1
2026高考数学核心二级结论速记指南
目录
二级结论背记01
集合5
二级结论背记
1. 德摩根公式5
2. 容斥定理之集合中元素个数5
二级结论背记02
复数5
1. 复数的模5
二级结论背记03
平面向量5
1. 爪子定理5
2. 爪平面向量的系数和(等和线) (等值线)5
3. 极化恒等式6
4. 奔驰定理7
(1) 奔驰定理的证明7
(2) 奔驰定理的推论及四心问题8
04
不等式与基本不等式8
1. 基本不等式链8
2. 权方和不等式的二维形式9
3. 糖水不等式定理9
4. 糖水不等式的倒数形式: 9
5. 对数型糖水不等式9
二级结论背记05
三角函数与三角恒等变换9
1. 常见三角不等式9
2. 半角公式9
3. 万能公式10
4. 和差化积与积化和差公式10
二级结论背记06
解三角形10
1. 常见三角恒等式10
2. 常见平面几何结论10
3. 三角形中常见不等式10
4. 内切圆半径10
5. 海伦- 秦九韶公式10
6. 海伦- 秦九韶公式推广11
7. 三倍角公式11
8. 射影定理11
9. 角平分线定理11
10. 张角定理11
11. 倍角定理11
12. 中线长定理12
13. 三角恒等式12
2
二级结论背记07
函数的基本性质12
1. 周期性(差为常数有周期) 12
2. 对称性(和为常数有对称轴)13
(1) 轴对称13
(2) 点对称13
3. 周期性对称性综合问题13
4. 奇偶性对称性综合问题13
5. 与指数函数相关的奇函数和偶函数13
6. 与对数函数相关的奇函数和偶函数13
7. 奇函数+ 常函数13
二级结论背记08
导数14
1. 几个常用极限14
2. 两个重要的极限14
3. 函数极限的四则运算法则14
4. 常用的近似计算公式14
5. 二阶导的定义14
6. 函数极值的第二判定定理15
7. 曲线的凹凸性15
8. 曲线的拐点15
9. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式15
10. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式16
11. 恒成立问题常见类型17
12. 能成立(有解) 问题常见类型17
13. 端点效应的类型17
14. 洛必达法则：17
15. 常见的指对放缩18
16. 常见的三角函数放缩18
17. 其他放缩18
18. 放缩程度综合18
19. 常见函数的泰勒展开式19
20. 常见函数的泰勒展开式的结论19
21. 极值点偏移的含义20
22. 极值点偏移问题的一般题设形式21
23. 极值点偏移的判定定理21
24. 对数平均不等式22
25. 拉格朗日(Lagrange) 中值定理23
二级结论背记09
数列24
1. 等差数列任意前n 项和的关系24
2. 等比数列任意前n 项和的关系24
3. 数列不动点24
3
4. 错位相减- -- 万能公式求和24
5. 通项公式的构造24
二级结论背记10
立体几何25
1. 内切球体积25
2. 三垂线法求二面角25
3. 垂面法求二面角25
4. 射影面积法求二面角25
5. 三余弦定理26
6. 三射线定理26
7. 空间两点间的距离公式26
8. 点Q 到直线l 距离26
9. 异面直线间的距离26
10. 点B 到平面α 的距离26
11. 异面直线上两点距离公式26
12. 欧拉定理(欧拉公式)27
13. 球的组合体27
二级结论背记11
解析几何(直线与圆+ 圆锥曲线) 27
1. 点关于线对称的一般性结论27
2. 直径端点圆的方程27
3. 解析几何中的切线方程27
4. 解析结合中的切点弦方程28
5. 相切的条件28
6. 斜率关系28
7. 常见不等式28
8. 椭球体积28
9. 纵坐标之和28
10. 渐近线围成的四边形面积28
11. 帕斯卡定理28
12. 斜率定值29
13. 椭圆和双曲线的结论汇总29
14. 补充结论1 31
15. 抛物线的结论32
16. 补充结论2 32
二级结论背记12 排列组合、二项式定理、概率统计33
1. 二项式系数的性质33
2. 二项式系数和33
3. 单条件排列34
4. 分配问题34
5.“错位问题”及其推广35
6. 不定方程的解的个数35
4
7. 数学期望的性质35
8. 方差的性质35
9. 方差与期望的关系36
10. 正态分布密度函数36
5
二级结论背记01
集合
1. 德摩根公式
CU A∩B
= CUA
∪CUB
CU A∪B
= CUA
∩CUB
2. 容斥定理之集合中元素个数
card A∪B
= card A
+ card B
- card A∩B
card A∪B∪C
= card A
+ card B
+ card C
- card A∩B
- card A∩C
- card B∩C
+
card A∩B∩C
二级结论背记02
复数
1. 复数的模
已知z1= a + bi(a,b ∈R)，z2= c + di(c,d ∈R) 且(c2+ d2≠0)，
则z1
z2
= z1
z2
=
a2+b2
c2+d2 (c2+ d2≠0)，z1⋅z2
= z1
⋅z2
=
a2+b2 ⋅
c2+d2
二级结论背记03
平面向量
1. 爪子定理
形如AD
= xAB
+ yAC
“爪”字型图及性质：
(1) 已知AB
,AC
为不共线的两个向量，则对于向量AD
，必存在x,y，使得AD
= xAB
+ yAC
。则B,C,D 三点共线⇔x + y = 1
当0 < x + y < 1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间
当x + y > 1，则D 与A 位于BC 两侧
x + y = 1 时，当x > 0,y > 0，则D 在线段BC 上；当xy < 0，则D 在线段BC 延长线上
(2) 已知D 在线段BC 上，且BD
: CD
= m:n，则AD
=
n
m+n AB
+
m
m+n AC
2. 爪平面向量的系数和(等和线) (等值线)
如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB，由平面向量基本定理知：
存在x,y ∈R，使得OP
= xOA
+ yOB
6
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x + y 的值
①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP
= λAB
而AB
= OB
- OA
，所以OP
= λOB
- λOA
，于是x + y = λ - λ = 0
②若P ∉l 时，
(i) 如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB，交射线OA，OB 于C,D 两点，则
ΔOCD ∼ΔOAB，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k
由P,C，D 三点共线可知：存在λ ∈R 使得：
OP
= λOC
+ (1 - λ)OD
= kλOA
+ k(1 - λ)OB
所以x + y = kλ + k(1 - λ) = k
(ii) 当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1 作P 关于O 的对称点P，由(i) 的分
析知：存在存在λ ∈R 使得：
OP
= λOC
+ (1 - λ)OD
= kλOA
+ (1 - λ)OB
所以OP
=-kλOA
+- (1 - λ)OB
于是x + y =-kλ +- k(1 - λ) =-k
综合上面的讨论可知：图中OP
用OA
,OB
线性表示时，其系数和x + y 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为
三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l，设
点P 在l上的射影为P，直线l交直线AB 于点P1，则|k| = |OP|
|OP1|
(k 的符号由点P 的位置确定)，因此
只需求出|OP| 的范围便知x + y 的范围
3. 极化恒等式
a⋅b= (a+b)2-(a-b)2
4
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
7
1
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中, AB
= a,AD
= b
则a⋅b= (AB
+AD
)2-(AB
-AD
)2
4
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点, 则对于三角形来说:
a⋅b= (AB
+AD
)2-(AB
-AD
)2
4
= |AM
|2- |DB
|2
4
4. 奔驰定理
如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S△PBC ⋅OA
+ S△PAC ⋅OB
+ S△PAB ⋅OC
= 0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
(1) 奔驰定理的证明
如图：延长OA 与BC 边相交于点D
则BD
DC = S△ABD
S△ACD
= S△BOD
S△COD
= S△ABD-S△BOD
SACD-S△COD
= S△AOB
S△AOC
OD
= DC
BC OB
+ BD
BC OC
=
S△AOC
S△AOC+S△AOB
OB
+
S△AOB
S△AOC+S△AOB
OC
8
∵OD
OA = SBOD
SBOA
= SCOD
SCOA
= SBOD+SCOD
SBOA+SCOA
=
S△BOC
S△AOC+S△AOB
∴OD
=-
S△BOC
S△AOC+S△AOB
OA
∴-
S△BOC
S△AOC+S△AOB
OA
=
S△AOC
S△AOC+S△AOB
OB
+
S△AOB
S△AOC+S△AOB
OC
∴S△BOC ⋅OA
+ S△AOC ⋅OB
+ S△AOB ⋅OC
= 0
(2) 奔驰定理的推论及四心问题
推论O 是△ABC 内的一点, 且x ⋅OA
+ y ⋅OB
+ z ⋅OC
= 0, 则S△BOC:S△COA:S△AOB = x:y:z
有此定理可得三角形四心向量式
(1) 三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
(2) 三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
(3) 三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
(4) 三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆
心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有
着决定性的基石作用.
