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第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末题型大总结
题型01 求向量的数量积
【典例1】（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长是4，
是
的中点，
满足
，则
（ ）
A．10
B．20
C．22
D．25
【变式1】（24-25 高三上·河南·阶段练习）如图，在
中，已知
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
解题锦囊
求数列最大(小)项的方法
（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；
（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；
（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.
【变式2】（24-25 高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2 的等边三角形
有一条边
在同一条直线上，则
.
【变式3】（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）正方形
的边长为
为
边的中点，
为
边上
一点，且
，则
.
【变式4】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在
中，点
在线段
上，且
．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
题型02 求向量的投影向量
【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量
，
满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
，则向量
在向量
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
解题锦囊
已知非零平面向量
，向量
是与
同向的单位向量，则向量
在
上的投影向量：
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量
，
，若向量
在
方向上
的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【变式3】（24-25 高三上·湖南长沙·期中）已知
为单位向量，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
的值为（ ）
A．2
B．0
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量
满足
，且
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形
中，
且
与
交于
点
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 向量的夹角问题
【典例3】（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
，
，满足
，
，则
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【变式1】（24-25 高三上·湖南衡阳·阶段练习）设向量
，
，则
与
夹角的余弦值为
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【变式2】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）“
”是“向量
与向量
的夹角为钝
解题锦囊
（1）向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b 的值及|a|，|b|的值，
然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b 三者之间的关系，然后代入求解.
（2）两个向量a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且a，b 不共线；
角”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）已知向量
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形
中，
是
的中点，
在
上且
，
与
交于点
，则
．
题型04 向量模的计算
【典例4】（2025·广东·一模）已知平面向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【变式1】（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，
，
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·江苏·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．0
【变式3】（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量
、
满足
，则
.
解题锦囊
向量的模的求解方法：
①公式法：利用
及
，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②坐标法：求出平面向量的坐标求解.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，
，则
．
【变式5】（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知
的夹角为
，
是
的中点，
则
．
题型05 平行与垂直问题
【典例5】（2025 高一·全国·专题练习）已知向量
，
，则下列关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·山东威海·月考）已知非零向量
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知向量
，
的模相等且夹角为
，若向量
与向量
垂直，则
实数
（ ）.
A．
B．
C．
D．2
【变式3】（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知向量
，且
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知点
、
、
，其中
，则
（ ）
A．若
、
、
三点共线，则
B．若
，则
C．若
，则
D．当
时，
题型06 最值与范围问题
【典例6】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心
重合于点
且三组对边分别平行，点
，
是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点
在“六芒星”上
（内部以及边界），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）
是边长为2 的正三角形，
为
所在平面内任意一
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【变式2】（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量
，
满足
，
，则
的最大
值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形
中，
，
为
中点，
为正方形
内部或边界上一点，则
的最大值为（ ）.
A．
B．
C．
D．2
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1
是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形
中，若
，则
的值为 ；若正八边形
的边长为2，
是正八边形
八条边上的动点，则
的取值范围是 ．
【变式5】（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长为4，
，
分别为
，
的中点，
如果对于常数
，在正方形
的四条边上，有且只有8 个不同的点
，使得
成立，那么
的取值范围是
题型07 两角和与差的三角函数
【典例7】（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·广东·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【变式4】（24-25 高一上·云南德宏·期末）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·陕西西安·期末）已知
，则
（ ）
解题锦囊
公式的应用技巧：
①角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝，β＝－＝(α＋2β)
－(α＋β)；
②名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，
或者把正切化为正弦、余弦．
A．
B．
C．3
D．
题型08 二倍角公式
【典例8】（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知角
为
的一个内角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三下·全国·专题练习）若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知
是第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·广西来宾·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 积化和差与和差化积公式
解题锦囊
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化
为特殊角．
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关
系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【典例9】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知角
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】．（24-25 高一·江苏·课后作业）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·上海·课后作业）求值：
.
【变式4】（24-25 高一·全国·课后作业）
．
题型10 三角变换的综合应用
【典例10】（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
在区
间
有且仅有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
一、积化和差公式应用时的注意事项：
（1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式；
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质；
（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
二、和差化积公式应用时的注意事项：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是
高次函数，必须用降幂公式降为一次；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝
cos－cos α.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·湖南娄底·期中）已知函数
，则函数
在
上的单调递增区间为： .
【变式3】（24-25 高三上·山东·期中）若
，
，且
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知函数
在区间
上只有一个最大值点和一个零点，则
的取值范围是 .
