文档文本内容
第02 讲常用逻辑用语
（知识清单+5 典例精讲+5 易错辨析+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
充分条件与必要条件的判断
单项选择题
5
充分条件与必要条件的推理
单项选择题
5
全称量词命题的否定
单项选择题
5
全称/存在量词命题的否定及真假判断
单项选择题
5
命题真假判断
单项选择题
5
存在量词命题的真假判断
单项选择题
5
充分条件与必要条件、命题真假判断
单项选择题
5
【知识点01】充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p ⇒
q 且
q ⇏p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏p
【例1】已知p: x>3，q: x>2，判断p是q的什么条件，并说明理由。
解：根据定义结合集合关系判断：
① 若x>3（p成立），则一定有x>2（q成立），即p⇒q；
② 若x>2（q成立），不一定有x>3（如x =2.5），即q⇏p。
综上，p是q的充分不必要条件。
【知识点02】全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
【例2】判断下列语句中，哪些使用了全称量词，哪些使用了存在量词，并写出对应的量词符号：
（1）所有的实数都有平方根；（2）存在一个整数x0，使得2 x0+1=5。
解：结合量词定义判断：
（1）使用了全称量词，量词为“所有的”，对应符号∀，可表示为：∀x∈R，x有平方根；
（2）使用了存在量词，量词为“存在一个”，对应符号∃，可表示为：∃x0∈Z，2 x0+1=5。
【知识点03】全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃ x ∈
M
，
綈
p ( x )
∀ x ∈
M
，
綈
p ( x )
【例3】判断下列语句中，哪些使用了全称量词，哪些使用了存在量词，并写出对应的量词符号：
（1）所有的实数都有平方根；（2）存在一个整数x0，使得2 x0+1=5。
解：结合量词定义判断：
（1）使用了全称量词，量词为“所有的”，对应符号∀，可表示为：∀x∈R，x有平方根；
（2）使用了存在量词，量词为“存在一个”，对应符号∃，可表示为：∃x0∈Z，2 x0+1=5。
【题型一】充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
【例2】（2026·山东济南·二模）已知
为非零向量，则“
与
共线”是“
与
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得.
【详解】若
与
共线，当
时，存在实数
，使得
，
整理得
，
若
与
不共线，则
且
，矛盾，故
与
共线；
当
，有
，此时
与
共线；
故“
与
共线”是“
与
共线”的充分条件；
若
与
共线，则存在实数
，使得
，
则
，
，故
与
共线，
故“
与
共线”是“
与
共线”的必要条件；
综上可得：“
与
共线”是“
与
共线”的充要条件.
【例3】（2026·四川遂宁·二模）设
，且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性：对不等式移项通分得
，已知
，即
，
要使分式大于0，分母
必须也为负，因此可得
，充分性成立；
必要性：若
，说明
异号，结合条件
，可知
为正数，
为负数.
因此
，
，必然有
，必要性成立.
综上，
是
的充要条件。
【变式1】（2026·河北沧州·二模）已知直线：
，直线
：
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】直线：
，直线
：
，
当
时，代入可得：
，直线
：
，两条直线不平行，
当
时，代入可得：
，直线
：
，两条直线不平行，
设直线方程为
，直线
方程为
，
若
，则
，即
，
化简可得
，即
，解得
，
，
当
时，代入可得：
，
：
，
两直线重合，所以
舍去，
当
时，代入可得：
，
：
，
和
的斜率都为
，所以
，
因此
是
的充要条件.
【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知
，则（ ）
A．“
”是“
”的充分条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的必要条件
【答案】D
【详解】对于A，若
，满足
，而
，
则“
”不是“
”的充分条件，故A 错误；
对于B，若
，满足
，而
，
则“
”不是“
”的必要条件，故B 错误；
对于C，由
，当
时，
，
则“
”不是“
”的充分条件，故C 错误；
对于D，由
，则
且
，即
，
所以“
”是“
”的必要条件，故D 正确.