已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：
①若O 为△ABC 的重心，则OA
+ OB
+ OC
= 0；
②若O 为△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA
+ sin2B ⋅OB
+ sin2C ⋅OC
= 0；或OA
=
OB
=
OC
③若O 为△ABC 的内心，则a ⋅OA
+ b ⋅OB
+ c ⋅OC
= 0；备注：若O 为△ABC 的内心，则sinA ⋅OA
+
sinB ⋅OB
+ sinC ⋅OC
= 0也对.
④若O 为△ABC 的垂心，则tanA ⋅OA
+ tanB ⋅OB
+ tanC ⋅OC
= 0，或OA
⋅OB
= OB
⋅OC
= OC
⋅
OA
二级结论背记04
不等式与基本不等式
1. 基本不等式链
9
2
1
a + 1
b
≤
ab ≤a+b
2
≤
a2+b2
2
拓展：m > n 时，em+en
2
> em-en
m-n > e
m+n
2
2. 权方和不等式的二维形式
若a,b,x,y > 0 则a2
x + b2
y ≥(a+b)2
x+y
当且仅当a
x = b
y
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
3. 糖水不等式定理
若a > b > 0,m > 0, 则一定有b+m
a+m > b
a
通俗的理解: 就是a 克的不饱和糖水里含有b 克糖, 往糖水里面加入m 克糖, 则糖水更甜;
4. 糖水不等式的倒数形式:
设a > b > 0,m > 0, 则有: a
b > a+m
b+m
5. 对数型糖水不等式
(1) 设n ∈N+, 且n > 1, 则有logn+1n < logn+2(n + 1)
(2) 设a > b > 1,m > 0, 则有logab < loga+m(b + m)
(3) 上式的倒数形式：设a > b > 1,m > 0, 则有logba > logb+m(a + m)
二级结论背记05
三角函数与三角恒等变换
1. 常见三角不等式
(1) 若x ∈0, π
2
，则sinx < x < tanx.
(2) 若x ∈0, π
2
，则1 < sinx + cosx ≤
2.
(3)|sinx| +|cosx| ≥1.
2. 半角公式
(1)sin α
2 =±
1-cosα
2
.
10
(2)cos α
2 =±
1+cosα
2
.
(3)tan α
2 =±
1-cosα
1+cosα =
sinα
1+cosα = 1-cosα
sinα
.
以上称之为半角公式，符号由α
2 所在象限决定．
3. 万能公式
sinx =
2tan x
2
1+tan2 x
2
cosx =
1-tan2 x
2
1+tan2 x
2
tanx =
2tan x
2
1-tan2 x
2
4. 和差化积与积化和差公式
sinα + sinβ = 2sin α+β
2
cos α-β
2
sinα - sinβ = 2cos α+β
2
sin α-β
2
cosα + cosβ = 2cos α+β
2
cos α-β
2
cosα - cosβ = 2sin α+β
2
sin α-β
2
2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A - B)
2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B)
2sinAsinB = cos(A - B) - cos(A + B)
二级结论背记06
解三角形
1. 常见三角恒等式
在任意△ABC 内，都有tanA + tanB + tanC = tanA·tanB·tanC
推论：在△ABC 内，若tanA + tanB + tanC < 0，则△ABC 为钝角三角形
2. 常见平面几何结论
平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
3. 三角形中常见不等式
在锐角三角形中sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC
4. 内切圆半径
在Rt△ABC 中，C 为直角，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则△ABC 的内切圆半径为a+b-c
2
5. 海伦- 秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
11
则三角形的面积为S =
p(p-a)(p-b)(p-c)
其中p = a+b+c
2
，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
S =
1
4
a2b2- a2+b2-c2
2
2
6. 海伦- 秦九韶公式推广
已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如
27 ，28 ，29)
A + B = x2
B + C = y2
C + A = z2
2S =
A⋅B+B⋅C+C⋅A
7. 三倍角公式
sin3α = 3sinα - 4sin3α，
cos3α = 4cos2α - 3cosα
8. 射影定理
a = bcosC + ccosB，b = acosC + ccosA，c = acosB + bcosA
9. 角平分线定理
(1) 在ΔABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有AB
BD = AC
CD
(2)AD =
2b×c×cos ∠BAC
2
b+c
(3)AD2= AB × AC - BD × CD(库斯顿定理)
(4) AB
AC = S△ABD
S△ACD
10. 张角定理
sinβ
AB + sinα
AC = sin(α+β)
AD
11. 倍角定理
在△ABC 中, 三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,
(1) 如果A = 2B, 则有:a2= b2+ bc
(2) 如果C = 2A, 则有:c2= a2+ ab
(3) 如果B = 2C, 则有:b2= c2+ ac
倍角定理的逆运用
12
在△ABC 中, 三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,
(1) 如果a2= b2+ bc, 则有:A = 2B。
(2) 如果c2= a2+ ab, 则有:C = 2A。
(3) 如果b2= c2+ ac, 则有:B = 2C。
12. 中线长定理
AD 为BC 的中线, 则中线定理:AB2+ AC2= 2 AD2+DC2
证明:
在△ABD 和△ADC 中, 用余弦定理有:
AD2+BD2-AB2
2AD⋅BD
+ AD2+DC2-AC2
2AD⋅DC
=0
BD=DC
⇒AB2+ AC2= 2 AD2+DC2
13. 三角恒等式
在ΔABC 中，
①sinA + sinB + sinC = 4cos A
2 cos B
2 cos C
2 ；
②cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin A
2 sin B
2 sin C
2 ；
③sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC；
④cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC；
⑤sin2 A
2 + sin2 B
2 + sin2 C
2 = 1 - 2sin A
2 sin B
2 sin C
2 ；
⑥cos2 A
2 + cos2 B
2 + cos2 C
2 = 2 + 2sin A
2 sin B
2 sin C
2 ；
⑦cotA ⋅cotB + cotA ⋅cotC + cotB ⋅cotC = 1；
⑧cot A
2 + cot B
2 + cot C
2 = cot A
2 cot B
2 cot C
2 ；
⑨tan A
2 tan B
2 + tan B
2 tan C
2 + tan C
2 tan A
2 = 1；
二级结论背记07
函数的基本性质
1. 周期性(差为常数有周期)
13
①若f x+a
= f x
，则f x
的周期为：T = a
②若f x+a
= f x+b
，则f x
的周期为：T = a-b
③若f x+a
=-f x
，则f x
的周期为：T = 2a
(周期扩倍问题)
④若f x+a
=±
1
f x
，则f x
的周期为：T = 2a
(周期扩倍问题)
2. 对称性(和为常数有对称轴)
(1) 轴对称
①若f x+a
= f -x
，则f x
的对称轴为x = a
2
②若f x+a
= f -x+b
，则f x
的对称轴为x = a+b
2
(2) 点对称
①若f x+a
=-f -x
，则f x
的对称中心为
a
2 ,0
②若f x+a
+ f -x+b
= c，则f x
的对称中心为
a+b
2
, c
2
3. 周期性对称性综合问题
①若f a+x
= f a-x
，f b+x
= f b-x
，其中a ≠b，则f x
的周期为：T = 2 a-b
②若f a+x
=-f a-x
，f b+x
=-f b-x
，其中a ≠b，则f x
的周期为：T = 2 a-b
③若f a+x
= f a-x
，f b+x
=-f b-x
，其中a ≠b，则f x
的周期为：T = 4 a-b
4. 奇偶性对称性综合问题
①已知f x
为偶函数，f x+a
为奇函数，则f x
的周期为：T = 4 a
②已知f x
为奇函数，f x+a
为偶函数，则f x
的周期为：T = 4 a
5. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f(x) = ax+ a-x，(a > 0，且a ≠1) 为偶函数，
f(x) = ax- a-x，(a > 0，且a ≠1) 为奇函数
f(x) = ax-1
ax+1 和f(x) = ax+1
ax-1 ，(a > 0，且a ≠1) 为其定义域上的奇函数
f(x) = 1 -
2
ax+1 和f(x) = 1 +
2
ax-1 ，(a > 0，且a ≠1) 为其定义域上的奇函数
f(x) = a x
为偶函数
6. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
f(x) = loga( 1+b2x2 ± bx)，(a > 0 且a ≠1) 为奇函数，
f(x) = loga b±cx
b∓cx ，(a > 0 且a ≠1) 为奇函数
7. 奇函数+ 常函数
14
在定义域内，若F x
= f x
+ A，其中f x
为奇函数，A 为常数，有f a
+ f -a
= 2A
即f a
+ f -a
= 2 倍常数
二级结论背记08
导数
1. 几个常用极限
(1)lim
n→∞
1
n = 0，lim
n→∞an= 0(|a| < 1)；
(2)lim
x→x0x = x0，lim
x→x0
1
x = 1
x0
.
2. 两个重要的极限
(1)lim
x→0
sinx
x
= 1；
(2)lim
x→∞1+ 1
x
x
= e(e = 2.718281845 ⋯).
3. 函数极限的四则运算法则
若lim
x→x0 f(x) = a，lim
x→x0g(x) = b，则
(1)lim
x→x0 f x
±g x
= a ± b；
(2)lim
x→x0 f x
⋅g x
= a ⋅b;
(3)lim
x→x0
f x
g x
= a
b
b≠0
.
4. 常用的近似计算公式
(当x
足够小时)
(1) 1+x ≈1 + 1
2 x; n 1+x ≈1 + 1
n x；
(2) (1 + x)α≈1 + αx(α ∈R)；
1
1+x ≈1 - x；
(3)ex≈1 + x；
(4)ln(1 + x) ≈x；
(5)sinx ≈x(x 为弧度)；
(6)tanx ≈x(x 为弧度)；
5. 二阶导的定义
定义1 : 若函数f(x) 的导函数f(x) 在点x = x0 处可导, 则称f(x) 在点x = x0 的导数为f(x) 在点x
= x0的二阶导数, 记作fx0
, 同时称f(x) 在点x = x0为二阶可导.
定义2: 若f(x) 在区间M 上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在M 上的二阶可导函数, 记作f
15
(x),x ∈M,x ∈I
6. 函数极值的第二判定定理
若f(x) 在x = x0附近有连续的导函数f(x), 且fx0
= 0,fx0
≠0
(1) 若fx0
< 0, 则f(x) 在点x0处取极大值;
(2) 若fx0
> 0, 则f(x) 在点x0处取极小值
7. 曲线的凹凸性
设函数y = f x
在区间
a,b
内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方, 则称曲线
在
a,b
内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方, 则称曲线在
a,b
内是凸的。
从图象上来看, 曲线段向上弯曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数y = f(x) 在(a,b) 内具有二阶导数, 如果在(a,b) 内fn x0
> 0, 那么对应的曲线在(a,b)
内是凹的, 如果在(a,b)) 内f n x0
< 0, 那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的设y = f(x) 在区间
M 上连续, 如果对M 上任意两点x1,x2, 恒有f x1+x2
2
< 1
2
f x1
+ f x2
则称y = f(x) 在M 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有f x1+x2
2
> 1
2
f x1
+ f x2
则称y = f(x) 在M 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
8. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使fn x0
= 0 的点, 但是使fn x0
= 0 的点
不一定都是拐点。
9. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式
16
设y = ex上任一点P 的横坐标为m，则过该点的切线方程为y - em = em x-m
，即y = em x+1
-
mem，由此可得与ex有关的不等式：ex≥em x+1
- mem，其中x ∈R，m ∈R，等号当且仅当x = m 时
成立．特别地，当m = 0 时，有ex≥1 + x；当m = 1 时，有ex≥ex．
