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微考点 6-6 圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用
【考点分析】
斜率和（积）构造与韦达定理
目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定
点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点 ，在椭圆上的动点 ，
那么：
① ，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直
接代入韦达定理求解.
② ,这里对交叉项 的处理可进一步代入直线
方程： ，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很
重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
③ .
可进一步代入直线方程： ，化简可得：
【精选例题】
【例1】已知椭圆 的离心率为 ，点 在C上．过C的右焦点F的直线交C
于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
【例2】已知点 在双曲线 上，直线 （不过点 ）的斜率为 ，且交双曲线
于 、 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)求证：直线 、 的斜率之和为定值.
【例3】已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
【例4】已知椭圆 的离心率是 ，且过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为 ， ，且P，Q为椭圆C上异于 ， 的点，若直线 过点 ，是否存在实数 ，使得 恒成立．若存在，求实数 的值；若不存在，说明理由．
【例5】已知椭圆 ： 的右焦点 在直线 上， 分别为 的左、右顶
点，且 .
(1)求 的标准方程；
(2)已知 ，是否存在过点 的直线 交 于 ， 两点，使得直线 ， 的斜率之和等
于-1?若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
【例6】双曲线C： 的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲
线C于B，D两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k，k，若 ，试问：直线MN是否经过
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定点？证明你的结论．
【跟踪训练】
1.已知椭圆 的左右顶点分别为 ，上顶点为 为椭圆 上异于四个顶点的任意一点，直
线 交 于点 ，直线 交 轴于点 .(1)求 面积的最大值；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
2.已知点 为双曲线 上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
3.已知椭圆 ： ， ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 且不与 轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，证明 ， 斜率之积
为定值．
4.在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ，
， ，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，
请说明理由．
5.设椭圆 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为 ．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
6.设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
7.已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．过点 的直线l与椭圆E交于不同的
两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为 和 ，求 的值．1．已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点．
(1)求 ；
(2)在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为1的直线与 交于 两点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知过点 的直线 与 交于不重合的两点 ，且 ，直线 和 的斜率分别为 和
.求证： 为定值.
3．已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，点 在 上，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，若 ，求 的值.
4．已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 、 分别为椭
圆 的左、右焦点， ．(1)求椭圆 的方程；
(2)设与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 、 两点（ 、 在 轴的两侧），记直线 ， ， ，
的斜率分别为 ， ， ， ．
（i）求 的值；
（ii）若 ，求 面积的取值范围．
5．已知曲线C上的任意一点到直线 的距离是它到点 的距离的 倍.
(1)求曲线C的方程;
(2)设 ， ，过点 的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的
斜率分别为 ， ，求直线l的斜率k的取值范围以及 的值.
6．已知椭圆 的离心率 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为 的动直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是直线 上一定点，设直线
、 的斜率分别为 、 ，若 为定值，求点 的坐标.7．在平面直角坐标系内，已知 两点关于原点对称，且 的坐标为 . 曲线 上的动点 满足当直
线 的斜率 都存在时， .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 过点 且与曲线 交于 两点，问是否存在定点 ，使得直线 关于 轴对称？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
8．在平面直角坐标系 中， 是直角三角形， ， ，点 ， 分别在 轴和 轴
上运动，点 关于 的对称点为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 ， 两点， ，求直线 ， 的斜率之和.