【变式3】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，
表示有限集中的元
素个数.设A，B 都为有限集，则（ ）
A．
的充要条件是
B．
的必要条件是
C．
的充分条件是
D．
的充要条件是
【答案】AB
【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD.
【详解】对于A，由
及
，得
，A 正确；
对于B，由
，得
，
的必要条件是
，B 正确；
对于C，取
，满足
，而
，C 错误；
对于D，取
，满足
，而
，D 错误.
故选：AB.
【题型二】全称量词命题与存在量词命题的否定
【例4】（2026·吉林·三模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定定义写出.
【详解】命题“
，
”为全称量词命题，
其否定为：
，
.
【例5】（多选）（2026·安徽淮北·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．命题“
，
”的否定是“
，
”
B．函数
的零点所在的区间是
C．已知
，则
D．函数
的最小正周期为
【答案】ABC
【详解】对于 A，因命题“
”的否定是“
”，
故命题“
”的否定为“
”，故A 正确；
对于 B，函数
的定义域为
，
因
与
均为
上的增函数，故
是
上的增函数．
又
，
．
由零点存在定理，可得函数
在
内有唯一零点，故B 正确；
对于C，因
故C 正确；
对于D，正切函数
的最小正周期为
而非
，故D 错误．
【例6】（2026·山西吕梁·三模）若命题
：
，
，则
为________.
【答案】
，使得
.
【分析】根据全称命题的否定方法可得结论.
【详解】由全称命题的否定可知，
：
，使得
.
【变式1】（2026·重庆渝中·三模）命题 “
” 的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】全称命题和存在命题的否定规则为“改量词，否结论”.
【详解】将存在量词
改为全称量词
，同时否定结论“
”为“
”.
所以原命题否定形式为“
”，对应选项为D.
【变式2】（2024·山东潍坊·二模）已知命题
：
，
，则
为___________．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】由特称命题的否定为全称命题可得
为
.
故答案为：
【变式3】（2024·甘肃武威·一模）命题“
，使
成立”的否定命题是______.
【答案】“
，
”
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】命题“
，使
成立”的否定命题是“
，
”
故答案为：
，
【题型三】充分条件、必要条件的含参问题
【例7】（2026·重庆·模拟预测）已知
：
，
：
，若
是
的既不充分又不必要条件，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解
，得
，
因为
是
的既不充分又不必要条件，所以
和
互不包含，
所以
，所以
的取值范围是
.
【例8】（多选）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合
，若“
”是“
”的充
分条件，则实数
的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】BC
【分析】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得
，解得
，则BC 符合题意.
故选：BC.
【例9】（2026·云南怒江·模拟预测）已知
，使得不等式
成立的一个充分不必要条件是
，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于
的不等式求解即可.
【详解】由
，可得
且
.
因为
，所以
，故不等式的解集为
.
由
是不等式成立的充分不必要条件，可得
是
的真子集，
故
，解得
，
所以
的取值范围是
.
【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解不等式
，得
或
，依题意可得集合
是集合
或
的真子集，
即可求出参数
的取值范围．
【详解】根据题意，解不等式
，即
，
解得
或
，即不等式的解集为
或
．
若“
”是“
”的必要不充分条件，
则集合
是集合
或
的真子集，所以
．
故选：C
【变式2】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，集合
，能使
成立的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】由
成立的充要条件求出对应的参数
的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，
对比选项可知使得
成立的充分不必要条件有
，
.
故选：CD.
【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知
，若
是
的充分不必要条件，
则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p 和q 对应的等价条件，再结合
是
的充分不必要条件得
到集合间的包含关系，则参数m 的范围可求.
【详解】由
可得
，即
，
由
可得
，即
，
又因为
是
的充分不必要条件，所以
，
所以
(等号不同时成立)，解得
，
故答案为：
.
【题型四】全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例10】（2025·陕西榆林·一模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题
的真假，即可求解
【详解】命题
，当
时，
，故为假命题；
命题
，当
或
时，
，故为真命题；
所以，
和
都是真命题，
和
是假命题.