设y = lnx 上任一点Q 的横坐标为n，则过该点的切线方程为y - lnn = 1
n x-n
，即y = 1
n x - 1 +
lnn，由此可得与lnx 有关的不等式：lnx ≤1
n x - 1 + lnn，其中x > 0，n > 0，等号当且仅当x = n 时成
立．特别地，当n = 1 时，有lnx ≤x - 1；当n = e 时，有lnx ≤1
e x．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
10. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式
由图1 可得lnx ≥x-1
x
；
由图2 可得lnx ≥- 1
ex ；
由图3 可得，lnx ≤2 x-1
x+1
(0 < x ≤1)，lnx ≥2 x-1
x+1
(x ≥1)；
由图4 可得，lnx ≥1
2
x- 1
x
(0 < x ≤1)，lnx ≤1
2
x- 1
x
(x ≥1)．
综合上述两种生成，我们可得到下列与ex、lnx 有关的常用不等式：
与ex有关的常用不等式：
(1)ex≥1 + x(x ∈R)；
(2)ex≥ex(x ∈R)．
与lnx 有关的常用不等式：
(1) x-1
x
≤lnx ≤x - 1(x > 0)；
(2) - 1
ex ≤lnx ≤1
e x(x > 0)；
(3)lnx ≤2 x-1
x+1
(0 < x ≤1)，lnx ≥2 x-1
x+1
(x ≥1)；
(4)lnx ≥1
2
x- 1
x
(0 < x ≤1)，lnx ≤1
2
x- 1
x
(x ≥1)．
用x + 1 取代x 的位置，相应的可得到与ln x+1
有关的常用不等式．
17
11. 恒成立问题常见类型
假设x 为自变量，其范围设为D，f x
为函数；a 为参数，g a
为其表达式，
(1)f x
的值域为m,M
①∀x ∈D,g a
≤f x
，则只需要g a
≤f x
min = m
∀x ∈D,g a
< f x
，则只需要g a
< f x
min = m
②∀x ∈D,g a
≥f x
，则只需要g a
≥f x
max = M
∀x ∈D,g a
> f x
，则只需要g a
> f x
max = M
(2) 若f x
的值域为m,M
①∀x ∈D,g a
≤f x
，则只需要g a
≤m
∀x ∈D,g a
< f x
，则只需要g a
≤m(注意与(1) 中对应情况进行对比)
②∀x ∈D,g a
≥f x
，则只需要g a
≥M
∀x ∈D,g a
> f x
，则只需要g a
≥M(注意与(1) 中对应情况进行对比)
12. 能成立(有解) 问题常见类型
假设x 为自变量，其范围设为D，f x
为函数；a 为参数，g a
为其表达式，
(1) 若f x
的值域为m,M
①∃x ∈D,g a
≤f x
，则只需要g a
≤f x
max = M
∃x ∈D,g a
< f x
，则只需要g a
< f x
max = M
②∃x ∈D,g a
≥f x
，则只需要g a
≥f x
min = m
∃x ∈D,g a
> f x
，则只需要g a
> f x
min = m
(2) 若f x
的值域为m,M
①∃x ∈D,g a
≤f x
，则只需要g a
< M(注意与(1) 中对应情况进行对比)
∃x ∈D,g a
< f x
，则只需要g a
< M
②∃x ∈D,g a
≥f x
，则只需要g a
> m(注意与(1) 中对应情况进行对比)
∃x ∈D,g a
> f x
，则只需要g a
> m
13. 端点效应的类型
1. 如果函数f(x) 在区间[a,b] 上,f(x) ≥0 恒成立, 则f(a) ≥0 或f(b) ≥0.
2. 如果函数f(x) 在区问[a,b] 上,f(x) ≥0 恒成立, 且f(a) = 0(或f(b) = 0), 则f(a) ≥0(或f(b)≤0
.
3. 如果函数f(x) 在区问[a,b] 上,f(x) ≥0 恒成立, 且f(a) = 0,f(a) = 0(或f(b) = 0, f(b)≤0
则f(a)
≥0(或f(b)≤0
.
14. 洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x) 满足下列条件：
(1) lim
x→a f x
= 0 及lim
x→a g x
= 0；
(2) 在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x) ≠0；
18
(3)lim
x→a
fx
gx
= l，
那么lim
x→a
f x
g x
= lim
x→a
fx
gx
= l。0
0 型
法则2 若函数f(x) 和g(x) 满足下列条件：
(1) lim
x→a f x
= ∞及lim
x→a g x
= ∞；
(2) 在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x) ≠0；
(3)lim
x→a
fx
gx
= l，
那么lim
x→a
f x
g x
= lim
x→a
fx
gx
= l。
∞
∞型
15. 常见的指对放缩
ex≥x + 1，ex≥ex，1 - 1
x ≤lnx ≤x - 1，lnx ≤x
e
16. 常见的三角函数放缩
sinx < x < tanx,x ∈0, π
2
17. 其他放缩
lnx <
x -
1
x (x > 1)，lnx >
x -
1
x (0 < x < 1)，
lnx < 1
2
x- 1
x
(x > 1)，lnx > 1
2
x- 1
x
(0 < x < 1)，
lnx >- 1
2 x2+ 2x - 3
2 (x > 1)，lnx <- 1
2 x2+ 2x - 3
2 (0 < x < 1)
lnx > 2(x-1)
x+1
(x > 1)，lnx < 2(x-1)
x+1
(0 < x < 1)
18. 放缩程度综合
1 - 1
x < 1
2
x- 1
x
<
x -
1
x < lnx < 2(x-1)
x+1
<- 1
2 x2+ 2x - 3
2 < x - 1(0 < x < 1)
1 - 1
x <- 1
2 x2+ 2x - 3
2 < 2(x-1)
x+1
< lnx <
x -
1
x < 1
2
x- 1
x
< x - 1(1 < x < 2)
- 1
2 x2+ 2x - 3
2 < 1 - 1
x < 2(x-1)
x+1
< lnx <
x -
1
x < 1
2
x- 1
x
< x - 1(x > 2)
19
x + 1 < ex<
1
1-x (x < 1)，1
1-x < x + 1 < ex(x > 1)
19. 常见函数的泰勒展开式
(1)ex= 1 + x
1! + x2
2! + x3
3! +⋯+ xn
n! +
xn+1
n+1
! eθx，其中0<θ<1
；
(2)ln 1+x
= x - x2
2! + x3
3! -⋯+ -1
n-1 xn
n! + Rn，其中Rn= -1
n
xn+1
n+1
!
1
1+θx
n+1
；
(3)sinx = x - x3
3! + x5
5! -⋯+ -1
k-1
x2k-1
2k-1
! + Rn，其中Rn= -1
k
x2k+1
2k+1
! cosθx；
(4)cosx = 1 - x2
2! + x4
4! -⋯+ -1
k-1
x2k-2
2k-2
! + Rn，其中Rn= -1
k x2k
2k
! cosθx；
(5)
1
1-x = 1 + x + x2+⋯+xn+ o(xn)；
(6) (1 + x)n= 1 + nx + n(n-1)
2!
