文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析.............................................................................................4
高频考点二：平面向量数量积的几何意义.................................................................................................4
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）..................................................................................6
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）.....................................................................................7
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）..............................................................................7
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）................................................9
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）.....................................................................11
高频考点八：向量的垂直关系..................................................................................................................11
高频考点九：向量的投影（投影向量).....................................................................................................12
高频考点十：平面向量的综合应用..........................................................................................................13
高频考点十一：最值范围问题..................................................................................................................15
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................16
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题............................................................................16
第五部分：新定义题........................................................................................................................................17
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1 向量的夹角
已知两个非零向量
和
，如图所示，作
，
，则
(
)叫做向量
与
的夹角，记作
．
(2)范围：夹角
的范围是
．
当
时，两向量
，
共线且同向；
当
时，两向量
，
相互垂直，记作
；
当
时，两向量
，
共线但反向．
1.2 数量积的定义：
已知两个非零向量
与
，我们把数量
叫做
与
的数量积(或内积)，记作
，即
，其中θ 是
与
的夹角，记作：
．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：
.
1.3 向量的投影
①定义：在平面内任取一点
，作
.过点
作直线
的垂线，垂足为
，则
就是向量
在向量
上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当
为锐角（如图（1））时，
与
方向相同，
，所以
；
当
为直角（如图（2））时，
，所以
；
当
为钝角（如图（3））时，
与
方向相反，所以
，即
.
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
综上可知，对于任意的
，都有
.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量
，
为向量
和
的夹角：
2.1 数量积
2.2 模：
2.3 夹角：
2.4 非零向量
的充要条件：
2.5 三角不等式：
（当且仅当
时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形
中，则
②三角形形式：在
中，
为
的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
．
4．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．0
B．1
C．2
D．3
例题2．（多选）已知
，
，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
精练高频考点
1．已知向量
，
满足
，且
与
的夹角为
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．14
2．（多选）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
3．（多选）已知任意的非零平面向量
，
，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（24-25 高二下·广东汕尾·期末）如图，已知圆C 的弦
的长度为4，则
的值是（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
例题2．（24-25 高一下·上海宝山·阶段练习）已知
中，
，
，
，则
在
方向上的数量投影为 .
例题3．（24-25 高一下·上海·期末）已知6 个边长均为2 的正六边形摆放如图所示位置，
是这6 个正六
边形内部（包括边界）的动点，则
的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·广东清远·期中）已知
是圆
的弦，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为
的外心，
，则
．
3．（24-25 高一下·北京·期末）如图，
是以
直径的圆
上的动点，已知
，则
的最
大值是 .
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
例题1．（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长为2，点
是
的中点，点
是对角线
上的动点，则
的最大值为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
例题2．（24-25 高一下·福建南平·期末）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．若向量
满足
，则
．
例题4．（2025 高三·全国·专题练习）设正方形
的边长为4，动点
在以
为直径的
上，如
图，则
的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南海口·期末）已知四边形
为矩形，
，
，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．7
2．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）在平行四边形
中，
，
，
，
为
的
中点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在
中，
，
，
，
为线段
上的两
个动点，且满足
，则
的取值范围是 ．
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
例题1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量
与
的夹角为
，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．6
例题3．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量
，
满足
，则
．
例题4．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知平面向量
、
、
、
，且
，若
，
，则
的最小值为 .
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
是单位向量，
，
的夹角为
，若向量满足
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·上海·期中）已知
则
．
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·湖北宜昌·期末）已知点
，
，
(1)若A，B，C 三点共线，求实数k 的值；
(2)若四边形
为矩形，求向量
与
夹角的余弦值．
例题3．（24-25 高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
的长度；
(2)若
与
交于点
，求
．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·重庆·期中）如图，矩形
的长为3，宽为2，E 是
边的中点，F 是
边上靠近
点A 的三等分点，
与
交于点M，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，设
，
．
(1)用
，
表示向量
，
；
(2)求
的余弦值．
3．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·期中）正方形
的边长为，
，
，点
是边
所在直线上的一个动点．
(1)当
时，求实数
的值；
(2)当
时，求向量
与
的夹角的余弦值．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川德阳·阶段练习）已知向量
，
与
的夹角为锐角的一
个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·重庆万州·期中）已知向量
，若向量
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知
为坐标原点，
，
，
．
(1)若
、
、
三点共线，求
的值；
(2)若
与
夹角为钝角，求
的取值范围．
练高频考点
1．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量
，且
的夹角为锐角，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
在
方向上的投影数量为1，求m 的值；
(3)若
，
的夹角为锐角，求m 的取值范围．
3．（24-25 高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，
．
(1)
是线段
上靠近
的三等分点，求点
的坐标；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量
是单位向量，且
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
例题2．（24-25 高一下·河南许昌·期末）已知
，
为平面内不相等的两个单位向量，
，且
，则
．
例题3．（23-24 高二下·福建漳州·阶段练习）已知向量
，
满足
，
，则
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）若向量
，
都是单位向量，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（25-26 高三上·湖南常德·开学考试）已知向量
满足
，则
．
3．（24-25 高一下·广西梧州·阶段练习）已知单位向量
满足
，则
.
