，由
，得
；由
，得
；由
，得
.
因为
，所以
是关于
的减函数.
又
，所以
，所以
.
故选：A.
典例3．若函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的幂函数图象可得
，再变形函数
并由函数值的特性得解.
【详解】由幂函数图象可得
，
函数
定义域为
，
而
，则
恒成立，BCD 错误，A 正确.
故选：A
跟踪训练1．幂函数
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数
的性质可知，在第一象限内的图像，当
时，图像递增，
且
越大，图像递增速度越快，由此可判断
是曲线
，
是曲线
；
当
时，图像递减，且
越大，图像越陡，由此可判断
是曲线
，
是曲线
；综上所述幂函数
，
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
，
，
，
.
故选：D.
跟踪训练2．在同一个坐标系中，函数
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解.
【详解】因为
在同一坐标系中，
所以
的单调性一定相反，且
图象均不过原点，故排除AD；
在BC 选项中，过原点的图象为幂函数
的图象，
由图象可知
，所以
单调递减，
单调递增，故排除B，
故选：C.
跟踪训练3．幂函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义域及奇偶性判断图象即可.
【详解】幂函数
的定义域为
，故D 选项错误；
因为
,所以
为偶函数，故A,C 选项错误；
故选：B.
考点二 幂函数的单调性与奇偶性
典例1．已知幂函数
的图像经过点
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为减函数
D．
的值域为
【答案】D
【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解.
【详解】设
，
由函数
的图像经过点
，则
，解得
，
所以
，故函数的定义域为
，故A 错误；
由定义域关于原点对称及
可知函数为偶函数，故B 错误；
由
在
上无单调性，故C 错误；
因为
，故
的值域为
，故D 正确.
故选：D
典例2．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数
是奇函数，在
上单调递增，A 是；
对于B，函数
是偶函数，不是奇函数，B 不是；
对于C，函数
是偶函数，不是奇函数，C 不是；
对于D，函数
是偶函数，不是奇函数，D 不是.
故选：A
典例3．（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【答案】A
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于
的方程和不等式即可求解.
【详解】由题意可得
.
故选：A
典例4．已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调
递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质得到
，则
，其对称轴方程为
，根据单调性得到不等
式，求出答案.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故选：A.
跟踪训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【答案】C
【分析】由幂函数的定义求出
，由函数奇偶性得到A 错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，
从而判断BCD.
【详解】因为
是幂函数，根据幂函数的定义可知
，
当
时，
，等式成立，
因为
在R 上单调递增，故
为唯一解.
此时
，其定义域为
.
A 选项，
，所以
是偶函数，A 选项错误.
B 选项，对
求导，可得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在其定义域上不单调递减的，B 错误；
C 选项，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
，C 选项正确.
D 选项，
，
在
上单调递增，
，
所以
，即
，D 错误.
故选：C.
跟踪训练2．幂函数
在区间
上单调递增，且
，则
的值
（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．
【详解】由函数
是幂函数，可得
，解得
或
.
当
时，
；当
时，
.
因为函数
在
上是单调递增函数，故
.
又
，所以
，所以
，则
.
故选：A.
跟踪训练3．已知幂函数
（
且
互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且
B．q 为偶数，p 为奇数，且
C．q 为奇数，p 为偶数，且
D．q 为奇数，p 为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出
；根据函数的奇偶性及
，
互质可判断出
为偶数，
为奇数.
【详解】因为函数
的定义域为
，且在
上单调递减，
所以
0，
因为函数
的图象关于y 轴对称，
所以函数
为偶函数，即p 为偶数，
又p、q 互质，所以q 为奇数，
所以选项D 正确，
故选：D.
考点三 利用幂函数单调性进行大小比较
典例1．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数
的单调性结合充分条件和必要条件的定义，即可判断.
【详解】由
是R 上单调增函数，得
.
故“
”是“
”为充要条件.
故选：C.
典例2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
为幂函数，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由幂函数的定义得
的值，得
，根据对数函数
的单调性性质及换底公式得到
，再利用幂函数
单调性比较大小得到
即可.
【详解】由
为幂函数，得
∴
，所以
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，
由换底公式得
，
，
所以
，
又
，所以
，得
.
又
在区间
内单调递减，所以
.
综上，
.
故选：B.
跟踪训练1．已知幂函数
的图象过点
．设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出函数
解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【详解】因幂函数
的图象过点
，则
，且
，
于是得
，
，函数
，函数
是R 上的增函数，
而
，则有
，
所以
.
故选：D
跟踪训练2．（多选）已知幂函数
的图象经过点
，
，
是函数图象
上的任意不同两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】设
，根据幂函数所过的点求出
的解析式，设
，
，由幂函数
的性质可判断
与
的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可.