x2+ o(x2)；
(7)tanx = x + x3
3 + 2
15 x5+⋅⋅⋅+o x2n
；
(8) 1+x = 1 + 1
2 x - 1
8 x2+ 1
16 x3+⋅⋅⋅+o xn
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
ex≥1 + x，ex≥1 + x + 1
2 x2 x≥0
，sinx ≥x - 1
6 x3 x≥0
，
cosx ≥1 - 1
2 x2，lnx ≤x - 1，ex-1≥x，
tanx ≥x + 1
3 x3 x≥0
，1+x ≤1 + 1
2 x，ln 1+x
≤x．
20. 常见函数的泰勒展开式的结论
结论1 ln(1 + x) ≤x(x >-1)．
20
结论2 lnx ≤x - 1(x > 0)．
结论3 1 - 1
x ≤lnx(x > 0)．
结论4
x
1+x < ln
1
1-
x
1+x
⇒
x
1+x < ln 1+x
．
结论5 1 + x ≤ex；ex≤
1
1-x x<1
；x
1+x ≤ln 1+x
≤x x>-1
．
结论6 ex≥1 + x(x ∈R)；
结论7 e-x≥1 - x(x ∈R)
结论8
1
1-x ≥ex x<1
．
结论9
1
1-x ≤ex x>1
．
21. 极值点偏移的含义
众所周知，函数f(x) 满足定义域内任意自变量x 都有f(x) = f(2m - x)，则函数f(x) 关于直线x = m 对
称；可以理解为函数f(x) 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x) 为单峰函数，则x = m 必为
f(x) 的极值点. 如二次函数f(x) 的顶点就是极值点x0，若f(x) = c 的两根的中点为x1+x2
2
，则刚好有
x1+x2
2
= x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x) 的极值点为m，且函数f(x) 满足定义域内x = m 左
侧的任意自变量x 都有f(x) > f(2m - x) 或f(x) < f(2m - x)，则函数f(x) 极值点m 左右侧变化快慢
不同. 故单峰函数f(x) 定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1) = f(x2)，则x1+x2
2
与极值点m 必有
确定的大小关系：
若m < x1+x2
2
，则称为极值点左偏；若m > x1+x2
2
，则称为极值点右偏。
如函数g(x) = x
ex 的极值点x0= 1 刚好在方程g(x) = c 的两根中点x1+x2
2
的左边，我们称之为极值点
左偏.
21
22. 极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数f(x) 存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+ x2> 2x0(x0为函数f(x) 的极值点)；
2.若函数f(x) 中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1) = f(x2)，求证：x1+ x2> 2x0(x0为函数f(x) 的极值点)；
3.若函数f(x) 存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0= x1+x2
2
，求证：f'(x0) > 0；
4.若函数f(x) 中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1) = f(x2)，令x0= x1+x2
2
，求证：f'(x0) > 0.
23. 极值点偏移的判定定理
对于可导函数y = f(x)，在区间(a,b) 上只有一个极大(小) 值点x0，方程f(x) = 0 的解分别为x1,x2，且a
< x1< x2< b，
(1) 若f(x1) < f(2x0 - x2)，则x1+x2
2
< (>)x0，即函数y = f(x) 在区间(x1,x2) 上极(小) 大值点x0 右
(左) 偏；
(2) 若f(x1) > f(2x0 - x2)，则x1+x2
2
> (<)x0，即函数y = f(x) 在区间(x1,x2) 上极(小) 大值点x0 右
(左) 偏.
证明：(1) 因为对于可导函数y = f(x)，在区间(a,b) 上只有一个极大(小) 值点x0，则函数f(x) 的单调递
增(减) 区间为(a,x0)，单调递减(增) 区间为(x0,b)，由于a < x1 < x2 < b，有x1 < x0，且2x0 - x2 < x0，又
f(x1) < f(2x0- x2)，故x1< (>)2x0- x2，所以x1+x2
2
< (>)x0，即函数极(小) 大值点x0右(左) 偏；
(2) 证明略.
左快右慢(极值点左偏⇔m < x1+x2
2
)
左慢右快(极值点右偏⇔m > x1+x2
2
)
22
左快右慢(极值点左偏⇔m < x1+x2
2
)
左慢右快(极值点右偏⇔m > x1+x2
2
)
24. 对数平均不等式
两个正数a 和b 的对数平均定义：L(a,b) =
a-b
lna-lnb (a≠b),
a(a=b).
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
ab ≤L(a,b) ≤a+b
2
(此式记为对数平均不等式)
取等条件：当且仅当a = b 时，等号成立．
只证：当a ≠b 时，ab < L(a,b) < a+b
2
．不失一般性，可设a > b．
证明如下：
(I) 先证：ab < L(a,b) ⋯⋯①
不等式①⇔lna - lnb < a-b
ab ⇔ln a
b <
a
b -
b
a ⇔2lnx < x - 1
x (其中x =
a
b > 1)
构造函数f(x) = 2lnx - x- 1
x
,(x > 1)，则f(x) = 2
x - 1 - 1
x2 =- 1- 1
x
2
．
因为x > 1 时，f(x) < 0，所以函数f(x) 在(1, +∞) 上单调递减，
故f(x) < f(1) = 0，从而不等式①成立；
(II) 再证：L(a,b) < a+b
2
⋯⋯②
不等式②⇔lna - lnb > 2(a-b)
a+b
⇔ln a
b >
2 a
b -1
a
b +1
⇔lnx > 2(x-1)
(x+1) (其中x =
a
b > 1)
构造函数g(x) = lnx - 2(x-1)
(x+1) ,(x > 1)，则g(x) = 1
x -
4
(x+1)2 = (x-1)2
x(x+1)2 ．
因为x > 1 时，g(x) > 0，所以函数g(x) 在(1, +∞) 上单调递增，
故g(x) < g(1) = 0，从而不等式成立；
23
综合(I) (II) 知，对∀a,b ∈R+，都有对数平均不等式
ab ≤L(a,b) ≤a+b
2
成立，
当且仅当a = b 时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
(1) 求出函数f(x) 的极值点x0；
(2) 构造一元差函数F(x) = f(x0+ x) - f(x0- x)；
(3) 确定函数F(x) 的单调性；
(4) 结合F(0) = 0，判断F(x) 的符号，从而确定f(x0+ x)、f(x0- x) 的大小关系.
25. 拉格朗日(Lagrange) 中值定理
若函数f(x) 满足如下条件：
(1)f(x) 在闭区间[a，b] 上连续；
(2)f(x) 在开区间(a，b) 内可导．
则在(a，b) 内至少存在一点ξ，使得fξ
= f b
- f a
b-a
．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线y = f x
上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，该曲线在该点处的切线平行于
曲线两端的连线．
需要注意的地方(逆命题不成立)
拉格朗日中值定理没有逆定理, 即对曲线的任一切线, 并不一定存在割线, 使割线斜率等于切线斜率,
如f x
= x3在x = 0 处的切线斜率为0, 但f x
不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
f b
- f a
= fξ
b-a
a<ξ<b
，
f b
- f a
= fa+θ b-a
b-a
0<θ<1
，
f a+h
- f a
= fa+θh
h 0<θ<1
．
注：拉格朗日公式无论对于a < b 还是a > b 都成立，而ξ 则是介于a 与b 之间的某一常数．显然，当0
< θ < 1 时，a < a + θ b-a
< b．
24
二级结论背记09
数列
1. 等差数列任意前n 项和的关系
Sm+n= Sm + Sn+ mnd
2. 等比数列任意前n 项和的关系
Sm+n= Sm + qm ⋅Sn
3. 数列不动点
定义：方程f(x) = x 的根称为函数f(x) 的不动点
利用递推数列f(x) 的不动点，可将某些递推关系an = f(an-1) 所确定的数列化为等比数列或较易求通
项的数列，这种方法称为不动点法
定理1：若f(x) = ax + b a≠0,a≠1
，p 是f(x) 的不动点，an 满足递推关系an = f(an-1)，n>1
，则an
- p = a an-1-p
，即an-p
是公比为a 的等比数列.
