🌈
⾼三冲刺笔记-圆锥（六）
考点归纳：椭圆离⼼率求值
-
⼀、
公式
1
: eǎ
⼆、公式2 :
e
t 是
三、公式3
i
天知椭圆⽅程为Ǖt 学
:
1
(a> b
7 0 )
, 两焦点分别为F. , F 2
.
, 这焦点三⻆形
中⼈ㄗ版
: a
,
卬所=
13
, 则椭圆离⼼率e
Sincat B)
nysinatsinpePQ.in
这明
之所反= a
, ⼈中所:P
,
i
'
吉
⽂
下,到
阪
阶
由正弦定理得
:
sinln.am
⼆
sina-s.in/了
,
由等处定理得
下没
PF.lt
阪
Sincat 131
⼆
sinats.in 13
2 (
Sincat 13)
即
"
sina.im
=
3 9
sinats.in/3
> et-sinats.in/3
四、公式4
:
以椭圆芯+ 岁
= 1
( a > b
>o )
两焦点下
,
反及椭圆上任⼀点P ( 除⻓轴
两端点外) 为顶点△下,阪
, t.PF.iq
,
⼈阪下,
= 13
, 则e =
" -
s -
3
^ "
证明:
由正弦定理有
队
1 阪1
1下列
。'
s训
了
⼆Ta
⼆
sincat 13)
i 逋
,
1 侧
X.im 侧
=
狐(邸)
zsint.cosatBSinats.in
13
=
2
2 s.in
T.cosa-B.es
凹
了
2
c, ⼀
五
⼀公式5
:
点下是椭圆的焦点
, 过
下的弦仍与椭圆焦点所在轴的夹⻆为Q.DE (-
1 1
1⼈为直线AB 的斜率
, 且肰
=
⼊下13
' ⼼》
, 注: ⼊漆
或者不菲⽽不是管或朤!
^
则eltkz.MN,
或
e. 的
:
'"
(焦点在✗轴)
m
A
'
⼊-
m
T
,㬎
7
E Him
或
e.的⼆点
( 焦点在了轴)
B
'
^
'
这,
由椭圆第⼆定义
:
州
C
B
删个aiAFITAA.li ǎ (
1 所
1 下州)
xi
5
肧
= ǎ
cc.tl/tFl.coSQ)b2AFl=b2a-ccosa
, 同理
:
13下
⼆
atc.com
, 由题
成1 = ⼊䏖
b
2
即㕾.com
动
'
atc.com?D(accosQ)=atc-cosoMzacirl)=cCM1coSQ)G=dg.(-)-,eC0SQ=MtaM
= K
> j
=
,求
.ie t.tk"
⼊"
⼊+1
六、公式
6
:
若A
. B 为直线
1 椭圆悲㤷⽃的交点
, M为AB 的中点
, 0 为坐标原点
,
⼼
则有
: KAB.KMT-e2.tl 焦点,在ㄨ轴)
;
KAB.KMon.io
( 焦点树轴)
i i
i
*
证明
这⽉以以)
B (X 2 92)
M 的
, 别
椭圆
icitbixiyiB.si
"
{
a t
y a
=
1
1
1
-
2
:
以狄州双)
+ (以以⽕⽕⽕)
加
2
2
9
2
b2
⼆0
a
t f
= 1
2
>
:
2为(不⽕)
+
2% (以以1
9
2
3
2
: 0
>
;
以⽕
、Yo
X_X2
x 。
⼆⼀点
> KAB.brM =
-
3
2
a
=
e
2
- 1
七、公式7 :
A
, 以为椭圆
: Yi ⼗号⼆
1
⼼的) 上的左右顶点
, 点M是从异于A , 以的任
⼀点
, 则
: KMA.eKMA.ie -1
( 焦点在怞) ;
KMA.okMA.ie⽃
( 焦点在9轴) 。
"
证明这A.ca , 0 )
以( a
. 0 1
M 的
, 以1
椭圆
: ǖ
tji.MY
,
yo
。必
KMAFxotaKMA-xo-a.IN
x
yf
> KMAiKMAii.ci
i
Mlx , 4》在椭圆上
. i
yi =
b
2
. (
1
- 悲
1
2
5 ( 1
- 悲,
u.int 筣
ci-x.it 兜
⼼
KMA.lk岅
⼆
⼆
xi.az
⼆
cixi-dtxi.ci?kMA,-kMA.=a2-XR-c2ti.x,2XRtitxi-a2=e2-l
⼋、公式8 : 你
, 及为椭圆是⼗景引
(a> b>》上关于原点对称的两点
, 点⼋⼋是从
你点
, 则以MA.okMAi.eu ( 焦点在怞了, KMA.tn/lAa=ei(焦点在9 轴)
。
n y
A
. M
证明这MCXDAilxo.yoJA.c-xoi-y.ly
_ y,
以
⼈
。
KMAF
x_x。
KMAi " "
了
xt Xo
A.