故选：B
【例11】（2025·湖北黄冈·一模）已知命题
，则（ ）
A．
是假命题，
B．
是假命题，
C．
是真命题，
D．
是真命题，
【答案】D
【分析】利用导数判断命题
的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出
，可判断各选项的准确性.
【详解】设
，则
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
的最小值为
.
所以
对
恒成立.
所以
成立，即命题
为真命题.
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以
.
故选：D
【例12】（多选）（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BC
【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.
【详解】对A，当
时，
无意义，故A 错误；
对B，易得
，
，则
，可得
，故B 正确；
对C，当
时，
成立，故C 正确；
对D，
，可得
，故D 错误.
故选：BC
【变式1】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】D
【分析】需要分别判断命题
和命题
的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出
和
的真假．
【详解】对于p，取
，则有
，故p 是假命题，
是真命题；
对于q，
，则
，故q 是假命题，
是真命题.
综上，
和
都是真命题.
故选：D.
【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）函数
在
的最大值为m，在
的最大值为n，则以下命题为
假命题的是（ ）
A．
，
且
B．
，
且
C．
，
且
D．
，
且
【答案】A
【分析】利用假设法证明即可判断A；分别代入
、
与
，即可验证BCD.
【详解】A：若
，
，则
，得
，
所以
，故
，所以
，
，
得
，
，所以
，矛盾，故A 为假命题；
B：当
时，函数
在
的最大值为
，在
上的最大值为
，
此时
，
，故
，
且
，故B 为真命题；
C：当
时，函数
在
的最大值为
，在
上的最大值为
，
此时
，
，故
，
且
，故C 为真命题；
D：当
时，函数
在
的最大值为
，在
上的最大值为1，
此时
，
，故
，
且
，故D 为真命题．
故选：A．
【变式3】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（ ）
A．
，
B．“
，
”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“
，
”的否定是“
，
”
【答案】AB
【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【详解】选项A：将不等式变形：
，配方得：
，
对所有实数恒成立，因此选项A 正确；
选项B：由绝对值的非负性，
，
因此
，不可能小于0，因此选项B 正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C 错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变
的取值范围，因此选项D 错误.
故选：AB.
【题型五】简单逻辑联结词的应用
【例13】（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（ ）
A．
且
B．
或
C．
D．方程
有实根
【答案】B
【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解.
【详解】对于A,
为真命题，
为假命题，故
且
为假命题，
对于B，
为假命题，
为真命题，所以
或
为真命题，
对于C，
为假命题，
对于D，
,故方程
没有实数根，故D 错误，
故选：B
【例14】（2024·山东·二模）已知命题
：若
是自然数，则
是整数，则
是（ ）．
A．若
不是自然数，则
不是整数
B．若
是自然数，则
不是整数
C．若
是整数，则
是自然数
D．若
不是整数，则
不是自然数
【答案】B
【分析】命题的否定，不否定条件，只否定结论.
【详解】
是“若
是自然数，则
不是整数”.
故选：B
【例15】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是“
”的必要不充分条件，
是虚数单位，
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义及存在命题的性质结合非的定义判断即可.
【详解】因为
解得
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，
是假命题，
是真命题；
当
时，
，
是真命题，
是假命题．
综上可知，
和
都是真命题．
故选：B.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知命题
，
；命题
：若
，则
，则下列命
题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断出命题
的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.
【详解】对于
，因为
，故
，
，即
为真命题；
对于
，当
时，
时，此时
，故
为假命题.
则正确的命题为
.
故选：D.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知命题p：
，
；命题q：若
，则
.则下列命题
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别判断出
的真假性，即可得到结果.
【详解】对于p，设
，则
，故
，
，
即p 为真命题；
对于q，当
，
时，
，故q 为假命题.
则正确的命题为
.
故选:D.
【变式3】（2024·宁夏银川·三模）已知命题p：关于x 的方程
有实根；命题q：关于x 的函数
在
上单调递增，若“p 或q”是真命题，“p 且q”是假命题，则实数a 的取值范围是______.
