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2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）＋3（多选题）＋3
（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及
集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。
预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题
型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如
本卷第19题。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．已知样本数据 的平均数和标准差均为4，则数据
的平均数与方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知样本数据 的平均数和标准差均为4，则 的方
差为16，
则 的平均数为 ，方差为 ，
故 的平均数为 ，方差 ，
故选：B
2．已知向量 ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量的模长
为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以向量 在向量 上的投影向量的模的值为 ，
故选：C.
3．已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在等比数列 中， ，所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，
设等比数列 的公比为 ，则 ，
所以 ，所以 .
故选：B．
4．已知三棱锥 中， ，三棱锥 的体积为
，其外接球的体积为 ，则线段 长度的最大值为（ ）
A．7 B．8 C． D．10
【答案】C
【详解】因为球的体积为 ，所以球的半径 满足 ，可得 ；
又 ，因此 ，即 ，此时；
设点 到平面 的距离为 ，则 ，可得 ，
因为 在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为 ，当 与平面 平行时， 有
最大值；
设球心到平面 的距离为 ，而 的外心即为 的中点，外接圆的半径为
，
则 ，故球心到平面 的距离为 ，
可知截面圆半径为 ；
设 在平面 上的射影为 ，则 的轨迹为圆，如下图所示：
设该圆圆心为 ，则当 三点共线时且点 在 中间时， 最长，
此时 ，故线段 长度的最大值为 .
故选：C
5．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､
蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件
不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光
来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）
A．60种 B．68种 C．82种 D．108种
【答案】D
【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，
所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有 种方法，且不同颜色数有 种，
所以这排电子元件能表示的信息种数共有 种.
故选：D
6．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由指数函数与对数函数的性质可得， ，
， ，
所以 ，
故选：A.
7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为
当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898
年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流 之间关系的经验公式：
，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的
条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为
，则该蓄电池的Peukert常数 约为（参考数据： ， ）
（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
【答案】D
【详解】由题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以 ，故选：D.
8．已知双曲线 与抛物线 ，抛物线 的准
线过双曲线 的焦点 ，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为点 ，延
长 与抛物线 相交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线的焦距为 ，
抛物线 的准线过双曲线 的焦点 ，
，
又 到 的距离 ，即 ，
， ，
，则 ，
，得 ，
过 作 轴，则 ，
故 ，
因此
由于 在抛物线 上，所以即
，，故 ，
故 ．故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 （ 为虚数单位），则
B．若复数 满足 ，则
C．若 ，则 或
D．若复数 满足 ，则复数 对应点的集合是以坐标原点 为中心，
焦点在 轴上的椭圆
【答案】ABC
【详解】解：复数 ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
设 ，若复数 满足 ，
则 ，即 ，所以 ，故选项B正确；
设 ， ，
则 ．
因为 ，且 ，所以 ．
若 ，则 ，所以 或 ，故选项C正确；
由复数 满足 ，则复数 对应点的集合是一条线段，故选项D错误．
故选：ABC
10．设直线系 （其中0，m，n均为参数， ，
），则下列命题中是真命题的是（ ）
A．当 ， 时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切
B．存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当 时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系M中所有直线的距离不
小于1，则
【答案】ABD
【详解】A选项，当 ， 时， ，
设圆为 ，则圆心 到直线 的距离
，故 与 总相切，A正确；
B选项，当 时， ，
由于 ，故直线 恒过 ，
若 时，直线为 ，
若 时，直线 的斜率为 ，
故直线 不过第三象限，
所以存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B正确；
C选项，当 时， ，坐标原点到直线系M的距离为 ，
当当 时， ，
坐标原点到直线系M的距离为
其中 ，
故 ，C错误.
D选项，当 ， 时， ，
点 到直线系M中所有直线的距离 ，
化简得 恒成立，
由于 ，
若 ，解得 ，
当 时， ，不合要求，舍去，
当 时， ，满足要求，
若 ，即 或 ，此时 的最小值为0，
则 ，解得 ，故此时 ，
若 ，即 ，此时 的最小值为 ，
则 ，解得 或 ，故此时 ，
综上， ，D正确.
故选：ABD
11．如图所示，一个圆锥 的底面是一个半径为 的圆， 为直径，且
，点 为圆 上一动点（异于 ， 两点），则下列结论正确的是
（ ）A． 的取值范围是
B．二面角 的平面角的取值范围是
C．点 到平面 的距离最大值为
D．点 为线段 上的一动点，当 时，
【答案】BD
【详解】由已知 ， ，且 ，
在 中，由余弦定理可知， ，
即 ，解得 ，则
A选项：点 为圆 上一动点（异于 ， 两点），
则 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，A选项错误；
B选项：取 中点 ，连接 ， ，则 ， ， 且 ，
，
则二面角 的平面角为 ，所以 ，
所以 ，B选项正确；
C选项：由已知 ，
又 ，
则三棱锥 的体积 ，
设点点 到平面 的距离为 ，
则 ，
则 ，C选项错误；
D选项：当 时， ， ，
则 为等腰直角三角形， 为等边三角形，
将平面 绕 至 ，使 与 共面，
如图所示，
则 ，
在 中， ，
由余弦定理可知 ，
所以 ，D选项正确；
故选：BD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】集合 ，
又 ，且 ，
故可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
13．已知三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，四边形 为
菱形， ，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，
则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】解法一 连接 ， ，记 ，则 .