定理2：设f(x) = ax+b
cx+d c≠0,ad-bc≠0
，an
满足递推关系an= f(an-1)2n > 1，初值条件a1≠f a1
(1) 若f(x) 有两个相异的不动点p，q，则an-p
an-q = k ∙an-1-p
an-1-q
(这里k = a-pc
a-qc )
(2) 若f(x) 只有唯一不动点p，则
1
an-p =
1
an-1-p + k (这里k =
2c
a+d )
定理3：设函数f(x) = ax2+bx+c
ex+ f
a≠0,e≠0
有两个不同的不动点x1，x2，且由un+1 = f un
确定着数
列un
, 那么当且仅当b = 0，e = 2a 时, un+1-x1
un+1-x2
=
un-x1
un-x2
2
4. 错位相减- -- 万能公式求和
an
为公差为d 的等差数列，bn
为公比为q 的等比数列，若数列cn
满足cn = an ⋅bn，则数列cn
的
前n 项和Sn为Sn= cn+1-q2cn+c1
(q-1)2
5. 通项公式的构造
(1) 已知an+1 = pan + q，我们可以用待定系数法构造an+1 + λ = p an+λ
，从而转化为我们熟悉的等比数
列求解
(2) 已知an+1= pan+ f n
用an+ An + B = p an-1+A n-1
+B
求通项
(3) 已知an+1= pan+ qn用an+1
qn+1 = p
q ⋅an
qn + 1
q 求通项公式，其本质是除以一个指数式
(4) 已知an+2= pan+1+ qan用an+2- kan+1= h an+1-kan
求通项公式，其本质是待定系数法
(5) 已知an-1- an= pan-1an用1
an -
1
an-1
= p 求通项公式，其本质是除以an-1an
25
(6) 已知an+1=
man
pan+q 用
1
an+1
= m
q
1
an + m
p 求通项公式，其本质是取到数
(7) 已知an+1= pan
q p>0,an>0
用lgan+1= qlgan+ lgp 求通项公式，其本质是取对数
二级结论背记10
立体几何
1. 内切球体积
任意的简单n 面体内切球半径为3V
S表
(V 是简单n 面体的体积，S表是简单n 面体的表面积)
2. 三垂线法求二面角
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
3. 垂面法求二面角
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由
此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
4. 射影面积法求二面角
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式(cosθ = S射
S斜
= S△ABC
S△ABC
, 如图) 求出二面角的大小
26
5. 三余弦定理
设AC 是α 内的任一条直线，且BC ⊥AC，垂足为C，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的
角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cosθ = cosθ1cosθ2.
6. 三射线定理
若夹在平面角为ϕ 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1,θ2, 与二面角的棱所成的角
是θ，则有sin2ϕsin2θ = sin2θ1+ sin2θ2- 2sinθ1sinθ2cosϕ ;
|θ1- θ2| ≤ϕ ≤180° - (θ1+ θ2) (当且仅当θ = 90° 时等号成立).
长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为θ1、θ2、θ3, 则有
l2= l2
1 + l2
2+ l2
3⇔cos2θ1+ cos2θ2+ cos2θ3= 1 ⇔sin2θ1+ sin2θ2+ sin2θ3= 2.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
7. 空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
dA,B = |AB
| =
AB
⋅AB
=
(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
8. 点Q 到直线l 距离
h = 1
|a|
(|a||b|)2-(a⋅b)2(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a = PA
，向量b = PQ
).
9. 异面直线间的距离
d = |CD
⋅n|
|n|
(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D 分别是l1,l2上任一点，d 为l1,l2间的距离).
10. 点B 到平面α 的距离
d = |AB
⋅n|
|n|
(n为平面α 的法向量，AB 是经过面α 的一条斜线，A ∈α).
11. 异面直线上两点距离公式
d =
h2+m2+n2∓2mncosθ.
d =
h2+m2+n2-2mncos EA
,AF
.
27
d =
h2+m2+n2-2mncosϕ(ϕ = E - AA- F).
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h. 在直线a、b 上分别取两点E、F，AE
= m,AF = n,EF = d).
12. 欧拉定理(欧拉公式)
V + F - E = 2(简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F).
(1)E = 各面多边形边数和的一半. 特别地, 若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：
E = 1
2 nF；
(2) 若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V 与棱数E 的关系：E = 1
2 mV.
13. 球的组合体
(1) 球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2) 球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a 的正四面体的内切球的半径为
6
12 a, 外接球的半径为
6
4 a.
二级结论背记11
解析几何(直线与圆+ 圆锥曲线)
1. 点关于线对称的一般性结论
点(x,y) 关于直线Ax + By + C = 0 的对称点坐标为x- 2A(Ax+By+C)
A2+B2
,y- 2B(Ax+By+C)
A2+B2
2. 直径端点圆的方程
若圆的直径端点A x1,y1
,B x2,y2
，则圆的方程为x-x1
x-x2
+ y-y1
y-y2
= 0
3. 解析几何中的切线方程
①过圆(x - a)2+ (y - b)2= r2上任意一点P(x0,y0) 的切线方程为(x0- a) (x - a) + (y0- b) (y - b) = r2
②过椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上任意一点P(x0,y0) 的切线方程为xx0
a2 + yy0
b2
= 1
③过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上任意一点P(x0,y0) 的切线方程为xx0
a2 - yy0
b2
= 1
④设P x0,y0
为抛物线y2= 2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0= p x+x0
28
4. 解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 的切点弦方程为x0x + y0y + x0+x
2
D + y0+y
2
E + F = 0
②椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的切点弦方程为x0x
a2 + y0y
b2 = 1
③双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的切点弦方程为x0x
a2 - y0y
b2 = 1
④抛物线y2= 2px(p > 0) 的切点弦方程为y0y = p(x0+ x)
⑤二次曲线的切点弦方程为Ax0x + B x0y+y0x
2
+ Cy0y + D x0+x
2
+ E y0+y
2
+ F = 0
5. 相切的条件
①椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 与直线Ax + By + C = 0(A·B ≠0) 相切的条件是A2a2+ B2b2= C2
②双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 与直线Ax + By + C = 0(A·B ≠0) 相切的条件是A2a2- B2b2= C2
6. 斜率关系
若A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线) 上顺次四点, 则四点共圆(常用相交弦定理) 的一个充要条件是:
直线AC、BD 的斜率存在且不等于零, 并有kAC + kBD = 0,(kAC,kBD 分别表示AC 和BD 的斜率)
7. 常见不等式
已知椭圆方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2 中∠PF1F2 = θ，则
cosθ ≥1 - 2e2(cosθmax = 1 - 2e2)
8. 椭球体积
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V = 4
3 πab
9. 纵坐标之和
y = kx + m 与椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 相交于两点，则纵坐标之和为
2mb2
a2k2+b2
10. 渐近线围成的四边形面积
过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积
为ab
2
11. 帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线
上
29
12. 斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
- a2
b2 (a > b > 0)
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值- a2
b2 (a > b > 0)
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
13. 椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆
双曲线
标准方程
x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
焦点F1 -c,0
,F2 c,0
x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
焦点F1 -c,0
,F2 c,0
焦半径
PF1= a + ex0,PF2= a - ex0
e 为离心率，x0 为点P 的横坐标.