y2-yiKMA.KMA_Y-yoytyox-xo.MX
。
⼆
x
2
- x,
2
i M在椭圆上:
i y
2
: 5 ( 1
- Ǜ )
=
是(ix)
同理炽是
I-xilb2-KMAikMAi.ci
IX) ⼀点姒们
,
2
×
2
-
x。
2
=
ciIW-x21-ca2.in
X_x。
2
⼆点⼋分扪
内
✗2.x,
2
=
- a
2 = e
2
- 1
九
, 公式9 :
A
. B 是椭圆
: 恶景1
(a > b > 0 ) 上的两动点
, ^^是平⾯上
⼀动点且满⾜
了从
⼆⼊⽔tu013
'
, 若⼊个⼼: 1
, 且M在椭圆上
: 则KOAKOB il
M ⼈
来
⽕
中
证明: 这MCX.DACX.li)
13 (加, 以1
>
ONICX.no/P=(Xi,y,)OB=(Xz,yjOM'=DrA'tuoB',fx=Dxtux2y=ny.tuY2
讲在椭圆上iǜtjy
, lixtuxainyituy.iq
2
t
y
2
= 1
展开得biixituixitzmuxxitciciyituiyitnuy.y.mil
i A . B 在椭圆上
i
y ,是5( 1 - 注)⼆点ii)
炷呇(ix)
2
联⽴
1
2
72⼊ubixataticihlijtznuciyy.in
nD4whi.MU (5 㹢tciy
, 以⼼
即
tiktciyig.io
,
以"以
32
5 X, 从
:-|
>
y , 以
⼩⽕
⼆
- a
2
=
e
2 - 1
7 KOA.brM
-1
⼗、公式
10
:
正知ACXo.Yolcx.to) 是椭圆Ǖt 岁
= 1
(a >
b > o ) 上⼀定点
, E
, F 是椭圆
C 上两个动点
, 若KAI.tk/tF:o
, 则
koA.KEF-l-e21.ge
A
这明: 没AEiy-yoiklx-XDEMYDFN.la)
· F x
"
KAI.tk/tF=O.iAFiY-Yo=-k(X-Xo)E0fY-Yo=klX-Xo),i+(kxtYo-kXoib2
⽃
品学到
了
2
x +
(4 0
- K们
2
> (Ǜtijp +2 ( 为⽕们k
Urkxo)
2
b
2
⼗
⼆0
5
"
cicyo-kxi.ci5
"
⽕为
⼆
, ⼩
cdi
+们,
同理:
mihy.tk
XoRà5
iticcitb4xokoA-KEF-oktiittixi.jp
láit 5111,
⼀州
yzciyitikxi-za25-zciizhi-tikx.br
⼆
为
'
-4 āxoy,
lcitb )为
7
=
y,
zdy。
2
- 2分为
2
- 2 9
25
y
-45 X,
2
9
2
=
1 - e
2
.
x。
'
tiyy 。
⼆
xo-zix.vn。
⼆
的
⼗⼀
: 公式
1 1
:
放椭圆装⼗字"
, A (⼩刘为椭圆上你点
, 下, 反为椭圆两焦点
,
肧交椭圆于点13 (⼩
, ⽣)
, 服交椭圆于
C (11 3
.
9 3 )
,若肰= ⼊下, 13
'
, 胈⼆⼭成
则⼊+ u = 2 ( 1+ e2 )
1 - e 2
A
A
•
Fò
。下2
,
证明: AMYDBCXa.DCCX3.YDF.cc , 0)
⽯
( C . 》
⽚
。
c
✗
肰: (- c
- x
,
- y )
下1弪(Xztc
,
以)
服
'
= ( c - x
, 以1
F.in/zisY3)Ai=nFBsf-C-X=DCX2tC1AFi=uFzc',fcxi=tlCX3-c)-y=xy.
yiwn.im
景
u
= 是
这ABiy-oiyioxtc.CHC)
> ⽔
⼩苦
。
y-C.Acix-XY.ytc.li
炏
y
o y
- c
y
2
a t
j y
>
( 你y.ci
p
y
'
i
t j
= 1
c2lxtcilciyitjjy2_2CCX.tn
ay
,
˙ y t
a
- 1
- 瓫
= 0
⼀点
.li
灲"
(xtci
,
792
⼆
以
[
以⽕)
⼈
āyi +5
azy.at j ] 以
同𤨒
,
=
- 32
G2
[ M
-c)2
aytjy.im
u :
以y.tl 艿
)
=
-
ycjtjjlxtcllxti-yllayztjitlazy.at i)9,1
瓷
⼀点
⼆
州出笳tjtlxiciciyp.fi 1
5
a
2
=
Xitctzcxtx ,
2 + c
2
-
2 CY
24 .
