文档文本内容
第04 讲平面向量的概念与线性运算
（知识清单+5 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
向量基本概念、线性加减运算、向量共线定理、几何图形向量表示
单选、多选、
填空题
5 分/6 分/5 分
向量线性分解、基底运用、三点共线问题、向量化简求值
单选、填空题
5 分
图形中向量线性运算、共线求参数、向量模简单计算
单选、多选、
填空
5 分/6 分/5 分
【知识点01】向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
平面向量是自由向量
长度(模)
向量的大小
记作|a|或|⃗AB|
零向量
长度为0，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1 个单位长度的向量
与非零向量a 共线的单位向量为± a
|a|
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0 的相反向量为0
【例1】下列关于向量的说法正确的是（ ）
A .若| a
→
|=|b
→
|，则a
→
= b
→
B.若a
→
= b
→
，则|a
→
|=|b
→
| 且a
→
与b
→
方向相同
C .向量AB
→
与CD
→
是共线向量，则A 、B、C 、D四点共线
D .零向量的模为0，方向确定
【知识点02】向量的线性运算
向量
运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝b ＋
a ；
结合律：
(a＋b)＋c
＝a ＋
( b ＋
c )
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝| λ || a | ，当λ>0 时，λa 的方
向与a 的方向相同；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的方向
相反；
当λ＝0 时，λa＝0
设λ，μ 为实数，则
λ(μa)＝( λμ
) a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋
μ a ；
λ(a＋b)＝λ a ＋
λ b
【例2】在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，若⃗AF = x⃗AB+ y⃗AD，求x、y 的值。
【知识点03】向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
【例3】已知向量
不共线，且
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【题型一】向量的有关概念辨析
【例1】（2026·山东枣庄·三模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【例3】（2026·江苏·二模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知
均为单位向量，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【变式2】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等
B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0 且没有方向
D．方向相反的两个向量互为相反向量
【变式3】（多选）（2024·湖北·一模）下列关于向量与复数的说法正确的有（ ）
A．若复数
满足
，则
B．若复数
满足
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
或
【题型二】向量的加减运算及化简
【例4】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．
B．
是单位向量，则
C．若
，则
或
D．对于任意向量
，有
【例5】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形
中，点D 是边
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（2025·四川巴中·三模）非零向量
，
满足：
，
，则
与
夹角的余弦值为
______.
【变式1】（2024·江西·模拟预测）在
中，角B，C 所对的边分别为b，c，D 为边BC 上的点.已知
：
，
：
平分
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量
满足
且
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
【变式3】（2024·江苏南通·模拟预测）复数
与
分别表示向量
与
，记表示向量
的复数为
，则
______．
【题型三】向量线性运算的几何应用
【例7】（2026·江苏·二模）在平行四边形
中，
为
的中点，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学
的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方
形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）
的内角
的对边分别为
的面积为
，且
，则
边上的中线长为__________．
【变式1】（2026·山东东营·二模）“
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2026·浙江宁波·二模）已知点
，
，
在圆
上运动，且
，若点
的坐标为
，
则
的取值范围是________．
【变式3】（2025·湖南郴州·三模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的长.
【题型四】已知向量共线(平行)求参数
【例10】（2026·河南许昌·模拟预测）已知
、
是两个不共线的向量，若向量
与
共线，则
（ ）
A．9
B．6
C．
D．
【例11】（2026·安徽·三模）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【例12】（2023·海南·模拟预测）已知向量
，
，
，若点
，
，
三点
共线，则实数
_________．
【变式1】（2025·四川内江·一模）已知向量
，若
与
共线，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式2】（2024·陕西安康·一模）已知O 是
内一点，
，若
与
的面积之比
为
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在
中，
，P 是线段AD 上的动点（与端点不重合），
设
，则
的最小值是______.