【答案】
【分析】分分别求出两个命题为真命题时
的范围，再分
真
假和
假
真两种情况讨论即可得解.
【详解】由关于x 的方程
有实根，
得
，解得
或
，
由关于x 的函数
在
上单调递增，
得
，解得
，
因为“p 或q”是真命题，“p 且q”是假命题，
所以
一真一真一假，
当
真
假时，
，解得
，
当
假
真时，
，解得
，
综上所述，
.
故答案为：
.
【易错辨析（避坑指南）01】混淆“否命题”与“命题的否定”
【例1】写出命题“若x>2，则x
2>4”的否命题和命题的否定，并判断真假。
解析：明确二者区别，分别求解：
否命题（否定条件+否定结论）：若x ≤2，则x
2≤4；
真假判断：当x =−3时，x ≤2，但x
2=9>4，故否命题为假命题。
命题的否定（只否定结论）：若x>2，则x
2≤4；
真假判断：当x =3时，x>2，x
2=9>4，故命题的否定为假命题。
易错规避：牢记口诀“否命题，全否定；命题否定，只否结论”，避免混淆。
【易错辨析（避坑指南）02】全称/存在量词命题否定时，遗漏量词互变
【例2】写出命题“∀x∈R，x
2+ x +1>0”的否定，并判断真假（纠正常见错误）。
解析：严格遵循“量词互变，结论否定”原则：
常见错误：∀x∈R，x
2+ x +1≤0（未改变量词，错误）；
正确否定：∃x0∈R，x0
2+ x0+1≤0；
真假判断：配方得x
2+ x +1=( x + 1
2 )
2
+ 3
4 ≥3
4 >0，故否定命题为假命题。
易错规避：先变量词，再否结论，一步到位，避免分步出错。
【易错辨析（避坑指南）03】判断充分/必要条件时，忽略端点值取舍
【例3】已知p: x ≥2，q: x>2，判断p是q的什么条件（纠正常见错误）。
解析：结合集合包含关系，注意端点取舍：
常见错误：认为p⇒q，误判为充分条件（忽略x =2时，p成立但q不成立）；
正确分析：p对应集合P ={x∣x ≥2}，q对应集合Q ={x∣x>2}；
因为Q ⫋P，所以q⇒p且p⇏q，故p是q的必要不充分条件。
易错规避：化简后标注端点值，结合数轴判断集合关系，端点值单独验证是否满足逻辑关系。
【易错辨析（避坑指南）04】含参问题中，端点值漏验或错验
【例4】已知p: x ≤a，q: x ≤3，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围（纠正常见错误）。
解析：转化为集合关系，验证端点值：
常见错误：由q⇒p且p⇏q，得{x∣x ≤3}⫋{x∣x ≤a}，误判a>3（漏验a=3）；
正确分析：当a=3时，{x∣x ≤3}={x∣x ≤a}，此时p⇔q，不符合必要不充分条件；
当a>3时，{x∣x ≤3}⫋{x∣x ≤a}，满足q⇒p且p⇏q，故a>3。
答案：(3,+∞)
易错规避：端点值必验，明确端点值对应的集合关系是否符合题意，避免漏解或错解。
【易错辨析（避坑指南）05】混淆“且”“或”命题的真假判断规则
【例5】已知命题p:3>2（真命题），q:3=2（假命题），判断p∧q和p∨q的真假（纠正常见错误）。
解析：牢记真假判断规则：
常见错误：认为p∧q为真（误记“一真则真”），p∨q为假（误记“一假则假”）；
正确判断：① p∧q（且）：同真才真，一假则假，因q为假，故p∧q为假命题；
② p∨q（或）：同假才假，一真则真，因p为真，故p∨q为真命题。
易错规避：牢记口诀“且命题，同真才真；或命题，同假才假”，避免记混规则。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（2025·四川德阳·三模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
均为真命题
B．
和
均为真命题
C．
和
均为真命题
D．
和
均为真命题
【答案】B
【分析】当
时可判断命题
的真假，当
时，可判断命题
的真假.