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·江苏南京·期中）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
例题3．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量
.
(1)求
的值；
(2)若向量
与
垂直，求k 的值.
精练高频考点
1．（23-24 高二下·四川德阳·期末）平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．9
C．
D．7
2．（2025·河北衡水·三模）已知向量
，
，若
且
，则
的最小
值为 .
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知向量
，
，若
，则
.
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
例题1．（24-25 高三上·福建泉州·期中）已知向量
，若
，则
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（25-26 高三上·贵州·阶段练习）已知平面向量
满足
，则
在
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，且
，则向量
在
向量
方向上的投影的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
，则向量
在向量
上
的投影向量坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北·模拟预测）向量
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量
，向量
满足
，则
在
上的投影向量的坐标为
.
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）若向量
满足
，且对任意的单位向量
，求
的最大值和最小值．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系
中，点
，
，
.
(1)求以线段
为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数满足
，求的值；
(3)求以线段
为邻边的平行四边形的面积.
例题3．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）如图，等腰
中，
为
边的中点，
为
边上靠近点
三等分点，
为线段
的一点，且
过点
的直线与边
分别交于
点
，已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，
，
，
，
，求
的取值范围．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知在矩形
中，
，若
是
上的动点，求
的最小值．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知等边
的边长为2，
的半径为1，
为任意一条直
径．
(1)判断
是否为定值；
(2)求
的取值范围．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
例题1．（2025·四川巴中·二模）已知点
在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（24-25 高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪
生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为
正八边形
和圆
（图2），其中正八边形的中心是点
，鱼眼（黑、白两点）
，
是圆
半径的中点，且关于点
对称.若
，圆
的半径为2，当太极图转动（即圆面
及其内部点绕点
转动）时，
的最大值为 .
例题4．（2025·天津和平·三模）若正方形
的边长为1，中心为
，过
作直线与边
，
分别
交于
，
两点，点
满足
．（ⅰ）当
时，
；（ⅱ）
的最小值为 ．
精练高频考点
1．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与
⊙O 交于B，C 两点，D 为
的中点，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2025·重庆·三模）已知矩形
的边
，
，点P，Q 分别在边
上，若
则
的最小值为 .
3．（2025 高三·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，
，
，点M，N 分别为边
，
上的动
点，且
，则
的最小值是 ．
4．（24-25 高一下·天津西青·期中）在
中，
，
，
，
分别为边
，
的中点，
若点
在线段
上，且
，
，则
.若
，点
为线段
上的动点，则
的最小值为 .
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
2．已知点
，
，向量
，若
与
成锐角，则y 的取值范围为 ．
3．已知
且
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是 .
4．已知平面向量
，
，
．
(1)①若
，求
；②若
，求
；
(2)若向量
与
的夹角为钝角，求x 的取值范围．
第五部分：新定义题
1．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方向同向的单位向量，若向量
，则把有序数对
叫作向量
在坐标系xOy 中
的坐标.若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
2．若
，
是一组基底，向量
（
），则称
为向量
在基底
，
下的坐标．现
已知向量
在基底
，
下的坐标为
，则
在另一组基底
，
下的坐
标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）对非零向量
，定义运算“（*）”：
，其中
为
与
的夹角，则下列选项错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若Rt
中，
，则
D．若
中，
，则
是等腰三角形
4．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋
转
角得到向量
，叫做把点
绕点
沿逆时针方向旋转
角得到点
.
已知平面内点
，
，把点
绕点
沿逆时针方向旋转
后得到点
，则
的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知单位向量
的夹角为
，若平面向量
，有序实数对
称为向量
在“仿射”坐标系
（
为坐标原点）下的“仿
射”坐标，记
，则下列命题正确的是（ ）
A．已知
，则
B．已知
，则线段
的长度为1
C．已知
，则
D．已知
，则
的最大值为
