文档文本内容
平面向量的线性运算
考点1
专题05 平面向量与复数
7 大考点概览
题型01 平面向量的线性运算
题型02 平面向量的数量积、投影向量的运算
题型03 有关平面向量的夹角、模的运算
题型04 有关平面向量的垂直、共线的运算
题型05 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题
题型06 有关复数的基本概念及几何意义
题型07 有关复数的基本运算
1．（2026·广东深圳·二模）在平行四边形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形
为平行四边形，
，
为
与
的交
点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD 中，点
在线段AC 上，且
.若
，其中
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·云南昭通·二模）已知
是
的边
上的点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2017·广西玉林·二模）如图，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·江西九江·二模）在平行四边形
中，
、
分别是
、
的中点．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北保定·二模）如图，在
中，若
点
满足
且
与
交于点 O，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知
，点
，
满足
，
，
与
交于点
，
交
于点
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC 中，
，点
是靠近
的三等分点，过
的直线分别交射线AB，AC 于不同的两点M，N，
，则下列选项中不正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值是
10．（2026·湖北·二模）如图，
是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个
大正三角形，若
，
，点M 为线段
上的动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．21
C．24
D．40
11．（2026·四川南充·二模）在
中，
，
，若
，
，
，
相交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选）（2025·重庆·二模）已知
为
内部的一点，满足
，则（ ）
平面向量的数量积、投影向量的运算
考点2
A．
B．
C．
D．
13．（2026·天津和平·二模）已知边长为3 的正方形
，F 为边
上靠近点B 的三等分点，E
为线段
上一点，M 为线段
上一点，若
，则
__________；若以
为
底边作等腰三角形
，则当点E 在边
上运动时，
的取值范围为__________.
14．（2026·湖南·二模）如图，等边
边长为2，点
、
分别为
、
的中点，连接
并延长至点
，使得
，则
_________．
15．（2026·四川南充·二模）在
中，
，
，
分别是边
，
，
边的中点，若
，
，
，则
的长度为_____________.
16．（2025·天津·二模）在边长为1 的菱形ABCD 中，
，记
，
，点M 是线段
BD 上一点，点N 是线段DC 上一点，且A，M，N 三点共线．若
，则用
，
表示
________；若
，则
的值为________．
1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量
，
的夹角为
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2026·广西河池·二模）已知向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（2026·广东清远·二模）已知非零向量
，
满足
，则
在
方向上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东深圳·二模）已知向量
与
，
，向量
在向量
方向上的投影向量是
，则
（ ）
A．4
B．16
C．1
D．3
5．（2026·安徽池州·二模）已知向量
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点
，满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山东聊城·二模）已知
，且满足
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段
，
点满足
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·天津河东·二模）已知点
为坐标原点，
，
，点
在
内部，
，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量
，
，
，若
，
在上的投影
向量相等，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
11．（多选）（2025·浙江台州·二模）已知
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
的最大值为30
C．
的最小值为
D．
的最小值为
12．（多选）（2023·山东·二模）下列说法正确的是（ ）
A．
B．非零向量
和
，满足
，且
和
同向，则
C．非零向量
和
满足
，则
D．已知
，
，则
在
上的投影向量的坐标为
13．（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，
是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元
代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形
的边长为
，圆
的圆心为正六边形的中心，半径为，若点
在正六边形的边上运动，动点
，
在圆
上运动且关于圆心
对称，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
14．（2026·广东东莞·二模）若
为单位向量，且
在
上的投影向量为
，下列说法正确的是
（ ）
A．
的夹角为
B．
C．
D．
15．（2026·河北·二模）已知在
中，
，点
为线段
的中
点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．向量
在向量
上的投影向量为
D．若
，且
三点共线，则
16．（2026·四川攀枝花·二模）已知向量
，
，若
在
上的投影向量为
，则
________．
17．（2021·浙江·二模）在梯形ABCD 中，
，
，
，
，若EF
在线段AB 上运动，且EF=1，则
的最小值为______．
有关平面向量的夹角、模的运算
考点3
18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量
，
，且
，则
在
方向上
的数量投影的取值范围为___________
19．（2026·重庆渝中·二模）已知向量
，
，若
，则
在
方向
上的投影向量的坐标是______．
20．（2026·西藏拉萨·二模）在平行四边形
中，已知
，且
．若
为边
中点，点
在边
上且满足
，则
______．
21．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD 边长为2，E 为线段CD 的中点，若AF⊥BE 于F，则
_______.
22．（2026·天津和平·二模）已知边长为3 的正方形
，F 为边
上靠近点B 的三等分点，E
为线段
上一点，M 为线段
上一点，若
，则
__________；若以
为
底边作等腰三角形
，则当点E 在边
上运动时，
的取值范围为__________.
