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单元集训卷14 平面向量
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两个向量一定是相等向量B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量
C．零向量没有方向
D．平行向量的方向一定相同
【答案】B
【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A 错误；
对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B 正确；
对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C 错误；
对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D 错误.
2．已知向量
，
不共线，且
则实数
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线的定义计算即可.
【详解】因为向量
，
不共线，且
，
那么存在实数
，使得
，
则有
，解得
.
3．在平行四边形
中，
是对角线的交点，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】因为
，
所以
4．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．6
B．9
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意得
，
又向量
，则
，所以
，解得
．
5．已知非零向量
满足
，且
，则
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
得：
，则得
，
由
得：
，则得
，
故
，即
，且
，
则
与
的夹角余弦值为：
.
6．已知向量
，
，若
，则
在
方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
解得
，即
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
，解得
，
，
当
时，
，
，
，
，
则
在
方向上的投影向量的坐标是
.
7．O 是在
所在平面上一点，存在实数x、y、z 满足
，
，
，则点O 是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【详解】因为
分别表示与
同方向的单位向量，如图，不妨分别记为
，
故以
为两邻边的平行四边形
为菱形，则
平分
，
因
，可知O 点落在
的平分线上；
同理由
，
可知O 点也落在
的平分线上，
故点O 是
三条角平分线的交点，即三角形的内心.
8．在
中，
，
，
，
，
分别是边
，
上的点，且满足
，
，连接
，
交于点
，则
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】以
为平面向量一组基底，设
，
，利用向量相等，求得
，从而用基底表示
出
，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论.
【详解】由题意知，
，
.
设
，
，
则
，
，
所以
，解得
.
所以
，
，
所以
，
，
，
所以
.
即
与
夹角的余弦值为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
与
夹角为
C．
D．与
共线的一个单位向量为
【答案】CD
【分析】根据数量积的坐标运算可判断A；由
即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；由与
共线的一个单位向量为
即可判断D．
【详解】由题意得
，
，
则
，故A 错误；
可得
，故B 错误；
而
，故C 正确；
与
共线的一个单位向量为
，故D 正确．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量
，则“
的夹角为钝角”是“
”的充要条件
B．已知向量
，若
与
共线，则
C．若向量
，则
在
方向上的投影向量坐标为
D．在
中，向量
与
满足
，则
为等腰三角形
【答案】ABCD
【详解】对于A，若
的夹角为钝角，则
且两向量不共线，等价于
，即“
的夹角为
钝角”是“
”的充要条件，故A 正确；
对于B，若
与
共线，则
.易得
，则
，故B 正确；
对于C，
在
方向上的投影向量坐标为
，故C 正确；
对于D，
都表示单位向量，
表示
角平分线方向上的向量，
表示
角平分线方向上的向量与边BC 垂直，所以AB=AC，
为等腰三角形，故D
正确.
11．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，O 为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若O 为
的外心，且
，则
B．若O 为
的内心，
，则
C．若O 为
的重心，
，则角
D．若O 为
的外心，且O 到a，b，c 三边距离分别为
则
【答案】AB
【分析】根据三角形四心的相关性质和正弦定理、余弦定理等相关知识逐项检验即可求解.
【详解】对于A，设
外接圆半径为
，因为
，
所以
，则
，
也即
，所以
，则
，故选项A 正确；
对于B，取
的中点
，连接
，作
，垂足为
，
因为
，所以
为
的角平分线，所以
，
又
，
，所以
，则
；
因为
的周长
，面积
，
所以
内切圆半径
，所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
则
，
，所以
，故选项B 正确；
对于C，因为点
为
的重心，所以
，
又因为
，令
，则
，
在
中，由余弦定理可得，
，
因为
，则
，故选项C 错误；
对于D，设
外接圆半径为
，
因为
，
，
所以
，从而得到
，
同理可得
，
所以
，故选项D 错误.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若向量
满足
，且
与
的夹角为
，则
________.
【答案】
【分析】先利用向量数量积定义求出
，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果.
【详解】由向量数量积定义，得
.
.
13．若两个单位向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为________．
【答案】
/
【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出
，再利用向量的数量积及模长求解即可.
【详解】因为
，
为单位向量，所以
.
两边平方，可得
，解得
.
而
，
，
.
设向量
与
的夹角为
，
，
则
，所以
.
向量
与
的夹角为
.
14．已知四边形
是边长为4 的正方形，点E 满足
．P 为平面
内一点，则
的最
小值为________．
【答案】
/
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量及的坐标表示求解即可.
【详解】以
为原点，以
，
为
，
轴建立平面直角坐标系，则
，
，
，
.
因为
，则
.
设
，则
，
，
.
所以
，
所以
.
因为
，
，
所以当
，
时，
取得最小值，为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在梯形
中，
，
，
为线段
上靠近点
的三等分点，
为线段
的中点．
(1)用向量
，
表示
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据几何图形，结合向量的加法和减法运算公式，即可求解；
（2）首先用基底
表示向量
和
，再代入数量积的运算律公式，即可求解.
【详解】（1）由题意可知
，
，
，
所以
．
（2）因为
，
，所以
，
因为
，
，
，
所以
．
16．设两个向量
，满足
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性坐标运算及垂直的坐标公式列式求解即可.
（2）根据向量的数量积的坐标运算以及共线的坐标公式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
，解得
.
（2）因为
，所以
.
若¿2t a⃗+b⃗,a⃗+2b⃗¿¿为钝角，所以
，且不反向共线.
由
，所以
，解得
.
设
，解得
（两向量同向舍去）.
所以实数的取值范围为
.
17．已知向量
和
夹角为
，且
，求：
(1)
的值；
(2)
的值；
(3)
与
的夹角
的余弦值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，
；
（2）因
，
则
；
（3）因
，
由（2）得
，则
.
18．在
中，点
，
分别在边
和边
上，且
，
，
交
于点
，设
，
．
(1)试用
，
表示
；
(2)试用
，
表示
；
(3)在边
上有点
，使得
，求证：
，
，
三点共线．
【答案】(1)
(2)
(3)由
，得
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
与
有公共点
，
所以
三点共线．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）设
，
，分别用参数
和
，
表示
，再根据平面向量基本定理求出
即可；
（3）用
，
表示
，根据平面向量共线定理证明
即可.
【详解】（1）由题意，
；
（2）设
，由题意
，
所以
，
①，
设
，则
，
则
②，
由①②得，
，
所以
，解得
，
所以
；
（3）略
19．在直角梯形ABCD 中，已知
，
，
，
，
，动点E、F 分别在线段BC 和
DC 上，AE 和BD 交于点M，且
，
，
．
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求
的值；
(3)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算可得
，
，结合数量积的定义运算求解即可；
（2）根据题意整理可得
，
，利用三点共线求得
，可求
；
（3）整理可得
，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
所以
，
，
又
，
所以
；
（2）当
时，
，所以
，
所以
，
，
因为
三点共线，所以存在
，使
，
又因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
，所以
；
（3）因为
，
，
所以
，
，
所以
，
，
，
由题意知
，
所以当
时，
取到最小值
，
当
时，
，
当
时，
，
所以当
时，
取到最大值
，
所以
的取值范围是
.