2
a
2
+
5
是
a
+
25 (
1
- ii
=
2X,
2
-1 2(
2
分
是
:
2 ( 台州
=
2 ( ⼼)
b2
1 - e
2
a
y
2
F
: 公式
12
:
这椭圆㤎
+
5
= 1
;
A ( X .
,
⼩1131X2921 为椭圆上任意两点
, AB 効
⼼
轴于点PEC
, 0 )
, 交了⻋由于Q
(o , 为1
0
13
2
P
.
0 Q
, 则
1
若戏⼆⼊内户
, QB
'
⼆⼊旷
> ⼊⼗⼋
⼆
。
2
- 1
0
X
2
若成
⼆⼊阴
, 陇
⼆⼊阴
, ⼊咖=
202
A
e
2 - 1
证明:
A (刈
, 1
13 (⽕⽕)
PC-c.oio.co , 为)
ABiy-ya-YQotclx-D-yif.xtyasx-jcy-YQrj.y-c.li
叔
。"
(
2
9
2 为" ⼗
点
, Gj t j ) y
2
.
2《
⽔
⼀是
"
a
t
5
5 "
2 (2
Y,以=
9
2 収
. 5
G2
c
2
àyitbi
只只
=
( 2àyitj
1
QA
'
= (X ,
9 ,
⼀叹了
何=
(- c x
, 以1
双= (⽕
,
⽣
⼀叹)
B队( - c 加
,
⼀⽕)
戏
= ⼊那
'
, fxi-nc-c-NQBD.BP-p.i.cc
刈
以为
-_- ⼊⽕
⽕
⼀叹
:
⼀⼊以
>
⼊
=
以为
,
⼊⼆
以
⼀叹
- y ,
_ y
以为
+ 以収
=
(以物)(
⼀⽕) t (以汉)(以)
⼊, 坧=
_ y .
-y
y y 2
=
为( ⽕⽕)
- 2 4, 以
⽕⽕
=
収
. (Y.tk)
y
. y
- 2
2(
2
=
yz.ci 奴
- 2
- 是
:
- 2(2
5
- 2
= E
- 1
2
pj-cc.yo.jp#=cx.tc,y.)PB'=(Xztc,g2)PQ'=nPA'YEncxtc1Pi=NPB',fEIcx2tc)
収⼆⼊中,
为
⼆⼊242
了⼊
⼆
叹
, 及:
为
y ,
92
2
y
⼆叔(j
t j )
= 为
。"以
y
=
-
2(2
.
⼈
, ⼊⼗及
⼆
紧
+
収
yiyz
⼆
-
2《
a2.ca
⼆
ēy
📍
题型训练：定义法求离⼼率
🌶
🌶
🌶
🌶
C
解, 由题: c = 2
G
2
= b礼2 = 4 -1 4 =8 ⇒
ai.ee
⾔
= #
c
^
. B
解徦吼过F.cc , 0 )
13 1 0. b)
六
>
后
则liy-fcxtci-sbx-cytl.co
中⼼到1 距离:
1
9謍
= 科, ⇒告上⇒e.fi
B
触电题:
2⽐2C = 2 21, ⇒atezb ⇒āitcuzac = 45= 4(a化2)
5C2tzac-3cil.li
得; 50 + 20 - 3 =0
⇒e ⼆号或e - 1 (舍)
A
解;
由题:
(2a )
, ( 2c )
= ( ⼭)
2
⇒
aebtat.2-sc2tac-ato.ie
2te l o
e-.-
或e
1舍)
c
解,
B , 1 0 , b)
13210 , -b)
Al-a.oJFl-c.ro)
KAB
,
⼆器… 出
,
14321== 些前卡
个⽉13 1 5 132 F 垂直
i.KABikBiit.lt) ⼆⼗⇒btnc-sci-ctac-e.ie 1 = o
i e = T
或e " 莎
(舍)
🌶
🌶
📍
题型训练：a,b,c⻬次⽅程求离⼼率
🌶
C
解
AB
: ⼩光仙) ⇒bx-aytaboFI-c.co )
点F ⾄1 ⽉13的距离
