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专题 08 平面向量、概率、统计、计数原理
平面向量
1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）已知单位向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·统考一模）已知向量 满足 ，则 ．
3．（2024·福建厦门·统考一模）已知 ， 为单位向量，若 ，则 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南曲靖·统考一模）若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量坐
标为 ．
5．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）若 ，则实数
（ ）
A．6 B． C．3 D．
6．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
7．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知向量 ．若 ，
则实数 的值为 ．
8．（2024·山西晋城·统考一模）已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为
．
9．（2024·河北·校联考一模）已知单位向量 满足 ，则 .
10．（2024·广东深圳·校考一模）已知向量 ，且 ，则m=
A．−8 B．−6
C．6 D．8
11．（2024·浙江·校联考一模）已知平面向量 满足： 与 的夹角为 ，若
，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知向量 满足 与 垂直，则
的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．3
概率
13．（2024·广东深圳·校考一模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为
，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．14．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量 的概率分布直观图，其中
，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量 （单位：小时），且
， ．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总
时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
16．（2024·河北·校联考一模）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，
促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教
育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率
为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2
个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 ， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；
再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A． ， 互斥 B． C． D．
18．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知某人每次投篮的命中率为 ，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则 的最大值为 ．
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）某饮料厂生产 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生
产比例分别为 ，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为 ，若从该厂生产的饮
料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
20．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知 ，若 ， ，则
B．数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 分位数为
C．已知 ，若 ，则
D．某校三个年级，高一有 人，高二有 人.现用分层抽样的方法从全校抽取 人，已知
从高一抽取了 人，则应从高三抽取 人.
21．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化
体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时
间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分
者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 .
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
22．（2024·广东深圳·校考一模）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数
为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
23．（2024·辽宁沈阳·统考一模）某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服
务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家
公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如
下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为 ，选择乙公司的频率为 ：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为
；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 ，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率
为 ；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为 ，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为
.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对
哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
24．（2024·云南曲靖·统考一模）2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．
树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用 局 胜制 的比
赛规则，即先赢下 局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
比赛结束时，甲最终获胜的概率 ．
(1)若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 ，求 的取值范围．
25．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受
智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有 的概率
闪黄光；若某次闪黄光，则下次有 的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有 的概率闪红光.已
知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第 次闪光为红光的概率.
26．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，
5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事
件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立
27．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）在工业生产中轴承的直径服从 ，购买者要求直
径为 ，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在 之内，则 至少为
；（若 ，则 ）
28．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，
他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一
的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 ，没有思路的
题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024·山西晋城·统考一模）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，
统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：
果籽数
1 2 3 4
量
水果数 100 50 40 10
(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．
(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如
下表所示：
果籽数量 1 2 3 4
价格/元 20 12 8 6
以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，
从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为 元，求 的分布列与数学期望．
31．（2024·山西晋城·统考一模）某羽毛球超市销售4种品牌（品牌 ， ， ， ）的羽毛球，
该超市品牌 ， ， ， 的羽毛球的个数的比例为 ，品牌 ， ， ， 的羽毛球的
优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌
的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽
毛球的品牌为 （填入 ， ， ， 中的1个）．
32．（2024·河北·校联考一模）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成
功概率为 ．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，
则继续试验，且最多试验8次．记 为试验结束时所进行的试验次数， 的数学期望为 ．
(1)证明： ；
(2)某公司意向投资该产品，若 ，每次试验的成本为 元，若试验成功则获利 元，
则该公司应如何决策投资？请说明理由．
33．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产
业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅
游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备
从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，
全是私家游团队的概率为 .
(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队
的概率；
(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
34．（2024·吉林延边·统考一模）“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障
碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5
局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开
球……），没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 ，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.
(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为 ，写出随机变量 的分布列并求其数学期望 .
35．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球
3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第 次都摸到红球的概率为 ；第1次摸到红球的概率为 ；在第1次摸到红球的条件下，
第2次摸到红球的概率为 ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为 .求
；
(3)对于事件 ，当 时，写出 的等量关系式，并加
以证明.
36．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好
者 将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中
放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不
放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好
者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均
摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．
(1)求 三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
统计
37．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 个村的得
分如下： ，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A． B． C． D．
38．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A．90 B．91 C．90.5 D．92
39．（2024·河北·校联考一模）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的
平均数为 ，方差为 ，乙组数据的平均数为 ，方差为 ．若将这两组数据混合成一组，则新的一
组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知一组数据： ，若去掉12
和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A．中位数不变 B．平均数不变
C．方差不变 D．第40百分位数不变
41．（2024·重庆·统考一模）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着
陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生
成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）
A． B．
C． D．
42．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，
23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同43．（2024·广东深圳·校考一模）某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（万件） 50 96 142 185 227
若 与 线性相关，其线性回归方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程必过 B．
C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件
44．（2024·浙江·校联考一模）为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数 与所用
时间 （单位： ）的5组数据为： ，根据以上数据可
得经验回归方程为： ，则（ ）
A．
B．回归直线 必过点
C．加工60个零件的时间大约为
D．若去掉 ，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
45．（2024·云南曲靖·统考一模）已知变量 关于 的回归方程为 ，若对 两边取
自然对数，可以发现 与 线性相关．现有一组数据如下表所示：
1 2 3 4 5
则当 时，预测 的值为（ ）
A． B． C． D．
46．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长
过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查
了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率
分布直方图：
(1)求 的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组
区间的中点值作代表）；
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校
学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
47．（2024·重庆·统考一模）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动
汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售
情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
编号x 1 2 3 4 5 6
产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80
(1)若用模型 拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到
0.01）；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买
燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为
X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据： ，其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率截距的最小二乘估计分别为 ．
48．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比
赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如
表所示：
喜欢篮
不喜欢篮球 合计
球
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢
篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投
进的概率均为 ，这名女生投进的概率为 ，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进
总次数 的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
计数原理
49．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，小明从街道的 处出发，到 处的老年公寓参加志愿者活
动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）A．8 B．12 C．16 D．24
50．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著
作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法
有 种．
51．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，
最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机
器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿
者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，
则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
52．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）某中学进行数学竞赛选拔考试， ， ， ， ，
共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次. 和 去向教练询问比赛结果，教练对 说：
“你和 都没有得到冠军．”对 说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方
式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
53．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎
举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女
生，则志愿者中至少有2名女生的选法有 种（用数字作答）.
54．（2024·辽宁沈阳·统考一模） 的展开式中常数项的二项式系数为 .
55．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在二项式 的展开式中，常数项为 ．
56．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）已知多项式
，则 .57．（2024·山西晋城·统考一模）若 的展开式存在常数项，则常数项为（ ）
A． B．35 C． D．21
58．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
59．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知 （ 为常数）的展开式中所有
项的系数和为32，则展开式中 的系数为 ．（用数字作答）．
60．（2024·河北·校联考一模）已知二项展开式 ，下列说法正确的有（ ）
A． 的展开式中的常数项是
B． 的展开式中的各项系数之和为
C． 的展开式中的二项式系数最大值是
D． ，其中 为虚数单位