【详解】因为
是幂函数，可设
，
因为幂函数
的图象经过点
，
所以
，即
，解得
，所以
，定义域为
，
设
，定义域为
，因为
，
所以由幂函数性质得
在
上单调递增，
若
，则有
，即
，故A 错误，B 正确；
设
，定义域为
，
因为
，所以由幂函数性质得
在
上单调递减，
若
，则有
，即
，故C 正确，D 错误.
故选：BC
考点四 幂函数的综合应用
典例1．（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【答案】C
【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.
【详解】因为函数
，定义域为
，
，所以
是奇函数，
因为
在区间
上单调递增，
，所以函数
在区间
上单调递减，
故选：C.
典例2．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为
.
【答案】2
【分析】应用
为增函数，化简
，再分
异号和同号或
中有一个为0，结合基本
不等式计算求解.
【详解】因为
为增函数，不妨设
，
则
，即
，
变形得
.
若
异号，则
，
即
，
解得
，当且仅当
时，等号成立.
若
同号或
中有一个为0，则
，解得
.
综上，
的最大值为2.
故答案为：2.
跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数
，写出一个使得不等式
成立的自然数
的值 .
【答案】3 或4（写对一个即可）
【分析】根据
为幂函数，得到
，再解不等式即可.
【详解】因为
为幂函数，
所以
，解得
，则
，
不等式
可化为
，
解得
，所以符合条件的自然数
可以是3 或4.
故答案为：3 或4（写对一个即可）
跟踪训练2．已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合幂函数性质由条件求
，结合函数
的性质化简不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以
，又
，
所以
，
因为函数
的图象关于
轴对称，
所以
为偶数，
所以
，
函数
的定义域为
，
且函数
在
和
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
所以不等式
可化为
或
或
，
所以
或
，
所以
的取值范围为
.
故选：C.
考点五 二次函数的综合应用
典例1．若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】函数
图象的对称轴为直线
，由
在
上不单调，得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
典例2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数
的值域为
，则
的
最小值为 .
【答案】4
【分析】利用二次函数的性质得到
，消去变量后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为二次函数
的值域为
，
所以
的最小值是
，且
，由二次函数性质得对称轴为
，
所以
的最小值为
，
所以
，即
，而
，
当且仅当
时取等，此时
.
故答案为：4
典例3．（2025·云南大理·模拟预测）已知
，
是定义域为
的函数，且
是偶函数，
是
奇函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
，
的奇偶性联立方程组得
，则根据题意可得
成立，构造
，按
的不同取值分类讨论
在
的单调性即可.
【详解】由题意可得
，
因为
是偶函数，
是奇函数，所以
，
联立
，解得
，
又对任意的
，都有
成立，
所以
，所以
成立，
构造
，则
，
所以
在
上单调递增，
①若
，则对称轴
，解得
；
②若
，则
在
单调递增，满足题意；
③若
，则对称轴
恒成立；
综上，
,
故选：D
跟踪训练1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由二次函数性质得
，即
，即
，解一元二次不
等式即可得解.
【详解】因为二次函数
的图象开口向上，对称轴直线方程为
，
则原函数在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
由
，
得
，即
，
两边平方后，再通过移项和平方差公式
化简得
，
而
，
所以
，
得
．
故答案为：
.
跟踪训练2．已知当
时，函数
的最大值为
，则
的值为
【答案】
或
【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可.
【详解】函数
的对称轴为
，
当
，即
时，
，
解得
或
（舍）；
当
，即
时，
，
解得
或
（舍），
综上知，
的值为2 或-1.
故答案为：
或
.
跟踪训练3．已知函数
，若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数
恒过定点
，对称轴为
，开口向上，
又当
时，
恒成立，则
或
，
整理得到
或
，
解得
或
或
，所以
，
故答案为：
.
一、单选题
1．（2025·上海·模拟预测）幂函数
在
上是严格减函数，且经过
，则
的值可能是
（ ）．
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C 和D；根据幂函数过点
，可排除A.
【详解】因为幂函数
在
上是严格减函数，所以
，故C 错误，D 错误；
对于A，若
，则
，当
时，
，
所以幂函数
过点
，故A 错误；
对于B，若
，则
，当
时，
，
所以幂函数
过点
，故B 正确.
故选：B.
2．（2025·江苏盐城·三模）“
”是“
为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
【答案】D
【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】当
时，
，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当
为幂函数可得
，解得
或
，
故必要性不满足，
所以“
”是“
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D
3．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由奇偶性判断方法去分析即可判断A；由指数函数图象性质即可判断B；由
得函数定义域，再计算
即可判断C；由正弦函数性质即可判断D；
【详解】对于A，易知
的定义域为
，关于原点对称，
又函数
，所以
是奇函数，但在
上单调递减，故A 错误；
对于B，函数
是非奇非偶函数，故B 错误；
对于C，
，因为
，
所以
的定义域为
关于原点对称，
又
，
所以
是奇函数，
又
在
上单调递增，
为增函数，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，函数
在
上不为增函数，故D 错误.
