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考点归纳：数列求和（三）裂项相消求和
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼗三）
⼀
、裂⽽相消法:
1
. 分式型裂项
: nncrh-i-nimnchi.li
- 咏)
⼀般地, 若lan} 是各项不为0
, 且公美d 不为o 的等差数列,
则有
C
1
"
an.am/=d'(ai-ai)7eg:Qn=2M7(2Mk2nt3)=i'(2ni-2nb)c(2)an-antk
⼆点
。(ai-ailsegan-naniz.cn-12)
>
;
'
,
anan-zn.2.cn+2)
= i l 式
-
2州)
(2n )
2
补充:
" '
(孙收州
⼆
汁主(2nd
⼀州)
(2)
K2
K
2
1
(2k- 1 )( 2kt 1 )
= 4叭
⼆千+
4( 2k - 1 )( 2m )
= i ti (
2⼼
-
2炓)
(3 )
M
1
1
灬
M
(21
-1)
2
x (2M)
2
= (2m )
2
-
(2m11)
2
rixcrni-fIi.cn为2 ]
(5) ncnt.hn
⼆⽂[ ncrn
- crnb
]
2
. 指数型裂项
:
ci.ci
,
1
模型:
由uj.ci ci-an.la
- 1 ) a
"
(àtbkcit b)
⼆(
dtbkcitbiantb-at.li
)
2
"
(ii)( 2㖄)
⼆
2
"I
-
进I
(2) zn.cj.ni.fi
- zi
(3)
双⼗5
1
1
(2Mt 1)
。(刘+3)
。刘
⼆
(2㖄)
. 2
" '
"
(2⼏⼗3)
.int
2
1
,
(4)
n.cm )
" 2h
⼆
n.am
"
(M ) , 2"
3. 根式型裂项:
1
1
1
1
1
" '
n t
m
=
M
-
n
( 2)
n
+
ntk
⼆下(
mk
-
n )
( 3)
a t
b
= abla
-
b)
4、对数型裂项:
antl
若anzo.nc.ir
⽶
则bgaani.bg/-logdn
5. 排列数
, 组合数裂项
:
n
1
1
(i) CM-ai.ci
(2)
nh !
= (M ) !
⼀
⼏!
(3 )
(m) !
⼆⼏!
"
(M ) !
📍
题型训练：裂项求和-等差分式型
解( 1 ) G: 2
2从1
1
(2) bmlzntD.bg/n=(2n-i)l2nt1)
7 bicz.mx 2m )
= I ( 2川
-
2的)
n
i T i ( titi.it
… tzi -2h )
= i (
1 -
2的
)
⼆
2m
解( 1) Q: 2旪1
1
12)
。:
a
. h,
⼆
(2M )( 2m3)
⼆
主(
2ri-znjjn.isn-jj-itj.tt
-.-
+ 对
-2吩
)
=
Gntq
解(1) an =
- n-1 2
.
1
1
1
1
(2) brFQzm.am
⼆
( 3 - 2n )(
1 - 2n )
=
(2m )( 2n
-3)
⼆Ìl
2n-3-zn-D.iSn-fl-l-ltl-5-l-e.tznj-zn.li
为⼼的)
=
,是
解(1)
Qmantl.sn: 听和
1
(2)
briaii-cmyj-i.ncntn-i-li-ril.it#.ll-2ti-5t-ti.i)n=
式( 1
- i
)
=
4 (n_n)
🌶
解的ari-zibn.am
127
由题
Sn :
1
-1 3 t.it 2m
=
n
2
1
1
1
i G : 4Sn -1
⼆
个以1
:
(2m )(2灬
= I [
2以
⼀球]
- i T
(24 2
' t
2
2t-i-tzijtil-jtj.it
… ⼗zni -2的)
=
(24 )
2 . ,
⼗⽂(
1 -
2成)
= Z-i.mn
解: ( 1 1 ain
412M )
si
=
2⽇⼶
(2)
bn : 观⺾
他啊
2
⼆
nn2-HIi-cntbJ.iibtbatbt-tbri-4Ili-itcitjjt.n-tlni.cn协)] = 4 ( 嗷"
( nt l ) 2
解⼼Unztl
的
由1 11 arizntl.sn : " ' ⼗2""
,
2
: n2.ibnidn-nsn.sn
,
=
2叭
ricntlj2-n2-cntlin.hn
Ti (ii) t (ii) t.it Iri
- cri) 2 ]
=
1 -
(州之
⼆
(n_n) 2
解灬
an-2
1
1
92) i an (a
-1 2)
⼆
( 叶2)( n+4)
⼆为( nb
⼀
⼏⼗年)
⽗1 (n_n) 前⼏项和为Pn
, 则
Pn : 去以为ti.tt
… .tniii) 这出⼤)
, bn-3an.hn
=
3
(叶2)(h )
-
Tn :
3
⺠
= i (5
- ii)
📍
题型训练：裂项求和-指数型
解⻔a :
1
- ⾮
1 - 0㖄
1
1
(2) bman.am
=
1 - (i
-
1
- (i
'
1
1
则不
Ii-iji.ci?tIi-i-i-iJt..tIi-(in-i-cin=2il-ljntl=2i-2
2
𠯢
- 1
2
解n.am j
-
1
2 3
"
,
1
12 1 bi.hn Qnti 5
:
(j
. 1 )的
"
- 1 )
⼆
了
"
-
1
-
3
州
- 1
1
srnbitbati-tbnij-jtlj-jiit.it
(对-3mi ) 这3"" -1
解(i) Qnih
121
Sn :
2 1 1 - 2
" )
1
- 2
- n =
J-cnm.it
""
- 1
1
1
名
' Sm
=
2"
、
1
[2"
- ( 叶2 ) ][ 2
⽐2
-
(n+3)
⼆
zi-lnt21-zn.cn
-1 3 )
1
1
1
zi2_n-4.ihil-jtf-it-i.tzi-cny-zi2.cn
+3)
=
1 -
2"以⼼+3 )
⼆
zn.ru-3
,
📍
题型训练：裂项求和-根号型
解⼼
an⼆2M
1
1
(2) biantamiz.int
2叶了
⼆Ì (
2旪3
-
2灬
)
有
⼆主(
5
-
3
t
7
-
5
-1
9
-
7
t
… t
2n t 3
-
2m ) : ⽂( 2mi
3)
解的
Qn:P
1
1
(2)
bn:
4h3
,
bntbrn
⼆
4h3
t
4M
⼆年(
4M
-
41
-3 )
… , 有⼆年1
5
- 1 ) + 本
(
9
-
5 )
t 年(
1 3
-
9 )
t.it#l4ntl-4n3)=i(4ntl-
1)
解(i) animbn.ci
"
1
1
12) (i ( 2⼏1)
2M
t
(双⼗1 )
2灬
=
2n - 1
.
2㖄
-
(
2m
t
2M
)
= Ìx
2M
-
2M
1
,
2m
。
2mi
⼆主(
2M
-
2m
)
1
1
1
1
1
" 在⼆主(
1
-
3
) tj ( j
-
5
)
t.it Ì lzm-z.nu
)
,
= Ì (
1
-
2M
)