1．（2026·山东德州·二模）已知向量
满足
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
2．（2026·江西上饶·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．
D．
3．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量
与
的夹角为120°，
，则
（ ）
A．3
B．7
C．
D．
4．（2026·山西吕梁·二模）若单位向量
，
满足
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
5．（2026·山西太原·二模）已知
，则向量
与
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·广西河池·二模）已知向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量
，
，均为单位向量，且
，
，两两夹角均为
，
则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
8．（2026·广东广州·二模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·陕西·二模）已知向量
满足
.当
与
的夹角最大时，
（ ）
A．
B．2
C．
D．
10．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系
中，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
，
满足
，
，则
与
的夹角为
________.
有关平面向量的垂直、共线的运算
考点4
12．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知向量
，
为单位向量，且
，若
，则
________．
13．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
满足
，则
_______．
14．（2026·安徽淮北·二模）已知点
，
分别是直线
和圆
上的动点，
，则
的最小值为____________.
15．（2026·湖南怀化·二模）已知圆
的圆心为
，半径为，
，
，
是圆
上的动点，且
，则
的取值范围为________．
16．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O 分别表示复数z，w，0，已知
，
，
，且
，则向量
与
的夹角为______．
17．（2026·江西赣州·二模）已知向量
，
，则
的最大值是________．
18．（2026·浙江宁波·二模）已知点
，
，
在圆
上运动，且
，若点
的坐
标为
，则
的取值范围是________．
19．（2026·江苏盐城·二模）已知向量
满足
，则
取值范围是
_______.
20．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量
在
方向上的投影向量模
长为
，则
___________．
1．（2026·四川广元·二模）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·陕西渭南·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．9
D．11
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量
，
，若
与
同向，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．±3
4．（2026·山东东营·二模）“
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·江西·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南开封·二模）设向量
，
，则（ ）
A．“
”是“
”的充分条件
B．“
”是“
”的充分条件
C．“
”是“
”的必要条件
D．“
”是“
”的充分条件
7．（2026·四川成都·二模）已知平面向量
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．（2026·宁夏银川·二模）已知平面向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
9．（2026·山东济南·二模）已知
为非零向量，则“
与
共线”是“
与
共线”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（2026·四川广安·二模）已知不共线向量
、
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·四川达州·二模）已知向量
，
，则“
”是“
”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（多选）（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量
，且
在
方向的投影向量
为，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
13．（多选）（2025·重庆·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
，
，
14．（2026·广东揭阳·二模）已知
，
，若
，则
______.
15．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量
，
，
，若
，则
的最小值为_______.
平面向量与圆、三角函数等知识的交汇
问题
考点5
1．（2026·辽宁大连·二模）已知点
在直线
上，点
在直线
上，且
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．与
、
的具体值有关
2．（2026·四川成都·二模）已知向量
满足
，
，且
与
的夹角为
，则
为（ ）
A．
B．
C．7
D．21
3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳
，
的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳
下端系着一个秤盘，且
，绳子
受力的大小为40 N，
受力的大小为30 N，则绳
子
受力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量
与
满足
，且
，则
三角形ABC 为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
6．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形
，
为直角顶点，
，
，
，
，若
，
到直线
的距离分别为
和
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆
交于两点
，
，直线与椭圆
切
于点
，若以
，
两点为切点的圆的两条切线交于点
，
为坐标原点，则
（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
8．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形
的边长为2，以B 为圆心的圆与直线
相切，若
点P 是圆B 上的动点，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．4
D．
9．（2026·山东泰安·二模）已知
为圆
上的两个动点，且
，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·四川广元·二模）在
中，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·四川内江·二模）已知过点
的直线与圆
交于
两点，若
，且点
在圆
上，则直线的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
12．（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数
，
是平面内三个不同的单位向量，
若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·浙江金华·期末）如图，圆
的半径为2，
为圆
的直径，
为圆
上的
两点且
.若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
14．（2026·四川绵阳·二模）已知圆C：
，直线与圆C 交于A，B 两点，点P 在
圆C 上，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
15．（多选）（2026·浙江杭州·二模）在
中，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的面积为6
C．
D．
16．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点
，
，
．若点
满足：
，
，则xy 的最大值是________．
17．（2026·安徽淮北·二模）已知点
，
分别是直线
和圆
上的动点，
有关复数的基本概念及几何意义
考点6
，则
的最小值为____________.