故选：C.
4．（2025·云南昆明·一模）已知函数
（
），实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件代入运算可得
，求得
.
【详解】根据题意，可得
，可得
，
.
故选：B.
5．（2025·青海西宁·二模）已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据“复合函数”的单调性的判断方法：“同加异减”，可求参数
的取值范围.
【详解】因为
为
上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，
在区间
上单调递
减，故
，解得
．
故选：B．
6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解.
【详解】函数
是增函数，则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
7．（2025·湖北宜昌·二模）已知
，函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可.
【详解】当
时，函数
单调递增，所以
，
要使得函数
的值域为
，
则当
时，
，解得
，所以实数
的取值范围是
故选：D.
二、填空题
8．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数
在
上严格增，则实数
【答案】
【分析】根据幂函数的性质有
，即可求.
【详解】由题设
，可得
.
故答案为：2
9．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质确定出
值作答.
【详解】举例
，即
，其定义域为R，
又
，所以
为奇函数，其图象关于原点对称，
且
在
上单调递增，所以
满足题意.
故答案为：3.（答案不唯一）
10．（2025·全国·模拟预测）若函数
（
且
）的图象过定点A，且点A 在幂函
数
上，则
．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义得到
，
，根据指数函数的性质得到定点为
，从而代入求
解，得到
.
【详解】
是幂函数，则
，所以
，
．
在
中，令
，得
，所以定点为
，
故
，又
，解得
．
故答案为：
一、单选题
11．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解
即可.
【详解】因为
在
上单调递增，所以只需要
解得
．
故选：D．
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可求得
的值，根据
可求出
的值，然后利用该函数的单调性可得出
、
、的大小关系.
【详解】因为点
在幂函数
的图象上，则
，解得
，
所以
，可得
，故
，
因为
，
，
，
且函数
在
上为增函数，
又因为
，则
，故
.
故选：C.
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知
，
，
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数
的单调性可得当
时，
，则由
时，
恒成立求解即可.
【详解】函数
在R 上单调递减，当
时，
，
则当
时，
恒成立，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
14．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
若对于任意
，
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的解析式，结合函数的单调性可得：
等价于
且
，从
而可知不等式
在
,
上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出
的最小值为
，进而可
得实数
的取值范围．
【详解】对于
，函数
在
上为常数1，
在
处连续，且在
上为增函数，
因此
等价于
，对任意
恒成立，
由①可知
，
，结合②可得
，
而
，
当
时，即
时，等号成立，
结合
，可知
在
,
上为增函数，可得
，
所以
，即实数
的取值范围是
．
故选：C．
【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)
＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成立⇔a＜f(x)min.
15．（2025·贵州黔南·三模）设函数
，当
时，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过分类讨论去绝对值，画出函数
的大致图象，结合二次函数的性质进行分析即可求解.
【详解】
，
即
，
当
时，函数
的大致图象如图，
当
时，
，所以
，又
，得
；
当
时，函数
的大致图象如图，
当
时，
，
所以
，又
，得
，
综上：
.
故选：D.
16．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数
最大值的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】先对内函数
对应的方程的根的情况分类讨论，得出
时，结果为16，对于
时，求
出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【详解】若
，即
时，
，其对称轴为
，
，
此时，因
，故
的最小值为16；
若
，由
可得
，
（Ⅰ）如图1，当
时，即
时，
在
上递减，
在
上递增，
在
上递减，在
上递增，又
，
① 当
时，
，故
，而
在
上单调递
减，则此时，
；
② 当
时，
，故
，而
在
上单调
递增，则此时，
.
（Ⅱ）如图2，当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则此时
，而
在
上单调递减，则
.
综上，函数
最大值的最小值为8.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.
解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用
函数的单调性，即可求其最值.
二、填空题
17．（2025·河南·三模）已知函数
，若存在实数b，使函数
恰有三个零点，
则a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论
、
、
结合已知零点个数确定参数范围即
可.
【详解】由
在
上单调递增，且值域为
，
对于
，
当
，则
，而
，此时
最多有两个零点；
当
时，则
，此时
的大致图象如下，
由
在
上单调递增，且
，结合上图，
当
，即
时，
，
恰有三个零点，
当
，即
时，
，
恰有三个零点；
当
时，
在
上单调递增，此时函数
最多有两个零点，不符题意；
综上，
.
故答案为：
一、单选题
18．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
20．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