PF1= ex0+a
,PF2= ex0-a
e 为离心率，x0 为点P 的横坐标.
焦半径范围
a - c ≤PF ≤a + c
P 为椭圆上一点，F 为焦点.
PF ≥a - c
P 为双曲线上一点，F 为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为2b2
a
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为2b2
a
如图，直线l 过焦点F1 与椭圆相交于A,B
两点. 则△ABF2 的周长为4a.
(即F2A + F2B + AB = 4a)
如图，直线l 过焦点F1 与双曲线相交于A,B 两
点. 则F2A + F2B - AB = 4a.
焦点弦
倾斜角为α 的直线l 过焦点F 与椭圆相交
于A,B 两点.
焦点弦长AB =
2ab2
a2-b2
sin2α+b2 .
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为α 的直线l 过焦点F 与双曲线相交于
A,B 两点.
焦点弦长AB =
2ab2
a2+b2
sin2α-b2
.
AF 与BF
数量关系
直线l 过焦点F 与椭圆相交于A,B 两点，
则
1
AF +
1
BF = 2a
b2 .
直线l 过焦点F 与双曲线相交于A,B 两点，则
1
AF +
1
BF = 2a
b2 .
已知点P 是椭圆上一点，O 坐标原点，
则b ≤PO ≤a.
已知点P 是双曲线上一点，O 坐标原点，
则PO ≥a.
焦三角形
30
如图，P 是椭圆上异于长轴端点的一点，已
知∠F1PF2 = θ，∠PF1F2 = α，∠PF2F1 =
β，则
(1)S△PF1F2= b2tan θ
2 ；
(2) 离心率e =
sinθ
sinα+sinβ .
如图，P 是双曲线上异于实轴端点的一点，已
知∠F1PF2= θ，∠PF1F2= α，∠PF2F1= β，则
(1)S△PF1F2= b2cot θ
2 =
b2
tan θ
2
；
(2) 离心率e =
sinθ
sinα-sinβ
.
垂径定理
如图，已知直线l 与椭圆相交于A,B 两点，
点M 为AB 的中点，O 为原点，则
kOMkAB =- b2
a2 .
如图，已知直线l 与双曲线相交于A,B 两点，
点M 为AB 的中点，O 为原点，则
kOMkAB = b2
a2 .
(注：直线l 与双曲线的渐近线相交于A,B 两
点，其他条件不变，结论依然成立)
周角定理
如图，已知点A,B 椭圆长轴端点(短轴端
点)，P 是椭圆上异于A,B 的一点，
则kPAkPB =- b2
a2 .
推广：如图，已知点A,B 是椭圆上关于原
点对称的两点，P 是椭圆上异于A,B 的一
点，若直线PA,PB 的斜率存在且不为零，
kPAkPB =- b2
a2
如图，已知点A,B 双曲线实轴端点，P 是双曲
线上异于A,B 的一点，
则kPAkPB = b2
a2 .
推广：如图，已知点A,B 是双曲线上关于原点
对称的两点，P 是双曲线上异于A,B 的一点，
若直线PA,PB 的斜率存在且不为零，
kPAkPB = b2
a2 .
31
直线l 过焦点F c,0
与椭圆相交于A,B
两点，点P a2
c ,0
，
则∠APF = ∠BPF(即kPA+ kPB = 0).
直线l 过焦点F c,0
与双曲线相交于A,B 两
点，点P a2
c ,0
，
则∠APF = ∠BPF(即kPA+ kPB = 0).
切线方程
已知点P x0,y0
是椭圆上一点，则椭圆在
点P 处的切线方程为x0x
a2 + y0y
b2 = 1.
已知点P x0,y0
是双曲线上一点，则双曲线在
点P 处的切线方程为x0x
a2 - y0y
b2 = 1.
14. 补充结论1
1．过定点(定点在双曲线外且不在渐近线上) 的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为k 的直线l 过定点P 0,t
t≠0
，双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
，过点P 与双曲线相
切时的斜率为k0.
(1) 当0 ≤k
< b
a 时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
(2) 当k
= b
a 时，直线l 与双曲线只有一个交点；
(3) 当b
a < k
< k0
时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
(4) 当k
= k0
时，直线l 与双曲线只有一个交点；
(5) 当k
> k0
时，直线l 与双曲线没有交点.
2．如图，F c,0
是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐近
线，垂足为H，O 为原点，则OH = a,FH = b.
3．点P 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值
32
a2b2
a2+b2 .
4．点P 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐
近线相交于M,N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值ab
2 .
15. 抛物线的结论
如图，抛物线方程为y = 2px p>0
，准线x =- p
2 与x 轴相交于点P，过焦点F
p
2 ,0
的直线l 与抛物
线相交于A x1,y1
，B x2,y2
两点，O 为原点，直线l 的倾斜角为α.
1．x1x2= p2
4 ,
y1y2=-p2.
2．焦半径：AF = x1+ p
2 ，BF = x2+ p
2 ，AB = x1+ x2+ p.
3．焦点弦：AB =
2p
sin2α .
4．AF,BF 的数量关系：1
AF +
1
BF = 2
p ，AF ⋅BF =
p2
sin2α .
5．三角形AOB 的面积S△AOB =
p2
2sinα .
6．以焦点弦AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径AF 为直径的圆与y 轴
相切.
7．直线PA,PB 的斜率之和为零(kPA+ kPB = 0)，即∠APF = ∠BPF.
8．点A,O,N 三点共线；点B,O,M 三点共线.
9．如图，点A,B 是抛物线y = 2px p>0
，O 为原点，若∠AOB = 90°，则直线AB 过定点2p,0
.
16. 补充结论2
1. 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ. 则
(1)
1
|OP|2 +
1
|OQ|2 = 1
a2 + 1
b2 ;
33
(2)|OP|2+ |OQ|2的最大值为4a2b2
a2+b2 ;
(3)SΔOPQ的最小值是
a2b2
a2+b2 .
2. 与x2
a2 - y2
b2 = 1 共轭的双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 =-1，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原
点为圆心，C 为半径的圆上；③1
e2
1
+ 1
e2
2
= 1。
3. 与x2
a2 - y2
b2 = 1 有相同焦点的双曲线方程为：x2
a2-λ -
y2
λ+b2 = 1, λ≠0,a2-λ>0,λ+b2>0
4. 与x2
a2 - y2
b2 = 1 有相同焦点的椭圆方程为：x2
a2+λ +
y2
λ-b2 = 1, λ≠0,a2+λ>λ-b2>0
5. 与x2
a2 + y2
b2 = 1 有相同焦点的双曲线方程为：x2
a2-λ -
y2
λ-b2 = 1, λ≠0,a2-λ>0,λ-b2>0
6. 与x2
a2 - y2
b2 = 1 有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在x 轴上时：x2
a2 - y2
b2 = λ, λ>0,λ≠1
②焦点在y 轴上时：y2
a2 - x2
b2 = λ, λ>0
7. 与x2
a2 - y2
b2 = 1 有相同的渐近线方程为：x2
a2 - y2
b2 = λ, λ≠0,λ≠1
；
二级结论背记12 排列组合、二项式定理、概率统计
1. 二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cm
n = Cn-m
n
增减性
当k < n+1
2
时，二项式系数逐渐增大；
当k > n+1
2
时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n 是偶数时，中间一项第n
2 +1项
的二项式系数最大，最大值为C
n
2n ；
当n 是奇数时，中间两项第n-1
2
+1项和第n+1
2
+1项
的二项式系数相等，且同时取得最
大值，最大值为C
n-1
2
n
或C
n+1
2
n
2. 二项式系数和
(a + b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0
n + C1
n+ C2
n +⋯+Ck
n +⋯+Cn
n = 2n.