18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量
，
，且
，则
在
方向上
的数量投影的取值范围为___________
19．（2026·上海金山·二模）已知在
中，
．若点
为
外接
圆的圆心，则
__________．
1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东东莞·二模）复数
的实部为（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
3．（24-25 高二上·湖北·月考）复数
的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数
，则
在复平面内对应的点在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（2026·河南开封·二模）复数
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
6．（2026·四川凉山·二模）复数
是实数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．0 或1
7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z 是方程
的根,则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
8．（2026·江西南昌·二模）已知复数
满足
，则
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·河南濮阳·二模）已知复数
，则
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·河南南阳·二模）已知复数
在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·广东广州·二模）已知
，复数
在复平面内对应的点在虚轴上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·广东江门·二模）若复数
，
，则
，
在复平面内对应的两点之间的
距离为（ ）
A．
B．2
C．
D．5
13．（多选）（2026·陕西·二模）设复数
满足
，则（ ）
A．
B．存在复数
，使得
为纯虚数
C．存在
，关于
的方程
有解
D．若复数
满足
，则
的最小值为
14．（多选）（2026·吉林长春·二模）已知复数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
的虚部是
B．
在复平面内对应的点在第二象限
C．
D．
15．（多选）（2026·陕西·二模）已知复数
在复平面上对应的点为
，且
满足
，
1 i
1 i
z
z
1
1
i
i
z
5,12
z
z
13
13 i
5
12
13
13 i
5
12
5
12 i
13
13
5
12 i
13
13
aR
i
1 i
a
a
2
1
1
2
1
2
i
z
2
3
i
z
1z
2z
2
5
z
2
2
4 2
z
z
2
z
z
2z
t R
z
2 i
z
t
t
w
1
1
w
z
w
2 2
2
2i
1 i
z
z
i
z
1 i
z
2
z
z
M
z
1
1
2
z
z
有关复数的基本运算
考点7
则（ ）
A．
B．
的轨迹是
C．
到直线
的距离的最大值为
D．
到圆
上点的距离的最大值为
16．（多选）（2026·湖北孝感·二模）已知复数
，其中
，
，为虚数
单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
是
为纯虚数的充要条件
C．若
，则
D．若
，则
的最大值为
17．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数
，则（ ）
A．
B．
C．
在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数
满足
，则
的最大值为
18．（18-19 高二下·重庆·期中）已知复数z 满足
（其中i 为虚数单位），则复数z
的虚部为_____________.
19．（2025·上海黄浦·三模）复数z 满足
（i 是虚数单位），则在复平面内，z 对应的点
在第________象限．
20．（2025·上海·三模）在复平面内，复数
（是虚数单位，
）是纯虚数，其对应
的点为
，
为曲线
上的动点，则
与
之间的最小距离为______．
1
z
M
0
y
M
0
x
y
2
2
M
2
2
5
x
y
5
2
i
1
i
b
a
b
a
z
aR
bR
i
2
i
z
3
a
b
0
b
z
z R
1
a
1
z
a
b
2
3
5i
1 i
z
4
i
z
17
z
z
1
z
17
1
1 2i
3
4i
z
1 i
i
z
0
2i
1 i
a
z
i
R
a
0
Z
Z
1
z
0
Z
Z
1．（2026·河北邢台·二模）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北十堰·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山东聊城·二模）设复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·青海西宁·二模）已知复数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
6．（2026·山东德州·二模）设复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·江苏苏州·二模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
8．（2026·山西太原·二模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
9．（2026·河南南阳·二模）已知复数
在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·江苏镇江·二模）已知复数
，其中是虚数单位，
，则
2
3
4i
z
z
z
1 i
1 i
1 i
1 i
z
3
i
i
1 i
z
z
2
2i
2
2i
2
i
2
i
2026
i
2
i
z
z
1
5
5
5
10
5
2 5
5
2022
2023
2 i
i
z
1
1 i
z
z
1z
10
3 2
17
z
1 i
1
1 i
z
2
z
10
5
2
z
2
2
4i
z
z
z
z
z
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
z
2
|
|
z
2
i
1
z
1
1
z
1
i
i
z
5,12
z
z
13
13 i
5
12
13
13 i
5
12
5
12 i
13
13
5
12 i
13
13
cos
isin
cos
isin
z
i
R
z
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
11．（2026·河南郑州·二模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·陕西咸阳·二模）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（多选）（2025·广东茂名·二模）已知
为关于
的方程
在复数范围
内的一个根，则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
为关于
的方程
的另一个根
14．（多选）（2026·山东日照·二模）设
为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
15．（多选）（2026·广东佛山·二模）设
，
为复数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知
是由复数组成的数列，
（i 为虚数
单位），且
，则（ ）
A．
2
2
2
2026
2
i
i
2
z
z
1
3
2
5
z
2
3
i
z
z
i
z
1 i
1 i
1 i
1 i
2
i
z
x
2
5
0
x
ax
a
R
2
5
z
4
a
5
2
z
2
i
x
2
5
0
x
ax
z
z R
z
z
2z R
z R
2
1
0
z
i
z
(1
i)
1
i
z
|
2
|z
1z
2z
1
2
i
z z
1
2
z
z
1
2
1
z
z
1
2
2
z
z
1
2
i
z
z
nz
2026
1
3 i
n
n
z
z
1
1 i
z
2
1
1 3i
2
z
z
B．
C．
D．若
，则
的最小值为
17．（2026·上海闵行·二模）已知
，若
（其中为虚数单位），则
______.
18．（2026·上海普陀·二模）已知复数z 满足
，其中i 为虚数单位，则
______.
19．（2026·上海静安·二模）设i 是虚数单位，计算：
______．
20．（2026·浙江温州·二模）若i 为虚数单位，则
________．
2
3
3
z
z
1
2
3
4
2026
1013 5
z
z
z
z
z
L
2025
1
z
z
2026
z
z
5
1
C
z
2
|
|
1 i
z
z
i
z
i 1
3i
3
i
z
z
3
1 i
1 i
2
3
10
i
2i
3i
10i