连接 ， ，则 ，故 为 外接圆的圆心.
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以点 在 的外接圆上．
连接 ，因为 为等边三角形，所以 ， .
由平面 平面 ，知平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 .解法二 连接 ， ，则 为正三角形， ，故 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得 ， ， ， ， ， ，
由 为等边三角形，则 的外接圆圆心为 .
设三棱锥 的外接球的球心为 ，连接 ， ， ，
则 平面 ，又 平面 ，所以 .
设 ，由 ，可得
，解得 ，因此球心 ，故外接球半径 ，
故三棱锥 的外接球的表面积 .
故答案为：
14．已知对任意 ，且当 时，都有： ，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为对任意 ，且当 时 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立①，
令 ，
由①式可得 ，所以 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，又 ，当且仅当 ，即 时
取等号，
.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在 中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且 .
(1)求c的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1） ，
，
，解得 ，
.
（2）由余弦定理可得 ，又 ，
， .
（3）因为 ，
所以 .
16．（15分）如图，在三棱锥 中， 为 边上的一点，
， ， ， .(1)证明： 平面 ；
(2)设点 为边 的中点，试判断三棱锥 的体积是否有最大值？如果有，请求
出最大值；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ，由射影定理得 ，
所以 ，由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，即 ，
又因为 ， ，
所以 平面 ；
（2）因为点 为边 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为 为定值，
当h最大时，所以三棱锥 的体积最大，
而 ，则 ，当h=1时， .
17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生
开放了 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适
当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､
乙､丙该周选择 健身中心健身的概率分别为 ，求这三人中这一周恰好有一人
选择 健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身
中心的其中一个，其中周六选择 健身中心的概率为 .若丁周六选择 健身中心，则
周日仍选择 健身中心的概率为 ；若周六选择 健身中心，则周日选择 健身中心
的概率为 .求丁周日选择 健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数 来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规
定 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一
人，其 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生
不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生
为止，但抽取的总次数不超过 .若抽取次数的期望值不超过23，求 的最大值.
参考数据： .
【答案】(1) ；(2) ；(3)30.
【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择 健身中心健身的概率
.
（2）记事件 ：丁周六选择 健身中心，事件 ：丁周日选择 健身中心，
则 ，由全概率公式得 .
故丁周日选择 健身中心健身的概率为 .
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为 ，
则 ，
设抽取次数为 ，则 的分布列为
1 2 3
故 ，
又
，
两式相减得 ，
所以
，
而 在 时单调递增，
可知当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
若抽取次数的期望值不超过23，则 的最大值为30.
18．（17分）已知椭圆 的上下顶点分别为 ，左右顶点分别为 ，四边形 的面积为 ，若椭圆 上的点到右焦点距离的最大值和
最小值之和为6.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 交于 （异于 ）两点，设直线 与
直线 交于点 ，证明：点 在定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）设右焦点坐标为 ，椭圆 上的一点 ，则 ，
故 ，即 ，
则 到右焦点的距离
，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
即椭圆 上的点到右焦点距离的最大值为 ，最小值为 ，
故 ，解得 ，
又四边形 的面积为 ，
故 ，所以 ，
椭圆方程为 ；（2）当过点 且斜率不存在时，直线 方程为 ，
中，令 得， ，
不妨设 ，
直线 ，即 ，
同理可得 ，
联立 得， ，故点 在直线 上，
当过点 的直线斜率存在且不为0时，设直线 方程设为 ，
联立 得 ，
设 ，则 ，
两式相除得 ，
直线 ，直线 ，
联立 得， ，
故 ，
解得 ，
将 代入上式中，得 ，
要想 恒成立，则 ，
故点 在定直线 上，综上，点 在定直线 上.
19．（17分）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集
.若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义
的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要
求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的
最大数与最小数.
【答案】(1)集合 是理想数集，集合 不是理想数集(2)证明见解析(3)1024144
【详解】（1）设 的随影数集分别为 ，
则 ，
所以集合 是理想数集，集合 不是理想数集.
（2）不妨设集合 且 ，即 .
为理想数集， ，则 ，且 ，使得
.
当 时，当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 时，等号成立.
综上所述： .
（3）设 .
为理想数集.
，且 ，使得 .
对于 ，同样有 .
下先证对 元理想数集 ，有 .
不妨设集合 中的元素满足 .即 .
为理想数集，
，且 ，使得 .
当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；当 时，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 时，等号成立.
.
.当且仅当 时，等号成立.
.
理数 .
当且仅当 或 时，等号成立.
理数 的最小值为 .