34
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1
n + C 3
n + C 5
n +⋯= C 0
n +
C2
n + C4
n +⋯= 2n-1.
3. 单条件排列
以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”
①某(特) 元必在某位有Am-1
n-1 种；②某(特) 元不在某位有Am
n - Am-1
n-1 (补集思想) = A1
n-1Am-1
n-1 (着眼位置)
= Am
n-1+ A1
m-1Am-1
n-1 (着眼元素) 种.
(2) 紧贴与插空(即相邻与不相邻)
①定位紧贴：k(k ≤m ≤n) 个元在固定位的排列有Ak
kAm-k
n-k 种.
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An-k+1
n-k+1Ak
k种. 注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个(k ≤h + 1)，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所
有排列数有Ah
hAk
h+1种.
(3) 两组元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n > m + 1 时，无解；当n ≤m + 1 时，有An
m+1
An
n
= Cn
m+1种排法.
(4) 两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cn
m+n.
4. 分配问题
(1) (平均分组有归属问题) 将相异的m、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有N =
Cn
mn⋅Cn
mn-n⋅Cn
mn-2n⋅⋯⋅Cn
2n⋅Cn
n = (mn)!
(n!)m .
(2) (平均分组无归属问题) 将相异的m·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
N = Cn
mn⋅Cn
mn-n⋅Cn
mn-2n...⋅Cn
2n⋅Cn
n
m!
=
(mn)!
m!(n!)m .
(3) (非平均分组有归属问题) 将相异的p(p = n1 + n2 +⋯+nm) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分
别得到n1，n2，⋯，nm 件，且n1，n2，⋯，nm 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有N = Cn1
p ⋅Cn2
p-n1..
.Cnm
nm ⋅m! =
p!m!
n1!n2!...nm! .
(4) (非完全平均分组有归属问题) 将相异的p(p = n1 + n2 +⋯+nm) 个物体分给m 个人，物件必须被分
完，分别得到n1，n2，⋯，nm 件，且n1，n2，⋯，nm 这m 个数中分别有a、b、c、⋯个相等，则其分配方法
数有N = Cn1
p ⋅Cn2
p-n1...Cnm
nm ⋅m!
a!b!c!...
=
p!m!
n1!n2!...nm!(a!b!c!...) .
(5) (非平均分组无归属问题) 将相异的p(p = n1 + n2 +⋯+nm) 个物体分为任意的n1，n2，⋯，nm 件无记
号的m 堆，且n1，n2，⋯，nm 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有N =
p!
n1!n2!...nm! .
35
(6) (非完全平均分组无归属问题) 将相异的p(p = n1 + n2 +⋯+nm) 个物体分为任意的n1，n2，⋯，nm 件
无记号的m 堆，且n1，n2，⋯，nm 这m 个数中分别有a、b、c、⋯个相等，则其分配方法数有N =
p!
n1!n2!...nm!(a!b!c!...) .
(7) (限定分组有归属问题) 将相异的p(p(p = n1 + n2 +⋯+nm)) 个物体分给甲、乙、丙，⋯⋯等m 个人，
物体必须被分完，如果指定甲得n1 件，乙得n2 件，丙得n3 件，⋯时，则无论n1，n2，⋯，nm 等m 个数是
否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N = Cn1
p ⋅Cn2
p-n1...Cnm
nm =
p!
n1!n2!...nm! .
5.“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题: 信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为
f(n) = n!
1
2! - 1
3! + 1
4! -⋯+(-1)n 1
n!
.
推广: n 个元素与n 个位置, 其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为
f(n,m) = n! -C 1
m(n - 1)! +C 2
m(n - 2)! -C 3
m(n - 3)! +C 4
m(n - 4)! - ⋯+ (-1)pC p
m(n - p)! + ⋯+ (-1)
mCm
m(n - m)! = n! 1- C1
m
A1
n
+ C2
m
A2
n
- C3
m
A2
n
+ C4
m
A4
n
-⋯+(-1)p C p
m
Ap
n
+⋯+(-1)m Cm
m
Am
n
.
6. 不定方程的解的个数
不定方程x1+ x2+⋯+xn = m 的解的个数
(1) 方程x1+ x2+⋯+xn= m(n,m ∈N ∗) 的正整数解有Cn-1
m-1个.
(2) 方程x1+ x2+⋯+xn= m(n,m ∈N ∗) 的非负整数解有Cn-1
n+m-1个.
(3) 方程x1 + x2 +⋯+xn = m(n,m ∈N ∗) 满足条件xi ≥k(k ∈N ∗,2 ≤i ≤n - 1) 的非负整数解有
Cn-1
m+1-(n-2)(k-1)个.
(4) 方程x1 + x2 +⋯+xn = m(n,m ∈N ∗) 满足条件xi ≤k(k ∈N ∗,2 ≤i ≤n - 1) 的正整数解有Cn-1
n+m-1 -
C1
n-2Cn-1
m+n-k-2+ C2
n-2Cn-1
m+n-2k-3-⋯+ (-1)n-2Cn-2
n-2Cn-1
m+1-(n-2)k个.
7. 数学期望的性质
(1)E(aξ + b) = aE(ξ) + b.
(2) 若ξ~B(n,p), 则Eξ = np.
(3) 若ξ 服从几何分布, 且P(ξ = k) = g(k,p) = qk-1p，则Eξ = 1
p .
8. 方差的性质
(1)D aξ+b
= a2Dξ；
(2) 若ξ~B(n,p)，则Dξ = np(1 - p).
(3) 若ξ 服从几何分布, 且P(ξ = k) = g(k,p) = qk-1p，则Dξ = q
p2 .
36
(4) 超几何分布的期望：若X~H(n,N,M)，则E(X) = nM
N
(其中M
N 为符合要求元素的频率)，D(X) =
n M
N
1- M
N
1- n-1
N-1
9. 方差与期望的关系
Dξ = Eξ2- Eξ
2.
10. 正态分布密度函数
f x
=
1
2π6 e
- x-μ
2
262 ，x ∈-∞,+∞
，式中的实数μ，σ(σ > 0) 是参数，分别表示个体的平均数与标准
差. 标准正态分布密度函数f x
=
1
2π6 e
- x2
2 ，x ∈-∞,+∞
.