【详解】当
时，
，故命题
为假命题，
为真命题；
当
时，
，故命题
为真命题，
为假命题，
故
和
均为真命题.
故选：B
3．（2024·四川成都·模拟预测）设命题
，使
是幂函数，且在
上单调递减；命
题
，则下列命题为真的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据特称命题与全称命题判断命题
的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.
【详解】对于命题
，当
时，函数
，是幂函数，且在
上单调递减，故命题
为真命题；
对于命题
，当
时，
，不满足
，故命题
为假命题．
所以“
”为真命题，“
”为假命题，“
”为假命题，“
”为假命题．
故选：A．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
二、多选题
5．（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式相关性质即可求解.
【详解】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
易知“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
6．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】写出命题的否定，依题意可得
在区间
内有解，根据函数的单调性求出
，
即可得解.
【详解】由题意得
“
，
”为真命题，
所以
在区间
内有解，
又知
在区间
内单调递增，所以
，
故
的取值范围为
．
故答案为：
7．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知
，
都是非零向量，定义新运算
，则“
”是“
”的_____条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，
既不充分也不必要）
【答案】必要不充分
【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，求出新定义条件和垂直条件的坐标关系，判断他们之间的推导关系.
【详解】根据新定义可知若
，则
，
则
或
，
当
时，
，
所以 “
”可以推导出“
”，但是“
”不可以推导出“
”.
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
四、解答题
8．（2024·河南·模拟预测）设函数
，
且
，证明：对于
，
的充要条
件是
.
【答案】证明见解析
【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可.
【详解】证明：因为
，所以函数
图象的对称轴为直线
，
所以
.
先证充分性：因为
，且
，所以
；
再证必要性：因为对于
，
，所以
，即
，从而
.
综上可知，对于
，
的充要条件是
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】C
【详解】A：当
，
时，
，所以本选项不符合题意；
B：当
，
时，平面
，
可以平行，所以本选项不符合题意；
C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，所以本选项不符合题
意.
2．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题
，
，则命题p 的否定是：
，
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．方程
的两根都大于1 的充要条件是
D．
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件
【答案】B
【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利
用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数
的取值分类讨论，并结合图象列不等式求
解即得.
【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，
故命题
，
的否定是：
，
，故A 错误；
对于B，由
可得
；但
时，满足
，却得不到
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，设
，则方程
的两根都大于1 等价于：
，解得
，故C 错误；
对于D，对于x 的不等式
，当
时，不等式
恒成立，
当
时，不等式
对一切实数x 恒成立等价于
，解得
.
综上可得，
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件，故D 错误.
二、多选题
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“
”的否定为“
”
B．“
”是“
”的必要条件
C．若
，则
D．
【答案】ABC
【分析】本题可根据全称命题的否定、必要条件的定义、对数的换底公式以及两角和的正弦公式来逐一分析选项即可.
【详解】对于A，命题“
”，其否定为“
”， 故A 正确；
对于B，由
能推出
，所以“
”是“
”的必要条件，故B 正确；
对于C， 已知
，可得
，所以
，故C 正确；
对于D， 当
时，
，故D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
4．（2026·青海西宁·二模）已知命题
，若
为真命题，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意，分
、
两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.
【详解】
可化为
，
由题意可知，
恒成立，
当
时，原不等式为
，解得
，不合题意；
当
时，依题意得
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
．
5．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“
”是假命题，则
的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由
对任意
恒成立，变换
，根据三角函数的值域即可得到答案.
【详解】由于“
”是假命题，则有
对任意
恒成立，
由于
时，
，因此
，
又因为当
时，
，且
在
内可无限趋近
，为满足
恒成立，
故
的取值范围是
.
四、解答题
6．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合
，函数
的定义域为
.