il-bc-otabltb4a2EF-slbla.ci/-az=f=77(acj2=a4b27la2+c2-2ac)=a4(a2-c2)
⇒5948(
2
- 1 4 ⽐⼆0
左右同记得;
80- 1 4 e + 5 =0
1 20
- 1 )(4 e -5)。
⇒e 上或ei (舍)
C
解, 由题Pk , Ǜ )
13 1 0 , b)
A (a . 0)
ikop-ikmitiABNOP.ikop-kAB-s-E-E-beci.ee#A
解{
⽕上
涂料
⇒1
加
⼟强
仁⽣
,
i.BE#a,z)clza,jFlc,o)-LBFc=9diBFICFkBF=i-0b_--c=-ia+c
KCFi.ec
i. 悱炸-_- 囊
。意
。
-.- ,
⇒点私证⇒T-T ⇒ef
🌶🌶
yix
c
⼈
。
"
解没渐近线为⽕凯
, 吣
, ⽕)
Qlxz.tn
i.ci
⼀应
'
{ 煳
(xtnyj
2
⇒么4527X22
a3xta4-azb2oc2x-za3xtd-cibioix.tx.EE
①
不仁
"想
②
脉成⼆喊⇒㓘: 瑯垃成⇒咖䦿点⇒加2不②
联⽴①②③得加
2
= f
'
=
a4
- 9232
z.cz
⇒é_或E#合)
- e #
A
^
p
v
.
730
0
6%,
>
解有你之0
⇒PF.PE
Fi
0
Fzi.OPIEFIFFCLPOFz-i.LPOF.tt
△
i.PF.ec
,
a
'
,
PFFZG-CRUPFIFz.fi PFMPFF-iii-ka-CMED.ci ⇒494(
2
- 21 actc
2
= 4(
2 ⇒
e.4202
= o
i e = 的或e 𥐙(舍)
/\
B
P
1
1
23
⽚
后
解没IQF.tt
, 则IPF.kzt.IQF.kza-t.IPF.kza-zt.IM:3
tcektLPFQ.k.PI.2-IPQEF.FI
⇒仙-21
- 1
2
-1 1 3 1
-1
2
= (2a-t)
2 ⇒
t.f.i.ME#,lPN=Rt4PFiFrti4C2=(-4(g2=F2=sc2=f2=se=E.s
渠
解
没Mlxo.ysko.vn 恭世
⇒灶知。
丽: ( 劜, % -b)
问: (a-xo.is
唹城⇒y-z.la-
⇒{
⼒。= 20 20
⇒㢫= 珂,
⇒
a-biedl-ibo-b-z.in
⇒化⼆
弘
灿=
-2%
x = jb
📍
题型训练：运⽤焦点弦⽐例公式求离⼼率
🌶
🌶
B
解;
11⾮1:21吲
,
⼊= 2
^
A.ie
-_-21 剁⻔和陆悟
>
F
i.
HKE 3 ⇒
k = 垢
B
⼜
ksoi.EE
A
解
设F为左焦点
, B为上顶点
,
则FH , 0 )
13 1 0 . b)
B
1431==忐
>
k
0
万
昈= 2局即⾮2
D
e = 1 - 1剁= 厢1
2
、⽅即⻮私制
.ie#Jy
"
B
解法1 ⽉13题
>
法zi 不妨没kl-c.no )
B 10. 3 )
1) ( ⼒。川。)
k
0
,
i
i 成: 2两⇒( - C , -b) = 2 (⼒。+ c , ⽕)
i {
- C = 2 万。+2C
⇒|
⼒。=
-#
-b = 2%
% = -
b
2
2 1) (加⽕)在椭上i.at
452
= 1
i.li
⇒e.is
B
⼈
是
-.-
>
F
解: 昨疗即⼊- 3
⼝
KB.si tan 1 33
°
=
- 1
e = 1 Hk21点
= 1沁川烈1 = #
📍
题型训练：运⽤ 求离⼼率
🌶
B
p
i
解;
由题
:
⽔LPF.kz:90
0
.