【题型五】平面向量共线定理的推论
【例13】（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数
，在
中，
为
上一点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【例14】（2026·河南洛阳·模拟预测）在
中，
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于点
，
，设
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【例15】（2023·陕西西安·模拟预测）在
中，
是
边上一点，且
，
是
的中点，过点
的
直线与
两边分别交于
两点（点
与点
不重合），设
，
，则
的最小值为
__________.
【变式1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在
中，点D 为边
的中点，过点D 的直线与
，
两边（或其
延长线）分别交于点E，F，设
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·福建·模拟预测）在
中，点
是边
上一点，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知
中，角
所对的边分别为
，
，
，
，若
，则
的最小值为_________________．
【解题大招01】向量概念辨析技巧
核心抓“两个核心属性”：大小（模）和方向，牢记3 个易错关键点：
① 相等向量：方向相同+模相等（二者缺一不可，与起点无关）；
② 平行向量（共线向量）：方向相同或相反，零向量与任意向量平行（零向量是唯一方向任意的向量）；
③ 零向量：模为0，模为0 的向量必为零向量，注意零向量在共线、数乘运算中的特殊性。
【例1】下列说法正确的是（ ）
① 若向量a
→与b
→方向相同，且| a
→
|=|b
→
|，则a
→
= b
→；
② 若a
→
= b
→，则| a
→
|=|b
→
|且a
→与b
→方向相同；
③ 若|a
→
|=|b
→
|，则a
→与b
→为相等向量或相反向量；
④ 零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的；
⑤ 若a
→
∥b
→，b
→
∥c
→，则a
→
∥c
→。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ②③④
【解题大招02】向量线性运算技巧（加减、数乘）
遵循“代数运算+几何意义”双重思路，兼顾简洁性与直观性：
① 代数运算：类比“合并同类项”，数乘时系数乘向量整体，去括号注意符号变化，最终整理为k a
→
+m b
→最简形式；
② 几何运算：优先用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点），中点、三等分点等特殊点可借助
“向量拆分”转化（如中点：AD
→
= 1
2 ( AB
→
+ AC
→
)）。
【例2】已知向量a
→
，b
→
，求下列各式的值：
（1）3 a
→
+2b
→
-(2 a
→
-3 b
→
)；
（2）1
2 (4 a
→
-6 b
→
)+3(a
→
+ 1
3 b
→
)。
【解题大招03】向量共线判定与应用技巧
高考高频考点，两种核心判定方法（优先选代数形式，简洁高效）：
① 代数形式（坐标表示）：若m
→
=( x1, y1)，n
→
=( x2, y2)，则m
→
∥n
→
⇔x1 y2- x2 y1=0；
② 向量形式：若m
→
∥n
→（n
→
≠0
→），则存在唯一实数λ，使得m
→
= λ n
→（注意n
→
≠0
→的限制）。
【例3】已知向量a
→
=(2,1)，b
→
=(1,k )，且a
→
+2b
→
与2 a
→
- b
→
共线，求实数k 的值。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形
的对角线的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏南通·三模）已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，若A，B，
D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在
中，点D 为边
上一点，且
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·海南·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．向量可以用有向线段表示
B．非零向量
与非零向量
共线，则
与
的方向相同或相反
C．向量
与向量
共线，则
，
，
，
四点在一条直线上
D．如果
，那么
5．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
不可能为单位向量
D．若
，则
三、填空题
6．（2025·贵州·二模）若
，
均为单位向量，且
，则
______．
7．（2024·江西·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，
是
的中点，
，则
______．
四、解答题
8．（2025·湖南长沙·一模）记
的内角
的对边分别为
．已知
，D
为边
上的靠近点C 的三等分点．
(1)求角
；
(2)求
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，
为
的中点．若
，则
（ ）
A．-2
B．2
C．
D．
2．（2025·广东·模拟预测）若平面向量
，
，满足
，则
的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、多选题
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
是坐标原点，对任意
，函数
的图象上总存在不同两点
，使得
，则下列选项中满足条件的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知
，
，
分别为
的边
，
，
的中点，且
，
，
交于点
，令
，
，表示相应图形的面积，则（ ）
A．
B．
C．
D．
，
，
可作为一个三角形的三边长
三、填空题
5．（2026·福建泉州·二模）已知
，则实数
的值为___________．
四、解答题
6．（2025·全国·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求
；
(2)若
是边
上一点，且满足
，
，求
的最大值.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，是同一个平面内的三个向量，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点
，满足
，则
在
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）圆
为三角形ABC 的外接圆，
则（ ）
A．
B．
C．三角形
的面积为
D．三角形
的周长为
三、填空题
4．（2025·湖北·模拟预测）平面向量
满足
，则
的最小值为__________.
四、解答题
5．（2024·江西新余·模拟预测）在等腰直角三角形
中，
为直角顶点，
为线段
上一点，
为射线
上一
点，
.
(1)若
，
的面积为
，求
使
.
(2)
为线段
上一点，
且
，求
面积的最小值.