(1)若集合
，求集合
；
(2)在（1）条件下，若
，求
；
(3)在（1）条件下，若“
”是“
”充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由对数函数的性质，得到
，求得集合
或
，结合补集的运算，即可求解；
（2）当
时，求得
，利用并集的运算，即可求解；
（3）根据题意，转化为A 是
的真子集，分类讨论，即可求解；
【详解】（1）由函数
，可得
，
即
，解得
或
，所以集合
或
，
则
.
（2）当
时，可得集合
，
由（1）知集合
，所以
.
（3）若“
”是“
”的充分不必要条件，所以A 是
的真子集，
当
时，即
时，此时
，满足A 是
的真子集；
当
时，则满足
且不能同时取等号，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知函数
和
的图像关于直线
对称，命题p:若
在定义域上单调递增，则
和
图像交点均在直线
上；命题q:若
在定义域上单调递减，则
和
图像交点均在直线
上，则（ ）
A．命题p 和q 均为真命题
B．命题p 和命题
均为真命题
C．命题
和命题q 均为真命题
D．命题
和命题
均为真命题
【答案】B
【分析】利用反函数的性质，结合函数的单调性判断命题p 及
的真假，举反例判断命题q 及
的真假.
【详解】因为函数
和
的图像关于直线
对称，
则函数
和
互为反函数.
对于命题p:
设
为函数
和
的交点，
则
.
因为函数
和
的图像关于直线
对称，
所以
也为函数
和
的交点，
即
假设
，不妨设
，
因为
在定义域上单调递增，则
，
由于
，
所以
，
这与
，矛盾，
所以
，
所以
和
图像交点均在直线
上，
所以命题p 为真命题，命题
为假命题；
命题q:举反例，若
，则其反函数
，两函数图像重合，
交点（公共点）是直线
上的所有点，不都在
上，
故
在定义域上单调递减时，
和
图像交点未必在直线
上，
所以命题q 为假命题，命题
为真命题.
故选：B
2．（2026·江苏南通·三模）设集合
，集合
，则“
”的一个必要
不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
若
，则
，所以
，解得
，
当
时，
，此时
，
所以
是
的充要条件，
故“
”的一个必要不充分条件是
.
二、多选题
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．命题“
，都有
”的否定是“
，使得
”
C．“
”是“
”的必要不充分条件
D．关于
的不等式
的解集为
，则
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性确定
的范围可得选项A 正确；根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得选项B
错误；解不等式
，结合充分条件、必要条件的概念可得选项C 正确；由题意可得
和1 是关于
的方程
的两个根，求解可判断选项D 正确.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，“
，都有
”的否定是“
，使得
”，故B 不正确；
对于C，由
，可得
，所以
，所以
，
所以
，解得
或
“
”是“
”的必要不充分条件，故C 正确；
对于D，由题意知
和1 是关于
的方程
的两个根，
，解得
，
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
4．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意
，
”为假命题，则实数
的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在
，
为真命题，即
，求出
的最小值得
解.
【详解】若命题任意“
，
”为假命题，
则命题存在
，
为真命题，
因为
时，
，
令
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知
是定义在区间
上的单调递增函数，对于
有如下甲、乙两个命题：
甲：
是方程
的根；
乙：
是方程
的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设
，若
，方程
有唯一实数根，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据根的性质及充分、必要性的定义即可证；
（2）问题化为当
时有唯一的
，满足
的
值，利用导数研究
的性质，结合零点个数求参数值.
【详解】（1）①充分性：若
是方程
的根，则
，
所以
，即
是
的根，充分性成立；
②必要性：若
是方程
的根，则
.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
所以
是方程
的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为
，所以
，
函数
在
上单调递增，
由（1）知“
是方程
的根”与“
是
的根”等价，
故只需求：当
时有唯一的
，满足
的
值.
令
，则
.
因为
为
上的单调递减函数，又
，当
趋向于无穷大时，
趋近于
，
故存在唯一的
使
，并得
.
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
要方程
在
内有唯一实数根，即要
，解得
.
所以，
.