1 = LPF.FI : 45
0
存
e =
Sin 1 9445
0 )
sina.sn 450
⼆鼃
: E - 1
-
>
F,
汪
法2 ,
由题, △阶后为等腰直⻆△
, 没咋1诟= 1
, 则阽沽
t.ep.in ⼆点
⼆的
B
p
⼈
正
解:
由题: ⽔LPFii-fiELPF.FI : 30
0
-
e =
Sin 12tp)
Sin 1200
厉
F ,
Fz
>
sina.sn?=SinE+sin3o0
⼆喜
⼆亏
Q
法2
:
由△所Fz 三⻆
, 没䏒= 1
, 旺= 2
,
F.EE 厉
i. e = "
== IF.nl/PFiltlPFzl= 忢
= #
D
^ p
解, 由题i
2 = ⼭⽔临= 3 0
0
.
1 = LPF.FI:6。
'
ˇ
e
Sinldtf )
9in 90
0
1
、30
0
g
,
sinats.in
⼆
所304 Sinló
⼆
汁⾖
⼆厉"
F ,
合法
2
: 没
PF-1.PFFE.F.F.ie
=_= 点,
⼆厉- 1
A
^
P
解
「i 成州。
⇒
PF.LI?F2x7LP0F2=J-'.LPFiFz=zI.LPF2Fi=J
⼼
,
F.
0
后
.ie
Sinlatpssinatsnjs.gg
⼆的
!在2 i
没吃=
1
,
PF ,
⼆厉
,
F. 㠯= 2
i e 品
⼆厉- 1
📍
题型训练：运⽤ 求离⼼率
🌶
📍
题型训练：运⽤正弦、余弦定理求离⼼率
C
解" 呐⽉13中点
ikAB.hn -_-É
即之专⼀点
i.fi#e=d1-==
B
A⼈
6
5
解WSLFAB ⼆号ii-LAFB-9oi.li 1 注1 ⽉131 即C =5.
i
50
"
'
合
g.
△AOF 中
,
OSLAFOEGSLFAB-JAFIEAF4F.FI
-2AFF.Fz.GL/tFo=36tloo-2Glo.#=64=sAFz=g
B
,
'
, 2 G = A F ⼗⽉Fz
= 6+ 8 = 1 4 ⇒G-7.ie = E = 年
c.
⼋
解,
由余弦定理: ACEABTBC2-zABBC.ci B
za-z.cl
2C
( 2 a -2 C )
2
=(2 )
2 + ( 2 C )
2
- 2 20 2C
' " 的
jzcb
7
4944
C2-fac-fc2ti.24a2-fc2-fac-O-slloe2-18e-9-oi.ee
, 或
e =-
3 (舍)
17
⼈
p
解:
由题: e = ⻓于
⇒iaiICI.PF.EFiizc.PEizazc = c
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2a-z.ci
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⽉
2 C
Fz
△所占中
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2
- 1位
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2
- (
2
2所作2
2
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. 2 C
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题型训练：运⽤⼏何关系求离⼼率
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17
⼈
p.it
,
丹
F.
㠯
解;
△171诟为等腰△
, LFIP-lzoi.PE = 贴= 2
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, 死
了在liITCxtali.EE#(2CtG)=se= Ì
1ˋ
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1
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解
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A
'
F
B
'
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KBMI 灿"
.ca
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i.ch : NQ-clco.cn ⇒£ =
a - C
2
- c a
a c
- a
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解:
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i
F
, Q 关于直线吐出对称
i
FQ 中点哄了在1 : 当上
⇒⼠= 中
, ⼀
为{
m = t
n =
2bc
2
FQ 与直线吐成垂直
⇒kFQ.IE :-| ⇒品
。
"
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i. (i)i
("
⺾"
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⇒404 e到=0
b
2
4 e
'
⼀⽐4 -1 2 0 - e4 20 - 1
= 0 ⇒(20- 1 ) ( 2 04t e41) = 0 ⇒e = #
⼋
c
1300
Ǚ 1 60
0
i
s
F
,
占
M
,
解,
由题F.EC , 0)
后( C . 0)
PF-F.kz ⼆2C
471呫中, MF-IPF.ec
==
3 ac
⇒㢫= 2
cx-a.ie
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D
解在椭中iAFHAF.it
在双曲中iAE-AF.tn
20
- 2万
AFMAIEF.FI/7FitAFi=FiFz2lAFiAF2R2AFiAiz=FiFz2
IAE-AF.R-12AF.AE =
F.FI/6-2AFiAFz=lz
屾
2
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1 2
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i.ee É=_=
哥
解klc.nl ; x -"
136 , b)
⼈
B
BF :
y = 卡(x -c) ⇒bxtcy.be 0
.,
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i
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d =
1 0 -1 0 -
bclbcicz-aldzif-cidz.tl
, ⇒E-c-fa2.ec
2
c
i
T"
⇒
E
= 酢⇒ab =灰2
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2= f
a
i e = #
,
